(no subject)
« previous entry | next entry »
Jun. 28th, 2012 | 03:55 pm
Вчера на ночь глядя читал манускрипт, где где-то страницы две ведётся ожесточённая борьба за построение инъективного рационального отображения из кривой рода >=2 в проективную прямую. Хотя может быть я чего-то не понял, и это не рациональное отображение строится. Или ещё чего-то не понял. Засыпал вот только плохо, факт.
Comments {39}
From:Date: Jul. 5th, 2012 - 07:45 am
Link
k[u,v,w]/(фq), где q – эта самая дополнительная коника. Может быть, точки пересечения нулей ф и q как раз и портят все...
Но секстики эти, вообще говоря, регулярны.
Если хотите конкретный пример, то, насколько я помню, можно просто прибавить eX^6+eY^6 (для инфининазимально малого е>0) к классическому примеру Моцкина
X^4 Y^2 + X^2 Y^4 − 3X^2 Y^2 Z^2 + Z^6 такой секстики, и соотв. форма станет гладкой, но по-прежнему не будет суммой квадратов кубик.
Те неотрицательные секстики, которые разлагаются в сумму квадратов кубик, образуют "маленький" подконус в конусе всех неотрицательных секстик.
http://front.math.ucdavis.edu/1010.3
Больше всего про это (про связь классической АГ с суммами квадратов) знает Claus Scheiderer из Констанца. У него есть обзоры всякие, но не совсем про это.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 02:06 am
Link
Знаете, я, кажется, локализовал ошибку --- на своей стороне.
Ошибка тонкая достаточно: она в утверждении, что процедура
распространения морфизма не меняет пучек, сечениями которого
этот морфизм задается. Происходит вот что: распространив
морфизм на окрестность каждой точки, мы около каждой точки
получаем набор сечений, определенных локально. Но, чтобы склеить
эти локальные сечения в глобальные, нужно подкорректировать сам
пучек, скомпенсировав подкрутку на степень локального параметра
в каждой точке! Интуитивно, нужно написать следующий дивизор на
кривой: D = \sum_{i=1}^n k_i P_i, где P_i --- все точки, в которых
исходные сечения имеют совместный нуль, а k_i --- минимальный порядок
нуля сечений в соотв. точке P_i. Теперь, если исходные сечения брались
из пучка L, то новые глобальные сечения будут в L \otimes O(D) (или O(-D),
я всегда путаю знаки).
Соответственно, новые глобальные сечения --- не квартики, и вообще
не формы. Противоречия с результатом Гильберта нет.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 02:07 am
Link
Reply | Parent
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 02:47 am
Link
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 02:57 am
Link
Возражение было к тому, каким образом задается
распространенный морфизм --- снова формами (сечениями
пучков O(n), происходящих из исходного вложения C в проект.
пр-во) или же просто сечениями некоторого пучка. Похоже,
что верно второе (детали не проверял, но достоверность ---
пять сигма :).
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 11:18 pm
Link
я думаю, что причина недоразумения в несовпадении определения понятия "гладкий" для вещественной и комплексной кривой. ну то есть может оказаться, что точка в вещественном смысле гладкая, а так --- нет.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 12:48 am
Link
> на этой окресности с точностью до пропорциональности.
Да, но вопрос был в другом: как задать этот морфизм глобально?
Поскольку любой морфизм из C в P^n задается обратимым пучком
L на C и n+1 сечениями этого пучка, вопрос: что это за пучек?
Я в первом варианте ответа замел этот вопрос под ковер и сделал
неверное утверждение: пучек тот же самый, что и исходный.
Оказвается, что даже если рациональный морфизм C -> P^n
задавался сечениями тензорной степени некоторого пучка L, то
его распространение на всю кривую C будет задаваться сечениями
пучка, который тензорной степенью L быть уже не обязан! Всегда
нужно вычитать дивизор D, который задает base locus линейной
системы (детали проверил, без пяти сигм).
Если бы при распространении рац. морфизма пучек всегда сохранялся,
то у нас было бы противоречие результату Гильберта-
Шейдерера, которые построили такую проективную кривую C и пучек L
на ней (плоская кривая шестой степени и O(4)), что любые сечения пучка
L, задающие рациональный морфизм из C в квадрику x^2 + y^2 + z^2,
будут иметь общий нуль.
> я думаю, что причина недоразумения в несовпадении определения
> понятия "гладкий" для вещественной и комплексной кривой. ну то есть
> может оказаться, что точка в вещественном смысле гладкая, а так --- нет.
Вот это не смог понять: что значит ``точка, гладкая в вещественном
смысле''? Гладкость в контексте схем определяется для произвольных
морфизмов, а не только морфизмов в алг. замкнутые поля; гладкость
сохраняется при base change; гладкость схемы конечного типа над
полем влечет ее регулярность в каждой точке.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 01:37 am
Link
покроем C открытыми множествами так, чтобы только одно из них содержало точку, где морфизм не определён, рассмотрим окрестность этой точки, продлим. на других элементах покрытия морфизм останется таким же, поэтому можно работать с ограничением на окрестность "точки неопределённости".
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 02:36 am
Link
Внимание
В нашем с ним диалоге было две проблемы:
1.
обязательно задаваться тремя кубиками, квадраты которых суммируются в 0. Это неверно: такой морфизм, вообще говоря, может задаваться произвольным обратимым пучком, а не только O(n)'ами, происходящими из канонического вложения секстики в P^2.
2. Я ошибочно считал, что процедура распространения морфизма не поменяет пучек, который этот морфизм задает. Оказалось --- нифига, и секстика
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 02:54 am
Link
тьфу, я баран: не в нуль, а в исходную секстику.
Reply | Parent
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 03:38 am
Link
Reply | Parent
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 01:46 am
Link
cf. http://mathoverflow.net/questions/9
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 02:48 am
Link
(Кстати, извиняюсь за то, что нафлудил километр: в обсуждаемой задаче есть арифметические аспекты; они меня, как будущего арифм. геометра, взяли за живое).
Reply | Parent
From:Date: Jul. 6th, 2012 - 06:47 am
Link
Гильберт описал такие отображения с некоторым явным количеством base points, пропорциональным роду кривой, как помнится.
То, что base points будут, это мы с Шейдерером когда-то доказали, да так и не записали как следует :(
(более того, base points обязаны быть тогда и только тогда степень кривой не делится на 4)
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 12:57 am
Link
> Он-то ничего такого про наличие base points не утверждал.
Пардон, из контекста не было понятно, чей результат.
> То, что base points будут, это мы с Шейдерером когда-то доказали,
> да так и не записали как следует :(
Вот жаль; красивое и поучительное, по кр. мере для меня.
Когда писал вот этот ответ, почувствовал, что при склеивании
локальных морфизмов в глобальный могут быть интересные
вещи, но значения не придал; оказалось --- зря, в этом месте
была тонкость.
Reply | Parent | Thread
From:Date: Jul. 7th, 2012 - 05:52 am
Link
Дальше, в общем случае, надо как-то уметь работать в ситуации, когда base points есть, но тут у нас полного понимания не было, а потом не стало времени и т д... Хотя хочется к этому вернуться при случае (образования, правда, мне тут сильно не хватает).
Reply | Parent