зачем ты умер, иван

но вообще, по-моему, это грязное и кровавое дело - объяснять, что такое расслоенное произведение, квазиизоморфизм и представимый функтор. душеспасительнее рассказывать, какие бывают расслоения на проективной прямой, сколько семимерных ежей можно взаимоперпендикулярно причесать, и почему e^{\pi\sqrt{163}} такое целое

вообще говоря, теория полей классов для школьников - весьма интересная наука, рекомендую, например, книжку Леммермейера про законы взаимности, правда, до эллиптических кривых я её ещё не дочитал, может быть там про 163 и нет.

да, теорема Кронекера-Вебера хорошая, только не только с циклической группой Галуа, а с любой абелевой. контрольный вопрос: построить числовое поле с группой Z/2Z+Z/2Z и вложить его в круговое :) элементарное доказательство, кстати, не такое уж и сложное, в Леммермейере оно даже для квадратичных полей дано в упражнениях (т.е. доказательство, которое обобщается для всех абелевых числовых полей; сам факт, что квадратичное поле вкладывается в поле корней из единицы, был известен ещё Гауссу - квадрат суммы его имени есть простое число, можно выразить простое число как квадрат произведения тангенсов, а по-научному можно сказать так: группа Галуа корней простой степени из единицы есть Z/(p-1)Z, там внутри сидит Z/2Z - это и есть наш корень из p, потому что дискриминант подполя делит дискриминант поля) - всё-таки её почти доказал Вебер и совсем доказал Гильберт, когда ещё никакой теории полей классов не было, и даже существование поля классов было гипотезой, которую доказал, кажется, Фуртвенглер.
P.S. книжка Леммермейера лежит на колхозе

ну, не совсем через когомологии, но научное доказательство действительно есть, через башню полей и след :)

может и с расслоениями связано, этого я не знаю, знаю только, что связано это с двулистными накрытиями и многообразиями модулей эллиптических кривых :)

доказательства я не знаю.
опирается на некоторое свойство функции j (выражение с e через какое-то разложение связано с ней).

правильное объяснение такое: пусть у нас есть мнимое квадратичное поле, порожденное целым x, Q(x), тогда его поле классов - Q(x,j(x)), где j(x) тоже целое, а j - это j-инвариант эллиптической кривой; утверждение называется "теорема Вебера" и является составной частью югендтраума тов. Кронекера, про то, что ежели все абелевы расширения Q порождаются полями деления круга, то расширения мнимых квадратичных полей соответствуют эллиптическим кривым с комплексным умножением и порождаются полями деления лемнискаты, по-научному называемыми целыми значениями эллиптических интегралов; делением лемнискаты занимался ещё Гаусс (кроме построения правильного n-угольника он доказал, что циркулем и линейкой можно разделить лемнискату на n равных частей ровно для тех же n). тот же Гаусс занимался мнимыми квадратичными полями, и высказал гипотезу, что число м.к.п. с числом классов 1 (т.е. у которых целые являются областями главных идеалов, и не возникает проблемы с неоднозначным разложением на множители) конечно, и даже представил список, оканчивающийся как раз на корень из минус 163 (при том, что в явном виде об идеалах и дивизорах у Гаусса, конечно, никакого представления не было, и число классов он определял через классы эквивалентных квадратичных форм). так вот, если применить теорему Вебера к Q(\sqrt{-163}), получим, что все идеалы уже и так главные, и поле классов совпадает с самим полем, т.е. j(x) лежит в Q(x). более того, есть формула для j-инварианта, о которой ниже, из неё следует, что j вещественен, т.е. лежит в Z (последнее до меня дошло только что :). дело в том, что j-инвариант не просто так называется - он действительно инвариант эллиптической кривой; эллиптическая кривая - это точка верхней полуплоскости с точностью до действия PSL_2(Z)-модулярной группы; т.е. точка на модулярной кривой - факторе верхней полуплоскости по действию группы; т.е. j-инвариант - это функция на верхней полуплоскости, инвариантная относительно действия; такие функции называются модулярными. в частности, они инвариантны относительно сдвига z|->z+1, поэтому их можно представить, как ряды Лорана от q=e^{2{\pi}iz}. в этом ряду у j простой полюс в 0 с вычетом 1 (т.е. член 1/q), потом идёт 744, потом члены при q, q^2, etc.
вернёмся к нашему мнимому квадратичному полю с числом классов 1. целые его, конечно, порождаются не sqrt{-163}, а {1+\sqrt{-163}} \over 2. это x. мы знаем, что j(x) - целое, и у нас есть ряд для j(q), q=e^{2{\pi}ix}. ну вот, собственно, и всё - j(q) целое, 1/q=-e^{\sqrt{163}}, 744 целое, а q очень маленькое и его степени - тем более. заодно получается целость, помимо 163, ещё и 67, 43, 19, 11, но они, конечно, похуже, потому что q уже не такое маленькое.
что интересно, оставшиеся коэффициенты при q^n в разложении тоже целые, и являются размерностями градуировок специальной вертексной алгебры, на которой действует группа-монстр, и про сие придумана специальная суперструнная лунатичная теория

ну, вообще говоря, я сходу тоже не скажу, почему j(x) - целое (или хотя бы рациональное). он, конечно, многочлен от коэффициентов эллиптической кривой, но они сами по себе вполне трансцендентные функции от решётки, ряды Эйзенштейна. с другой стороны, дзета-функция в чётных точках почти целая, например; c третьей стороны, почему эллиптические функции в рациональных точках алгебраические, я понимаю хорошо - они полный аналог комплексной экспоненты в этом смысле, где теория деления круга соответствует теории деления лемнискаты: для эллиптического синуса/косинуса есть точно такие же формулы половинного/двойного/кратного угла и формулы сложения, что и для обычных. т.е. "простую" частью югендтраума, про то, что максимальное абелево расширение мнимого квадратичного поля получается присоединением всех делений лемнискаты вместо круга как у Q, т.е. всех значений уже не комплексной экспоненты в рац. точках, а эллиптического синуса, легко понять - это продолжение теоремы Кронекера-Вебера. но, действительно, эллиптические функции - это функции на кривой, а j-инвариант - на многообразии их модулей. Леммермейер пишет об этом как о big surprise; википедия, впрочем, добавляет, что j(x) целое для любого мнимо-квадратичного из верхней полуплоскости (хоть с нормой одна миллионная - совсем как экспонента опять). что наталкивает на мысль, что для него тоже должны быть какие-нибудь функциональные уравнения типа сложения-умножения (простой модулярной инвариантности недостаточно, вроде) - но не буду врать, надо подумать-почитать.

про фурье-делиня я вообще ничего не знаю, даже определения, только слышал, что с его помощью можно гипотезы Вейля доказывать :) к сожалению, я этальную геометрию знаю плохо, читал Милна, да и того по диагонали.
но если вы спросите у этого чувака:), я с удовольствием почитаю, что он ответит :)