Преподаватель математики должен владеть общей математической культурой.
А то как-то раз я заглянул ради смеха
на «продвинутый» курс по математике в институте,
когда я в нём ещё числился, и услышал буквально следующее:
«пространство — это множество, в котором задано
понятие сходимости».

Теория игр — это приложение функционального анализа,
который преподаватели (и студенты) должны знать,
если они хотят изучать теорию игр (и не ограничиваться
конечномерным случаем).

Дифференциальные формы надо знать хотя бы потому,
что без них мы имеем бессмысленное шаманство
в виде формул Грина, Гаусса, Стокса, и им подобных.

>На мой взгляд проблема прямо противоположная - инженерам нужно "делай раз, делай два", а их вместо этого пичкают различными формализмами и прочей "математической лирикой", по выражению Ландау.

Нет, никакими формализмами в наше время никого не пичкают, ввиду того, что сами преподаватели
никаких формализмов не знают,
и вообще функционально неграмотны.


На мой взгляд система образования по математике
имеет смысл устроить так: есть несколько
программ разной градации сложности.
У них общее начало, и в процессе обучения
студент может выбрать, по какой программе
ему учиться. Переход из одной программы
в другую — свободный.
(1) Есть программа для будущих математиков,
которая включает в себя программу Вербицкого,
а также многие другие вещи, которых у Вербицкого
нет (вроде некоммутативной геометрии и алгебраической топологии).
Закончившие её, как правило, поступают в аспирантуру.
(2) Есть программа для будущих учителей математики
и преподавателей математики в вузах.
Она является существенно урезанной версией
программы выше и для её окончания
необходимо существенно меньше времени.
Закончившие её, как правило, идут работать учителями
математики и преподавать математику в вузы.
Возможно здесь нужны градации — тот, кто хочет
работать в вузе, должен изучить больше, чем
тот, кто хочет работать в школе.
Например, если кто-то хочет преподавать
инженерам, то он, например, должен изучить
ещё численный анализ.
При этом предполагается, что каждый год
преподаватели проходят аттестацию — например,
сдают ещё один экзамен по курсу из программы пункта (1),
который они раньше не изучали.
(3) Программа для будущих инженеров и так далее.
Похожа на программу пункта (2) и включает также
необходимые инженерам вещи вроде численного
анализа.
(4) Ещё есть теоретические физики — им нужно
существенно больше знаний, чем инженерам,
но не так много, как будущим математикам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теория игр — это приложение функционального анализа, который преподаватели (и студенты) должны знать, если они хотят изучать теорию игр (и не ограничиваться конечномерным случаем).

Насколько я знаю, в РЭШ теорию игр, в том числе и бесконечномерную, вполне успешно преподают студентам, многие из которых с функциональным анализом незнакомы.

Дифференциальные формы надо знать хотя бы потому, что без них мы имеем бессмысленное шаманство в виде формул Грина, Гаусса, Стокса, и им подобных.

Нет, не бессмысленное. Раз люди с их помощью делают эффективные инженерные разработки, значит смысл есть.

А вот "окупится" ли время, затраченное будущими инженерами на изучение дифференциальных форм вместе с прилагающимися основами коммутативной алгебры и т.д. - большой вопрос.

Нет, никакими формализмами в наше время никого не пичкают, ввиду того, что сами преподаватели никаких формализмов не знают, и вообще функционально неграмотны.

Ну как же не пичкают? Изучают и язык эпсилон-дельта (это, наверное, к месту) и основы теории меры с пресловутыми сигма-алгебрами (а вот это как правило ни к чему).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Формула Грина, Кельвина-Стокса, Коши и Гаусса-Остроградского забывается через день после экзамена. Тем не менее, если понимать общую теорему Стокса, то все это, а так же многое другое, становится совершенно очевидным.

Кроме того, инженера, не владеющего математикой, очень сложно научить чему-то новому. В этом вся проблема. Я полистал, например, семестровый Стэнфордский курс «Fourier transform & its applications» для градюэйтов. 80% материала казались мне чем-то совершенно очевидным, а остальные 20% осваиваются за неделю. При этом я не знаю гармонического анализа и продвинутого функана, и все что мне понадобилось — элементарное понимание линейной алгебры в объеме книжки Лэнга по алгебре. Тем не менее, инженеров не знающих математики приходится учить этому по полгода.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

все что мне понадобилось — элементарное понимание линейной алгебры в объеме книжки Лэнга по алгебре

Подозреваю, что также Вам понадобились математические способности и общая математическая культура. Сколько времени нужно работать над среднестатистическим будущим инженером для её выработки - неизвестно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Сомневаюсь, что у меня есть какие-то особенные математические способности. На выработку элементарной культуры мне лично понадобилось около года. Это при учете, что учился я по книжкам и если бы кто-то помогал, то дела шли бы быстрее.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А как Вы вырабатывали элементарную культуру?
По каким книжкам учились?
Как учились?
Какие можете дать советы в этом деле?

(Reply to this) (Parent)

Формула Грина, Кельвина-Стокса, Коши и Гаусса-Остроградского забывается через день после экзамена.

Формулы всегда можно подсмотреть в справочнике. Главное - чтобы запомнилось какие задачи с их помощью можно решить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда не понимаю зачем им вообще нужны формулы. Достаточно запомнить комманду в матлабе (многие так и делают).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Матлаб - не панацея. Иногда расчёт нужен внутри кода на некотором языке, например. Да и вбивать данные в Матлаб не всегда хочется.

(Reply to this) (Parent)

Доходит до смешного, кстати. Например, я бы свидетелем того, как инженерам объясняли принцип работы CRC-кодов, доказывая корректность вычислениями в двоичной системе счисления. Так же рекомендовалось запомнить, что длина CRC равна длине генератора - 1.

Человеку, знающему математику, достаточно сказать, что полиномы от одной переменной над полем образуют Эвклидову область. А генератор это полином над Z/2. Все. После этого человек на всю жизнь запомнит как устроен checksum в протоколах и не будет судорожно вспоминать сколько бит выделять под CRC-хвост в сегменте.

Экономия времени, по-моему, очевидна. Да, в начале будет, медленнее идти, но разница между подходами такая же как между O(n) и O(e^n).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Так дело в том, что никаких "О больших" для большинства инженеров нет.

Им нужно выучить конечное и зачастую небольшое число конкретных математических методов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это вроде как уровень техникума.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Поймите простую вещь: КРОМЕ МАТЕМАТИКИ ИНЖЕНЕРАМ НУЖНО УЧИТЬ МАССУ ДРУГИХ ПРЕДМЕТОВ. Математика во всех видах зачастую далеко не самый главный для них предмет.

Историки (в том числе хорошие) могут вообще не знать "высшей математики" - так что же, исторические факультеты находятся на уровне ПТУ?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я согласен, что не всем инженерам нужна математика. Например программистам она действительно не нужна. Но я так понял, что мы все-таки говорим о math heavy специальностях --- управленцы, сигнальщики, механики. В этом случае, если взять какой-нибудь профильный предмет, например, «обработка сигналов», то окажется, что как минимум половина курса состоит из неэффективного пересказа тривиальных математических концептов.

Я не предлагаю учить математике в ущерб всему остальному. Мой тезис заключается в том, что если придется тратить меньше времени на неэффективные пересказы, то больше времени останется именно для инженерии.

(Reply to this) (Parent)

К тому же, экономия времени колоссальная. Да, она проявится курсу к третьему только, зато за оставшиеся пару лет можно будет инженеру рассказать во много раз больше чем он получает сейчас (см пример с преобразованием Фурье).

(Reply to this) (Parent)

>Насколько я знаю, в РЭШ теорию игр, в том числе и бесконечномерную, вполне успешно преподают студентам, многие из которых с функциональным анализом незнакомы.

Звучит крайне сомнительно, но для конкретных
выводов нужны детали, которыми я не располагаю.

>Нет, не бессмысленное. Раз люди с их помощью делают эффективные инженерные разработки, значит смысл есть.

Эффективные инженерные разработки
можно также делать исключительно в координатах,
без векторов. Это не значит, что векторы
бесполезны для инженеров.
Коммутативную алгебру для дифференциальных
форм учить не надо,
дифференциальные формы для своего освоения
требуют не больше времени, чем векторы
(фактически, дифференциальные формы — это
поливекторы, только на двойственном пространстве),
а отдача от них колоссальная — чуть ли не все
уравения физики, вроде уравнений Максвелла,
уравнений гидродинамики и так далее записываются
в дифференциальных формах.

>Ну как же не пичкают? Изучают и язык эпсилон-дельта (это, наверное, к месту) и основы теории меры с пресловутыми сигма-алгебрами (а вот это как правило ни к чему).

Эти формализмы устаревшие и учить им как раз
не надо, и даже вредно.
То, что их ещё изучают, является следствием
невежественности преподавателей,
составителей программ и авторов учебников.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Эффективные инженерные разработки можно также делать исключительно в координатах, без векторов. Это не значит, что векторы бесполезны для инженеров.

Для некоторых инженерных специальностей они действительно могут быть бесполезны.

Коммутативную алгебру для дифференциальных форм учить не надо

Как Вы предлагаете определять векторные поля? Я знаю два пути - координатные шаманства и дифференцирование алгебры гладких функций.

дифференциальные формы для своего освоения требуют не больше времени, чем векторы (фактически, дифференциальные формы — это поливекторы, только на двойственном пространстве)

Только в отличие от векторов, рассматриваемых в "отдельно стоящих" линейных пространствах, дифференциальные формы "торчат" в каждом кокасательном пространстве, да ещё и "гладко меняются". "Гладко меняются" можно описывать в координатах (тогда улучшение по сравнению с существующими курсами матанализа будет небольшим), либо на языке коммутативной алгебры; я других путей не вижу.

И потом, объяснить будущему инженеру понятия касательного и кокасательного расслоения уже непросто, не говоря об их степенях.

(Reply to this) (Parent)

>Ну как же не пичкают? Изучают и язык эпсилон-дельта (это, наверное, к месту) и основы теории меры с пресловутыми сигма-алгебрами (а вот это как правило ни к чему).

Эти формализмы устаревшие и учить им как раз не надо, и даже вредно.

Чем Вы предлагаете заменить язык эпсилон-дельта? Неужели общей топологией?

Как изучая теорию меры (с полноценным математическим обоснованием) обойтись без сигма-алгебр, я вообще не представляю, возможно это следствие дыр в моём образовании.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>>>Неужели общей топологией?

А что такого? Лучше ж во всех отношениях. Я, кстати, даже определения предела в дельта-эпсилон не знаю.

(Reply to this) (Parent)

Есть программа для будущих математиков, которая включает в себя программу Вербицкого

Это не имеет прямого отношения к теме беседы, но даже если принять как данность сомнительный тезис Вербицкого, что ценна только та математика, которая заточена на физику (под которой понимается, кажется, только теория струн), разве обязательно требовать от всех будущих профессиональных математиков, чтобы они освоили программу Вербицкого в полном объёме? Разве полезны будут, например, будущим алгебраическим геометрам, даже если они собираются "обслуживать" струнную теорию, сведения об эргодичности бильярдов? (Вопросы не риторические - мне действительно непонятно.)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Такие вещи полезны в том смысле, что помогают
устанавливать связи между разными разделами математики.
Если математику не изучать, а изучать изолированные
дисциплины, то математика от этого очень сильно пострадает,
так как самые интересные результаты зачастую
получаются в результате синтеза дисциплин.

Например, крайне важна теория, развиваемая
Джэйкобом Лури является синтезом (а по существу
и слиянием) алгебарической топологии и алгебраической
геометрии.

Я и сам работаю в синтезе алгебраической топологии,
некоммутативной геометрии и квантовой теории поля.

Программа Вербицкого сама по себе недостаточна
(и невелика), поэтому её надо дополнить другими
областями (некоммутативная геометрия,
кстати, тоже весьма релевантна для физики,
а её у Вербицкого совсем нет).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Было бы здорово, если бы вы произвели компиляцию идей из предыдущих постов и набросали свою программу (с топосами и пучками) и соответствующим списком литературы. Особенно интересен порядок в котором стоит изучать те или иные вещи.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это весьма нетривиальная задача.
Я думаю, что составить нормальную программу
под силу только группе математиков
разнообразных специализаций.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Жаль. Просто удручает ситуация, когда что-то учишь-учишь, только потому что вовремя никто не подсказал, а потом оказывается, что это безнадежно устаревший хлам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В таких случаях полезно задавать вопросы более опытным математикам.
На MathOverflow очень часто попадаются вопросы типа A learning roadmap to…
Не факт, что новый вопрос на эту тему не закроют,
но пытаться стоит.

Ещё в принципе можно открыть сообщество
на тему так, как лучше всего изучать разные разделы
математики и стоит ли их изучать вообще.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Комьюнити наверно нет смысла открывать. Могу ошибаться, но мне кажется, что даже в ljr найдутся лишь единицы со взгядами на программу изучения математики отличными от syllabus'ов стандартных курсов из западных аспирантур.

Вы, кстати, про теорию меры обещали написать и так и не :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про теорию меры я написал, правда несколько фрагментарно:
http://mathoverflow.net/questions/49426/is-there-a-category-structure-one-can-place-on-measure-spaces-so-that-category-th/49542#49542

Начать надо со ссылки [1] и после этого можно читать остальное, в том числе и сам ответ.

(Reply to this) (Parent)