Что имеется ввиду под геометрией?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну, как вы написали, это список книг по элементарной математике.
Так вот, чуть-чуть элементарной геометрии - может аффинной, проективной, неевклидовых или каких-то ещё, сходных по содержанию, например,с такими курсами - math 130 у вас в Berkeley (http://math.berkeley.edu/courses_descripts.html#math130), или math 130 в Гарварде (http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k72219). С другой стороны, в MIT (http://math.mit.edu/academics/classes.php) даже и такого курса нету.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Материал этих курсов либо уже включён в другие курсы,
либо его не следует изучать.
Прокомментирую по пунктам:

>A critical examination of Euclid's Elements;
>Hilbert's axioms for geometry,
Это представляет интерес исключительно для историков,
никакого отношения к современной математике не имеет.

>ruler and compass constructions; connections with Galois theory;
Это вообше не геометрия, а чистая алгебра,
элементарное приложение теории Галуа.

>theory of areas, introduction of coordinates, non-Euclidean geometry, projective geometry.

Это входит в курс линейной алгебры.

>regular solids,

Это входит в курс по группам Ли.

>Presents axioms for several geometries (affine, projective, Euclidean, spherical, hyperbolic). Develops models for these geometries using three-dimensional vector spaces over the reals, or over finite fields. Emphasis on reading and writing proofs.

Это тоже линейная алгебра.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо Дмитрий, за столь подробные ответы для новичков!

(Reply to this) (Parent)

Dmitry, как вы неоднократно говорили (например, здесь - http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/10252.html?nc=39 ), курс аналитической геометрии при наличии линейной алгебры совершенно бессмысленный. А есть ли у вас мысли на тему того, как так сложилось исторически, что эти 2 курса до сих пор сосуществуют в российских университетах?

Также касательно геометрии: у меня представление о геометрии чисто школьное, где казалось, что у геометрии действительно есть какой-то свой "отдельный метод". А смотря на хорошие программы по математике для начинающих (типо вашей), все "геометрические" темы - это линейная алгебра. На каком основании тогда какие-то темы относят к "геометрическим", если там все равно либо алгебраические, либо аналитические методы?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>А есть ли у вас мысли на тему того, как так сложилось исторически, что эти 2 курса до сих пор сосуществуют в российских университетах?

Могу только предположить, что аналитическая геометрия
существовала в университетах задолго до линейной алгебры,
а когда последнюю ввели в план, избавиться
от балласта забыли.

> все "геометрические" темы - это линейная алгебра

Я бы сказал: все элементарные геометрические темы.
Геометрия бывает, например, алгебраическая
и там методы вовсе не исчерпываются линейной алгеброй.

>На каком основании тогда какие-то темы относят к "геометрическим", если там все равно либо алгебраические, либо аналитические методы?

Я бы сказал, что геометрия — это все области,
использующие понятие пространства.
Методы при этом могут быть разными.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>>>Я бы сказал: все элементарные геометрические темы.
Геометрия бывает, например, алгебраическая
и там методы вовсе не исчерпываются линейной алгеброй.<<<

Дмитрий, а не посоветуете хорошего англоязычного учебника по линейной алгебре, где бы геометрический раздел разбирался хоть сколько - нибудь подробно. (Хорошо бы книгу как можно легче; не сложнее, скажем, Кострикина-Манина)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не уверен, что такие книги вообще существуют.
Обсуждение на эту тему есть на MathOverflow: http://mathoverflow.net/questions/22247/geometrical-meaning-of-grassmann-algebra
Кажется, единственным осмысленным вариантом
там явяется книга Федерера по геометрической теории меры,
у которой в начале разбирается геометрический смысл внешней алгебры.
А так, конечно, с учебниками катастрофа,
не в последнюю очередь потому, что линейная алгебра — стандартный курс для андерградов.

(Reply to this) (Parent)