Dmitri Pavlov - Манифест Dieudonné («Все мы учились в одном гадюшнике…»)
July 15th, 2009
11:02 pm

[Link]

Манифест Dieudonné («Все мы учились в одном гадюшнике…»)

Время от времени я начинаю разъяснять, почему геометрия, в том виде, как она сейчас преподаётся в школе, малоосмысленна, и почему ситуацию с этим необходимо менять. Вот, например, несколько недавних дискуссий, есть и другие: 1, 2, 3.

Недавно я прочитал предисловие к книге Dieudonné 1964 года Algèbre linéaire et géométrie élémentaire и обнаружил, что в этом предисловии ясно и понятно изложены все те мысли, которые я уже давно пытаюсь разъяснять в различных дискуссиях. По этой причине я решил воспроизвести русский перевод этого предисловия ниже.

Что (не)удивительно, с 1964 года прошло уже 45 лет, а воз и ныне там — за это время ничего не изменилось. Из различных маразмов, описанных Dieudonné, единственное, чего мне удалось избежать — шары Данделена. Зато очень много времени было потрачено впустую на окружность девяти точек, построения циркулем и линейкой, решения задач на треугольники, разучивание псалтыря тригонометрических формул и прочие бессмыслицы. В свете параграфа про высоты треугольника и сопротивление материалов донельзя забавным представляется комментарий в одной из недавних дискуссий. Система аксиом, которой мы пользовались на геометрии, была неполной, по причине чего теоремы часто «доказывались» неявным использованием интуитивно очевидного утверждения. И это — в двух лучших математических школах Петербурга — 30-ой и 239-ой. Что творится в обычных школах, страшно даже подумать.

От себя могу добавить, что при первоначальном изучении геометрии, по-видимому, можно определить точку как пару рациональных чисел. После можно ввести операции векторного пространства, подробно изучить их геометрический смысл. Затем можно определить прямую параметрическим образом, научиться пересекать прямые (и доказать, что точка пересечения единственная), проводить прямую через две точки (с доказательством единственности), и так далее. Через некоторое время станет ясной необходимость введения вещественных чисел (а на алгебре будет параллельно доказана иррациональность квадратного корня из 2). Вещественные числа, по-видимому, проще всего ввести как сечения.

Что самое забавное, аргументация Dieudonné точно также применима к студенческой программе по математике. Вот список некоторых вещей, которые я или люди на курс младше меня в своё время должны были изучать или делать:

  • Условно сходящиеся ряды и интегралы;
  • Эпсилон-дельта формализм;
  • Остаточный член формулы Тейлора в форме Шлёмильха-Роша;
  • Интеграл Римана;
  • Интеграл Стильтьеса;
  • Вычислить производные от 50 функций;
  • Вычислить интегралы от 50 функций;
  • Формулы Грина, Гаусса и Стокса;
  • Вихрь, градиент и дивергенция;
  • Раскрытие неопределённостей;
  • Криволинейные интегралы первого и второго типа;
  • Тензор — это набор чисел, изменяющийся следующим образом при замене системы координат…;
  • Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом разделяющихся переменных, методом подстановки и ещё десятком трюков (про это ещё Rota написал в своё время);
  • Курс «аналитической геометрии» (при наличии курса линейной алгебры);
  • Набор трюков для решения трёх уравнений с частными производными («математическая физика»);
  • Вычисление интегралов путём вычетов.

Каждый может легко продолжать этот список до бесконечности. Было бы неплохо изъять из учебного плана принудительную галиматью вроде «математического анализа», «аналитической геометрии», «теории функций комплексного переменного», «дифференциальных уравнений», «теории вероятностей», «математической физики», «дискретной математики», «математической статистики», «численных методов» и им подобных и заменить их на такие: «общая топология», «линейная алгебра», «гладкие многообразия», «комплексная геометрия», «теория меры», «гармонический анализ», «микролокальный анализ», «алгебраический анализ и D-модули», «геометрический анализ» и так далее. С современным содержанием и в современном изложении. [Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками.] К сожалению, всё это абсолютно нереалистично в нынешних условиях… А жаль. Извините, что так резко — мне просто жаль кучи бессмысленно потраченного времени в студенческие годы. Просьба воспринимать всё это как призыв к конструктивной деятельности, а не деструктивной. [Впрочем, банальное изъятие из плана кучи гуманитарного мусора, отнимающего ценное время, можно, наверное, рассматривать как конструктивное действие.]

А теперь — собственно предисловие к книге Dieudonné. Ввиду ограничения на длину записи в LJR выкладываю его отдельно здесь.

Tags: ,

(50 comments | Leave a comment)

Comments
 
[User Picture]
From:[info]vadim_i_z
Date:July 15th, 2009 - 09:19 pm
(Link)
с 1964 года прошло уже 25 лет
"Все математики делятся на три части - те, кто умеет считать и те, кто не умеет" :-)

Если серьезно, с предисловием я в целом согласен, а вот Ваше предложение... оно же скорее для профессиональных математиков, а не для прикладников типа моих экологов, да?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 15th, 2009 - 09:23 pm
(Link)
>Если серьезно, с предисловием я в целом согласен, а вот Ваше предложение... оно же скорее для профессиональных математиков, а не для прикладников типа моих экологов, да?

Безусловно. У прикладников должна быть другая программа.
Впрочем, мне почему-то кажется,
что условно сходящиеся ряды прикладникам
не нужны точно так же, как и профессиональным математикам.
[User Picture]
From:[info]vadim_i_z
Date:July 15th, 2009 - 09:46 pm
(Link)
Наверное, не нужны...
[User Picture]
From:[info]udod
Date:July 15th, 2009 - 09:48 pm
(Link)
2007-5-7: Wu and Stiefel-Whitney classes, a talk given at Topology Seminar of St Petersburg Steklov Math Institute.
http://math.berkeley.edu/~pavlov/talks

Топологическим семинаром ПОМИ называется "Семинар Рохлина".
Вы там рассказывали про харклассы?!
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 15th, 2009 - 09:57 pm
(Link)
> Вы там рассказывали про харклассы?!

Нет, это был маленький рассказ про некоторое утверждение про классы У и Штифеля-Уитни (если некоторые классы зануляются, то много других классов тоже зануляется).
Такое утверждение было нужно С. С. Подкорытову в его работе.
[User Picture]
From:[info]udod
Date:July 15th, 2009 - 09:58 pm
(Link)
Ага, понятно. А то я испугался.
From:[info]bravchick.livejournal.com
Date:July 15th, 2009 - 10:40 pm
(Link)
По-моему, Ваш список просто отражает Ваши личные математические интересы. Люди, занимающиеся, скажем, анализом, дифференциальной геометрией или комбинаторикой составят совсем другой список, наверное. Но даже с поправкой на интересы, мне не кажется осмысленным учить комплексную геометрию без основ комплексного анализа. Учить микролокальный анализ без эпсилон-дельта техники можно только, если под микролокальным анализом понимать его алгебраическую версию, а не то, что понимали ее создатели. Мне, однако, кажется разумным, чтобы люди, занимающиеся алгебраическими D-модулями знали хотя бы примерно, что такое псевдо-дифференциальный оператор. Чем Вам так не угодили условно-сходящиеся ряды? На них уходит не так много времени, а идея, что от изменения порядка суммирования меняется сумма, чрезвычайно важна как просто для понимания рядов, так и для многих областей современной математики (перенормировки, зета-регуляризации, ... ) Вообще, примерно 2/3 того, что Вы предлагаете выкинуть я использовал в своих работах. Даже эпсилон-дельта использовал несколько раз, причем отнюдь не в работах по классическому анализу. Вычеты все время использую, например, не столько для конкретных вычислений (хотя примеры тоже считаю), сколько для доказательств теорем. Впрочем, почти все, что Вы предложили включить вместо этого, тоже использую. Так что учить надо и то и другое, вопрос только в каком порядке разумнее это делать.

Аналитическую геометрию я бы, наверное, выкинул. Математическую статистику -- зависит от того, насколько диффернцированно учат студентов. Бисмут использует случайные процессы во вполне main stream математике, но это все же экзотика и без этого почти всегда можно обойтись. Многие вещи надо учить чуть иначе (те же тензоры; формулы Грина, Гаусса и Стокса, конечно, надо учить через общую формулу Стокса. Но потом на языке векторных полей тоже надо переформулировать), многие, наверное, лучше заменить чем-то другим, просто из-за недостатка времени. Курс матфизики обычно слишком подробный для неспециалистов. Но совсем без него, по-моему, нельзя. Курс матфизики обычно слишком подробный для неспециалистов. Но совсем без него, по-моему, нельзя. Но, мне кажется, почти все, что Вы предложили выкинуть, профессиональный математик должен в том или ином виде знать.

From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 15th, 2009 - 11:11 pm
(Link)
>По-моему, Ваш список просто отражает Ваши личные математические интересы.

Вовсе нет (мой основной интерес — алгебраическая
топология и связанные с ней квантовые теории поля).
Просто я подобрал для того материала, который
присутствует в исходном списке его современную версию.
Кроме того, речь шла не о составлении программы
(что неявно вытекает из формулировки про интересы),
а о том, что будет, если заменить архаичные изложения
современными.
Области вроде алгебраической геометрии и алгебраической
топологии сейчас вообще никак не представлены,
поэтому я их даже и не упомянул.

Впрочем, видимо, любая программа (в этой записи, хочу подчеркнуть, никакой программы нет)
будет отражать чьи-то интересы и не отражать
чьи-то другие интересы.
Нынешняя, кажется, отражает интересы только
жёстких аналитиков.

>Вообще, примерно 2/3 того, что Вы предлагаете выкинуть я использовал в своих работах.

Ну вот, опять везде людям видятся деструктивные аспекты вместо имевшихся ввиду конструктивных.
Я ничего не предлагал выкидывать,
а наоборот, излагать современным образом.
Дьёдонне говорит о том же самом.

Эпсилон-дельта формализм превращается
в определение топологии на метрическом пространстве
(в упражениях при этом доказывается эквивалентность
современных и классических определений),
формулы Грина, Гаусса и Стокса превращаются
в общую формулу Стокса (а частные случаи
можно оставить в упражнениях),
интеграл Римана превращается в интеграл Лебега
и так далее.

>Чем Вам так не угодили условно-сходящиеся ряды?

Тем, что такие вещи должны изучаться в упражнениях,
а не подаваться как нечто исключительно важное,
как это происходит сейчас.

>Но, мне кажется, почти все, что Вы предложили выкинуть, профессиональный математик должен в том или ином виде знать.

Ещё раз, я почти ничего не предлагаю выкинуть,
кроме аналитической геометрии и пары совсем маразматичных вещей
вроде 50 интегралов (и то я об этом пишу только сейчас,
а в исходной записи про это нет ни слова).
Предлагаю только заменить архаичные вещи современными,
как и Дьёдонне.

>Многие вещи надо учить чуть иначе (те же тензоры; формулы Грина, Гаусса и Стокса, конечно, надо учить через общую формулу Стокса. Но потом на языке векторных полей тоже надо переформулировать), многие, наверное, лучше заменить чем-то другим, просто из-за недостатка времени. Курс матфизики обычно слишком подробный для неспециалистов. Но совсем без него, по-моему, нельзя.

Вы предлагается сделать тоже самое, что и я.
Под «матфизикой» обычно имеются ввиду
разбор нескольких уравнений в частных производных.
Они (уравнения) у меня включены в список.
From:[info]bravchick.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 08:32 pm
(Link)
Я понял, что Вы имеете в виду. Я согласен лишь частично. Есть случаи, когда современный более общий подход делает изложение проще (Пример: общая формула Стокса проще, чем классические формула векторного анализа). А есть, когда сложнее и абстрактней. Большинство нормальных людей не может воспринять общую топологию, не поиграв перед этим с эпсилон-дельта доказательствами простых утверждений анализа. То есть, в конце концов, если их долго бить, наверное поймут. Но сил и времени на это уйдет больше, чем, если сначала учить анализ, а потом топологию. Вы не пробовали обучать общей топологии студентов, которые никогда до этого не видели эпсилон-дельта техники? По моему опыту даже обычный анализ поначалу почти у всех идет трудно и медленно. Людям надо медленно привыкать к новым идеям. Кратчайший путь к знаниям не всегда самый быстрый.
[User Picture]
From:[info]tiphareth
Date:July 18th, 2009 - 05:01 am
(Link)
>Вы не пробовали обучать общей топологии студентов,
>которые никогда до этого не видели эпсилон-дельта техники?

Я пробовал. Даже написал книжку с содержанием курса (задачи, лекции)
http://verbit.ru/MATH/UCHEBNIK/top-book.pdf

Результатом очень доволен, студенты тоже, кажется.

\epsilon-\delta есть мракобесие и обскурантизм
вроде обязательной программы ОПК.

Такие дела
Миша
From:[info]akapinys.livejournal.com
Date:July 18th, 2009 - 06:54 pm
(Link)
Замечательная книга! Она скоро будет в печати?

Замечания:
почему пункты "Введение" нумеруются 2.х?
Вы указываете на 2 тома: геометрия и алгебра что вводит неясность.
почему бы не сделать более жестче привязку листок-лекция?
[User Picture]
From:[info]tiphareth
Date:July 19th, 2009 - 03:49 am
(Link)
>Замечательная книга! Она скоро будет в печати?

Не ведаю. Издательство молчит, как рыбо, при встрече спрошу, что там.

>почему пункты "Введение" нумеруются 2.х?

Сглючило, спасибо.

>Вы указываете на 2 тома: геометрия и алгебра что вводит неясность.

Да, это нужно править. Второй том как бы есть тоже, но совсем сыро.

>почему бы не сделать более жестче привязку листок-лекция?

Ну, все-таки это два курса, по сути независимые, в лекциях
к тому же решения многих задач прямо излагаются, соответственно,
не должно появляться желания читать их вперемешку
From:(Anonymous)
Date:August 12th, 2009 - 02:14 pm
(Link)
> Большинство нормальных людей
> не может воспринять общую топологию,
> не поиграв перед этим с эпсилон-дельта доказательствами
> простых утверждений анализа.

Могу совершенно точно сказать,
что эпсилон-дельта-формулировки
гораздо выгоднее вводить через "окрестности".
Народ _гораздо_ лучше понимает.

Далее, тот же самый народ очень хорошо понимает,
что окрестности могут быть и в n-мерном пространстве,
и во всяческих L_2, причём, этот народ -- школьники.

А уж объяснить, что бывают окрестности, которые
бывают очень разные, и не от нормы, и не от метрики,
после этого получается совершенно запросто.
Могу точно сказать, что для этого гениальность
воспринимающих материал совершенно не обяательна.
Вполне достаточно, чтобы преподаватель знал, о чём преподавал.

Кароче говоря, матан 30-х годов безнадёжно устарел ;-)

Что-то, жж тут не воспринимается.
Это был я ->
NIvanych@livejournal.com
Nick@Ivanych.net
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 15th, 2009 - 11:14 pm
(Link)
Я кажется понял, что произошло. Фраза про мусор относилась к обязательным гуманитарным предметам. Поправил.
[User Picture]
From:[info]tiphareth
Date:July 16th, 2009 - 12:40 am
(Link)
>Мне, однако, кажется разумным, чтобы люди, занимающиеся
>алгебраическими D-модулями знали хотя бы примерно, что
>такое псевдо-дифференциальный оператор.

Я тут читал курс по теории Ходжа, и обнаружил,
что определения псевдодифференциальных операторов
в книжках более-менее нет. То, что написано -
"запишем такой-то оператор в координатах (15 страниц)
от координат и разбиение единицы это определение
не зависит" (15 страниц). Причем от книжки к книжки
само определение меняется, и они неэквивалентны.

Я стал приставать к разным людям, пытаясь выяснить,
есть ли (а) консенсус и (б) определение меньше, чем
10 страниц. Ни того, ни другого, похоже, нет, то есть
опрошенные специалисты мне не помогли.

Не думаю, что педагогически правильно вообще
упоминать "псевдодифференциальные операторы"
в такой ситуации, даже в курсе по PDE.

Если ты можешь как-то разъяснить эту проблему,
я буду весьма признателен.

>Курс матфизики

"Курс матфизики" ("уравнения математической физики")
это на самом деле курс PDE, причем строго в координатах
и избегая любых фундаментальных теорем и неравенств.
В топку.

Впрочем, всю мехматскую программу туда же,
она по количеству полезного контента с избытком
перекрывается программой "матшкольник".

Такие дела
Миша
From:[info]bravchick.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 08:22 pm
(Link)
Тридцать страниц на введение псевдо-дифференциальных операторов -- это, по-моему, только в книге Шубина, где все делается в максимальной общности и с максимальным занудством. Обычно на все про все уходит страниц 15 (уже с независимостью от координат и построением параметрикса). См., например, первую главу книги Gilkey, Ivariance Theory, the Heat ...

Совсем без координат, к сожалению не обойдешься. Действительно есть несколько не вполне эквиавлентных версий, но, на сколько я понимаю, за стандарт принято определение Хермандера (оно же в книгах Шубина и Трева). Кондовые аналитики обычно все пишут для пространсва символов зависящего от двух параметров (\rho,\delta). Для всех практических целей достаточно пространсва (1,0), которые только и надо вводить. Я не призываю учить псевдо-дифференциальные операторы в общих курсах. Но прежде, чем учить D-модули, по-моему, надо получить представление о не полиномиальных символах и параметриксах.

Уравнения матфизики, конечно, не надо учить по Тихонову и Самарскому. У нас в этом курсе вводились обобщенные функции, Соболевские пространсва и было много общих теорем. По-моему, все студенты-математики должны увидеть несколько основных примеров PDE (волновое уравнение, уравнение теплопроводности, ...,) и их основные свойства. Должны знать, что такое граничная задача что она не всегда имеет решение и решение не всегда единственно. Должны знать про эллиптические и параболические уравнения и об их отличиях. Должны увидеть 2-3 метода явных решений и узнать, что явные есть не всегда. Должны услышать о спец-функциях. Должны узнать об обобщенных функциях и слабых решениях. Из всего этого может получится отличный семестровый курс. Кстати у Шубина есть очень разумный учебник урматов.

[User Picture]
From:[info]tiphareth
Date:July 18th, 2009 - 04:56 am
(Link)

>Из всего этого может получится отличный семестровый курс.

Да-да, я как раз такой читаю следующей весной для
второкурсников. Воспроизведу синопсис, для понятности

``Эллиптические операторы и спектральная теория``

0. Расслоения, векторные поля, комплекс де Рама, разбиение
единицы.

1. Дифференциальные операторы.
Символ дифференциального оператора. Оператор Лапласа.

2. Эллиптические операторы. Слабый принцип максимума.
Гармонические функции.

3. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса о компактности
единичного шара.

4. Пространства Соболева. Лемма Реллиха и лемма Соболева.

5. Фредгольмовы операторы. Спектральная теорема для
самосопряженных компактных операторов.

6. Спектральное разложение для оператора Лапласа на
окружности.

7. (*) Спектральное разложение для оператора
Лапласа на сфере.

8. (*) Связность, кривизна, формула Вайценбека.

9. (*) Оператор Грина. Спектральное разложение для
оператора Лапласа на римановом многообразии.

От слушателей желательно знакомство с понятием многообразия,
векторного расслоения, разбиениением единицы, комплексом де
Рама, леммой Пуанкаре. Части 7-9 будут в сокращении (в зависимости
от подготовки студентов - если никто не знает, что есть
связность и кривизна, у нас немного шансов рассказать им
формулу Вайценбека и теорию Ходжа, если никто не знает
элементарную теорию представлений, про спектральное
разложение на сфере тоже не получится).

Но внутреннее определение псевдодифференциальных
операторов должно быть, просто не придумали.

Что до приведенной выше программы, если добавить
к ней теорию Ходжа (включая параметрикс), теорему об
индексе, регулярность решений, уравнения Монжа-Ампера
(Погорелов, Яу) и сильный принцип максимума для
операторов второго порядка, обязательная программа
PDE этим должна исчерпываться.

Что занятно - пересечений с тем, что читают на мехмате,
у мною приведенного выше просто нет, даже "фредгольмовых
операторов" там не рассказывают.

Что до граничных условий, то это бред какой-то - есть
задача Лиувилля, есть \bar\partial-проблема Ноймана,
есть решения Бедфорда-Тэйлора, но никаких общих решений
к подобным задачам нет, и осмысленных общих принципов
тоже нет, соответственно, лучше не упоминать вовсе,
иначе можно скатиться к унылому говну вроде трудов
мехматских профессоров.

Ну и естественно,
геометрический анализ включает в себя много гитик,
локальную разрешимость потока Риччи, \lambda-инвариант
Перельмана, оценку собственных значений Лапласа, формулу
следа Сельберга и прочее, что есть в учебнике Яу-Шоэна, но
это надо выделить в отдельный курс.

Такие дела
Миша
From:[info]sheremetyev.livejournal.com
Date:July 15th, 2009 - 11:17 pm
(Link)
Имхо, стоит составить более-менее согласованную программу - принесет кому-нибудь пользу.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 16th, 2009 - 01:18 am
(Link)
А вот Миша (который в другом комментарии уже отписался)
уже сделал когда-то программу:
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html

Там, конечно, не всё бесспорно, особенно на старших курсах,
где прослеживается специализация (не то чтобы я против
изучения описанного там материала, но и многие другие
вещи тогда тоже надо учить),
но, конечно, гораздо она лучше того ужаса, что есть сейчас.
From:[info]akapinys.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 01:21 pm
(Link)
кстати, Вы не против что я опубликовал, у себя в журнале, ваш набросок мат. книг?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 16th, 2009 - 01:26 pm
(Link)
Да нет, пусть висит. Правда, мне уже хочется внести правки:
Постникову и Кострикину-Манину следует понизить уровень на единицу, а в качестве первого уровня по категориям
взять две книги Ловера по теории множеств.
И, конечно, надо указать, что список — это лишь грубый предварительный набросок.
From:[info]akapinys.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 01:35 pm
(Link)
напишите, пожалуйста, патч к списку мне на почту. недоразумений. И я обязательно исправлю пост. Мой адрес у Вас есть?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 16th, 2009 - 03:59 pm
(Link)
Вот поправки:

2 уровень: М. М. Постников: Лекции по геометрии. Семестр 2: Линейная алгебра.
3 уровень: А. И. Кострикин, Ю. И. Манин: Линейная алгебра и геометрия.
[2 и 3 уровень отличаются по сложности не очень сильно, можно читать вместе.]

надо заименить на

1 уровень: М. М. Постников: Лекции по геометрии. Семестр 2: Линейная алгебра.
2 уровень: А. И. Кострикин, Ю. И. Манин: Линейная алгебра и геометрия.

и также заменить

1 уровень: Приличные книги отсутствуют. Кое-что есть в пунктах 2 и 3
теории множеств, не уверен, что это легче Мак Лейна.

на

1 уровень: Смотри 2 и 3 уровень теории множеств.
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 10:25 am
(Link)
"Наличие в любом плане научно-технической специальности кучи принудительной гуманитарной ахинеи я и вовсе оставляю за скобками"

Вы так о всей гуманитарной науке или только об ахинее? Если о всей, то мне вас искренне(!) жалко... "Как учить математике?"- действительно центральный вопрос. Позиция Вербицкого наверное слишком утрирована в плане привязки к матфизике, которая и сама может легко посыпаться в любой момент. Скорее, надо попытаться понять роль математики в общекультурном развитии человечества, а потом уж и делать какие-то выводы. http://www.shafarevich.voskres.ru/a90.htm
В этом контексте можно попробовать изучать математику, решая сложную задачу. Тогда, если считать, что основная задача математики- это что-то получше понять, человек, работая, развивается сам, изучая окружение этой задачи, а в случае удачи может привнести и что-то полезное для понимания науки другими.
From:[info]akapinys.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 01:19 pm
(Link)
а какая польза от гуманитарных предметов изучаемых на мехмате (кроме ин.яза)?!
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 16th, 2009 - 01:21 pm
(Link)
>Вы так о всей гуманитарной науке или только об ахинее?

Гуманитарные предметы можно преподавать нормально,
проблема только в том, что в университетах так не получается.

Вас никогда не удивляло, что историю изучают в школе,
а потом ещё один раз учат тоже самое в университете?
Притом нельзя сказать, чтобы повторное
изучение велось на более продвинутом уровне.
Это потому, что таким образом за счёт бедных студентов
решают проблему трудоустройства преподавателей истории КПСС.

Не кажется ли удвитиельным, что для получения степени
кандидата наук надо сдать экзамен по специальности,
по иностранному языку и по философии?
Почему по философии, а не по какому-нибудь другому
гуманитарному предмету, вроде культурологии или
социологии?
Почему в западной аспирантуре сдают только экзамен
по специальности и по иностранному языку?
Это всё потому, что таким образом за счёт несчастных
студентов решена проблема преподавателей
марксистско-ленинской философии.
И так далее со всеми гуманитарными предметами, кроме языков.

Шафаревича я очень уважаю, но в данной статье
он приходит к совершенно мракобесным выводам:

>Если мы, таким образом, отбросим этот путь, то останется, как мне кажется только одна возможность; цель математике может дать не низшая сравнительно с нею, а высшая сфера человеческой деятельности - религия.

Сказанное ни в коей степени не умаляет и не подвергает сомнению научные заслуги Шафаревича.

Математикой следует заниматься по той же причине,
по которой следует заниматься остальными науками —
с целью изучения реальности.

Религия ей ничего указывать не должна, да и не может,
а не то получится <a href="http://community.livejournal.com/ban_topology/'>истинно-православная математика</a>. В этом отношении мне гораздо ближе позиция, которую предлагает Atiyah в своих многочисленных статьях. >Позиция Вербицкого наверное слишком утрирована в плане привязки к матфизике, которая и сама может легко посыпаться в любой момент. Физика может «посыпаться» в любой момент в том плане, что будет изобретена новая теория, уточняющая старые (вроде ОТО или квантовой механики). Весь опыт исторического развития физики говорит о том, что новая теория также будет использовать продвинутую математику. Об этом написал ещё Eugene Wigner в своей статье «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences». Так что такая критика позиции Вербицкого мне не кажется существенной. >В этом контексте можно попробовать изучать математику, решая сложную задачу. Тогда, если считать, что основная задача математики- это что-то получше понять, человек, работая, развивается сам, изучая окружение этой задачи, а в случае удачи может привнести и что-то полезное для понимания науки другими. Это верно для любой науки (физики, биологии и так далее), а не только для математики, так что не понятно, что здесь специфичного для математики. В заключение хочу отметить, что словосочетание «гуманитарная наука» является оксимороном, ибо наука — это то, что использует научный метод. В гуманитарных областях научный метод не используется. В таком контексте более аккуратно говорить о гуманитарных предметах или о гуманитарных дисциплинах. То есть математика, физика, биология, асторономия — это науки, а история, экономика, социология — это гуманитарные дисциплины. Большинство моих претензий к гуманитарным предметам снимутся, если их сделают строго необязательными. Но заставлять на них ходить насильно — я категорически против.
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 01:59 pm
(Link)
Аминь! :-)

Только вот под религией И.Р. понимает гораздо более тонкие сущности, чем какое-либо мракобесие.. Наиболее глубокое постижение Реальности и есть истинная религия! :-)

"Так что такая критика позиции Вербицкого мне не кажется существенной."
Она не существенна в плане подборки литературы- там всё нормально! :-) Слишком неосторожной кажется посылка, что всё кроме струнной матфизики- чушь..
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 16th, 2009 - 03:56 pm
(Link)
>Только вот под религией И.Р. понимает гораздо более тонкие сущности, чем какое-либо мракобесие.. Наиболее глубокое постижение Реальности и есть истинная религия! :-)

То есть религия — это наука. Против такой «религии» я ничего не имею против, вот только
такое словоупотребление сильно расходится
с общепринятым.
Но я, конечно, не имею ничего против того, что
заменить традиционную религию наукой.

Обычно под религией имеется ввиду учение о жизни
после смерти, записанное в виде какого-либо «священного» текста.
Люди, активно следующие этому учению, зачастую считают
себя вправе навязывать другим своё понимание некоторых
явлений, противоречащае науке (особенно в
эволюционной биологии и генетике, а также в геологии)
и зачастую делают это очень агрессивно.
Отсюда моё неприятие традиционной религии.

Мне хотелось бы считать, что Шафаревич понимает
религию в вашем смысле, но, к сожалению, из его поздних
текстов видно, что в них он выступает как обычный православный
мракобес (и антисемит, кстати), пусть даже и весьма просвещённый.

>Она не существенна в плане подборки литературы- там всё нормально! :-) Слишком неосторожной кажется посылка, что всё кроме струнной матфизики- чушь..

Важна не посылка, а то, как её интерпретируют.
У Миши в плане, например, есть теория полей классов и гипотезы Вейля. Я, например, не знаю, какое непосредственное отношение они имеют к теории струн.
То есть всё не так примтивно, как можно показаться.

Кроме того, сам Миша где-то недавно писал, что программа,
отражает лишь кусок математики,
и нетрудно набросать другие программы — по алгебраической топологии, теории представлений и так далее.

Скажем, в программе совсем не представлены алгебры
фон Нойманна, равно как и их приложения вроде L2-когомологий,
а ведь они (алгебры) весьма важны в квантовой теории поля.
Ну и вообще некоммутативная геометрии почти не представлена, несмотря на все её приложения к квантовой физике.
From:[info]akapinys.livejournal.com
Date:July 16th, 2009 - 04:24 pm
(Link)
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/1225151.html?thread=32903615#t32903615

высказывание Вербицкого насчет его программы
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 16th, 2009 - 08:22 pm
(Link)
Спасибо, я как раз не мог найти ссылку.
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:July 17th, 2009 - 12:25 pm
(Link)
"Отсюда моё неприятие традиционной религии."

У нас разные понятия о традиционной религии, моё- это, приблизительно, как у Успенского "В поисках чудесного".

"и антисемит, кстати"

Это навешивание ярлыков.
Если считать, что семит- это тот, кто никогда не подаёт нищему на паперти, ненавидит и презирает всех иных, то да. К моему огромному счастью, в моей жизни таких людей просто Нет, а есть прекрасные, более того, самые лучшие, надёжные и проверенные жизнью друзья! А перед верующими людьми типа Рипса я всегда готов преклонить голову!
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:July 17th, 2009 - 05:32 pm
(Link)
Впрочем, кроме Русофобии я ничего у него не знаю..
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 18th, 2009 - 03:22 pm
(Link)
>Это навешивание ярлыков.

Как говорит Википедия, антисемитизм — это prejudice against or hostility towards Jews, often rooted in hatred of their ethnic background, culture, or religion.
Я имел ввиду его вполне конкретные высказывания, например:

Перелом произошел в связи с так называемой "хрустальной ночью". Поводом к ней послужило убийство в 1938 г. польским евреем Гриншпаном 3-го секретаря немецкого посольства в Париже фон Рата. Впрочем, это был не первый случай. Так, в 1936 г. глава нацистской иностранной организации в Швейцарии был убит Давидом Франкфуртером. Ситуация напоминала современную ситуацию в США после терактов 11 сентября 2001 г.: государство должно было найти ответ на террористический акт, направленный против его граждан. Гитлеровская Германия ответила организацией "Хрустальной ночи".

Или вот ещё:

Безусловно, этот «всероссийский разгром» [во время Гражданской Войны] совершался не исключительно еврейскими руками, а коммунистической властью. Но это не снимает вопроса о том, почему же еврейские силы с таким азартом приняли участие в «разгроме».

По-моему, вполне он попадает под это определение.
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:July 20th, 2009 - 08:27 am
(Link)
под определения подходят...
Только вот, мне кажется, именно от навешивания ярлыков(определений) резкость подобных высказываний только увеличивается. Ведь как, в психиатрии, например, врачам рекомендуют раз сто подумать, раз пять посоветоваться с другими специалистами, прежде, чем ставить диагноз (шизофрения, скажем)- поставленный диагноз уже жёстко определяет дальнейшее поведение пациента.
Это в защиту хорошего математика! :-)
From:[info]mikhandr.livejournal.com
Date:July 17th, 2009 - 05:24 pm
(Link)
"То есть всё не так примтивно, как можно показаться"

Да нормальная программа! Конечно, можно улучшать список литературы и т.д. и т.п. Конечно, она где-то составлена с учётом его личных симпатий, но это тоже нормально... :-)
From:(Anonymous)
Date:August 12th, 2009 - 12:02 pm
(Link)
Прям душу мою затрагиваете ;-)
Помнится, долго пытался выяснить,
чем же понятие окрестности такое нехорошее.

Например, по моему опыту, хоть и маленькому,
дети (5-6 класс) гораздо лучше понимают
"окрестности", чем "эпсилон-дельту".
From:[info]rus4
Date:September 11th, 2009 - 02:07 pm
(Link)
С Днем Рождения! Пусть некоторые из твоих пожеланий исполнятся.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:September 11th, 2009 - 02:25 pm
(Link)
Спасибо! А вот насчёт моих пожеланий не уверен, что что-то получится…
From:[info]victormi.livejournal.com
Date:August 3rd, 2010 - 03:43 pm

Харшиладзе

(Link)
[User Picture]
From:[info]bananeen
Date:July 11th, 2011 - 05:31 pm
(Link)
Дмитрий, конечно планиметрия в таких масштабах как сейчас - это маразм, и выглядит очень заманчивым вводить элементы линейной алгебры. Но мне кажется вариант Дьедонне чрезмерно радикален с методической точки зрения. Например, планиметрия в объеме до теоремы Пифагора достаточна наглядна и позволяет понять, откуда в дальнейшем появляются формулы для стандартной метрики и скалярного произведения.

А вот если прям сразу без евклидовой геометрии рассказывать линейную алгебру - как объяснять детям откуда берется формула нормы вектора и скалярное произведение? Просто по определению (или как "аксиому") задать будет, на мой взгляд, методически неверно, так как определение (или аксиома) должно быть достаточно понятно из наглядных соображений.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:July 11th, 2011 - 05:47 pm
(Link)
Формулу для скалярного произведения совсем несложно
рязъяснить сразу в координатах.
Сначала надо аккуратно разъяснить геометрический
смысл скалярного произведения (ориентированная длина проекции умножается на длину вектора, на который проектируют).
После этого нарисовать несколько рисунков,
демонстрирующих, что операция должна быть линейной
по аргументу, который проектируется,
и симметричной (однородность + симметричность
для векторов длины 1, для чего рисуется простая картинка).

После того, как билинейность установлена,
достаточно вычислить скалярное произведение
на базисных векторах, что тривиально.
From:[info]chronos
Date:December 12th, 2013 - 04:07 am
(Link)
Дмитрий. Вы можете сформулировать критерий содержательной учебной задачи? Система листочков в НМУ это содержательные учебные задачи?
Вы отрицаете пользу от шаблонных задач, но все же некоторые навыки представляются полезными - например школьная таблица умножений хотя бы в том же магазине, не калькулятор же с собой таскать. Навыки ведь чем хороши - они разгружают сознание для более содержательной работы, автоматизируя действия человека. Поэтому если человек часто чем-то пользуется, то почему не перевести это в навык. Кому-то могут и навыки интегрирования пригодится, а для этого как раз и нужны шаблонные задачи.

Еще бы мне хотелось узнать у вас, какие доказательства вы считаете более важными. Ведь зачастую один и тот же факт доказывается разными способами. Какое доказательство более полезно?

Жалко, что вы не пишете новых постов в блоге о математике. Наверняка у вас появляются новые мысли даже об уже вами сказанном. С вашего обновления манифеста прошла уже почти три года.
http://lj.rossia.org/~dmitri_pavlov/12706.html
Ваши взгляды на него как-то изменились?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 12th, 2013 - 01:03 pm
(Link)
Задача содержательная, если она служит чему-то большему, нежели простому развитию механических навыков.
Задачи в НМУ, наверное, содержательные,
во всяком случае, я смотрел листочки Вербицкого и они содержательные.

Таблица умножения вполне содержательна для первоклассника, который только начал изучать натуральные числа.

Навыки будут развиваться в любом случае, при условии,
что они действительно нужны для решения содержательных задач.
А вот специально пытаться их развивать путём большого решения механических задач не нужно.

В идеале доказательства должны быть как у Гротендика:
когда определения сформулированы и осознаны,
все теоремы становятся тривиальными.
Этот идеал не везде достигнут, и тогда более полезными
являются доказательства с ясной концептуальной идеей
(в противоположность техническим вычислениям).

По поводу манифеста — отказаться от модельных категорий
пока нельзя, ибо все модели для (∞,1)-категорий
существенным образом используют формализм модельных категорий.
From:[info]chronos
Date:December 12th, 2013 - 04:39 pm
(Link)
>Задача содержательная, если она служит чему-то большему, нежели простому развитию механических навыков.

Это как то слишком обще и размыто, т.к. это итак понятно, но непонятно какие задачи лучше выбрать. Хотелось бы иметь более конкретный критерий хотя бы в области учебных задач по математики.

>Навыки будут развиваться в любом случае, при условии,
что они действительно нужны для решения содержательных задач.
А вот специально пытаться их развивать путём большого решения механических задач не нужно.

Из психологии известно, чтобы развился конкретный навык, упражнение в течении короткого времени на именно этот навык нужно повторить многократно, а не растягивать процесс от случая к случаю. Отсюда и идут требования вычислить интегралы от 50 функций. А иначе все время придется Америку открывать. Я вчера прочитал воспоминания Виталия Гинзбурга, который жаловался, что жизнь у него сложилась так, что он не получил нормальное школьное образование и из-за этого у него, теоретического физика, всю жизнь были проблемы с вычислениями и он выходил из положения благодаря физическому чутью.

>В идеале доказательства должны быть как у Гротендика:
когда определения сформулированы и осознаны,
все теоремы становятся тривиальными.

Да, я знаю о таком постулате. Но ведь тогда возникает другая проблема - становится слишком много определений и новых терминов, которые сложно быстро воспринять и удержать в голове. Теория перестает быть обзорной. Что-то подобное наблюдается в современном программировании, когда смотришь на тысячи строк кода и понимаешь, что захлебываешься в нем несмотря на все тщательно построенные структуры и комментарии. А как с этим бороться непонятно.

Я иногда читаю блог Посицельского и удивляюсь, как он умудряется удерживать, а главное манипулировать в голове очень сложными и длинно описанными математическими конструкциями. Как этого добиться совершенно непонятно. У вас есть этому объяснение? Вы ведь и сами работаете в очень сложном разделе математики. Это врожденное качество или его можно как-то развить?

>Этот идеал не везде достигнут, и тогда более полезными
являются доказательства с ясной концептуальной идеей
(в противоположность техническим вычислениям).

Не совсем понятно содержание понятия концептуально. Нельзя ли более подробно расшифровать? Все же в любом доказательстве есть идеи и они вроде бы вполне себе ясные. Доказательство обычно разбивается на этапы и это очень похоже на структурное программирование.
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 13th, 2013 - 12:22 am
(Link)
>Это как то слишком обще и размыто, т.к. это итак понятно, но непонятно какие задачи лучше выбрать. Хотелось бы иметь более конкретный критерий хотя бы в области учебных задач по математики.

Ну почему непонятно? Например, понятно, что не надо давать задачи
вида «вычислите производную/интеграл заданной функции»
или «решите данное логарифмическое неравенство».

>Из психологии известно, чтобы развился конкретный навык, упражнение в течении короткого времени на именно этот навык нужно повторить многократно, а не растягивать процесс от случая к случаю.

И как это противоречит тому, что я сказал?
Решайте концептуальные задачи в данной теме с достаточной интенсивностью
и необходимые навыки сами разовьются.

>Но ведь тогда возникает другая проблема - становится слишком много определений и новых терминов, которые сложно быстро воспринять и удержать в голове.

На мой взгляд, изучение таких теорий подобно изучению иностранного языка.
Оно происходит постепенно и не очень быстро.
Чем больше языков уже изучено, тем проще изучить следующий.

>Все же в любом доказательстве есть идеи и они вроде бы вполне себе ясные.

Существует множество доказательств без каких-либо идей.
Тупые вычисления в большом количестве, и в конце получается ответ.
Доказательство гипотезы о четырёх красках как раз такого типа.
From:[info]chronos
Date:December 13th, 2013 - 01:31 am
(Link)
>Ну почему непонятно? Например, понятно, что не надо давать задачи
вида «вычислите производную/интеграл заданной функции»
или «решите данное логарифмическое неравенство».

Хорошо бы привести не негативное определение, а позитивное. Ну или хотя бы примеры содержательных задач из того же интегрирования.

>И как это противоречит тому, что я сказал?
Решайте концептуальные задачи в данной теме с достаточной интенсивностью
и необходимые навыки сами разовьются.

Ну хорошо, тогда лучше пример. Навык интегрирования по частям это полезная вещь или нет? И хорошо, если бы вы расшифровали что такое концептуальная задача. Ну или хотя примеры из того же интегрирования привели.

>На мой взгляд, изучение таких теорий подобно изучению иностранного языка.
Оно происходит постепенно и не очень быстро.
Чем больше языков уже изучено, тем проще изучить следующий.

Для меня это не очень хорошая аналогия. Я например иногда не могу точно вспомнить это американское или это английское произношение конкретного слова. Потом все же как вы удерживаете и эффективно манипулируете в голове математическими понятиями с длинным перечнем в названии? Это все же явно не про иностранный язык. Скорее особенность сложной математики.

>Существует множество доказательств без каких-либо идей.
Тупые вычисления в большом количестве, и в конце получается ответ.
Доказательство гипотезы о четырёх красках как раз такого типа.

Если вы имеете ввиду компьютерное решение задачи про раскраску 4-мя красками, то это все же исключение, но даже там были какие-то идеи по перебору. Пока же большинство доказательств делается вручную. Ну а если есть два доказательства и они оба невелики. Как понять какое из них концептуальнее? Скажем если задача из теории чисел решена методами теории чисел и методами теории моделей. Может концептуальней нативные методы теории чисел?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 13th, 2013 - 01:54 am
(Link)
Интегрирование по частям — содержательное, концептуальное понятие.

Но интегрировать по частям сотни конкретных интегралов не следует.

Примеры содержательных задач из интегрирования:
http://ium.mccme.ru/postscript/f10/mera-3.pdf
http://ium.mccme.ru/postscript/f10/mera-6.pdf
http://ium.mccme.ru/postscript/s05/t_measure5.ps.gz

>Потом все же как вы удерживаете и эффективно манипулируете в голове математическими понятиями с длинным перечнем в названии?

У меня нет более конкретного ответа, это скорее вопрос
к нейрофизиологам и когнитивистикам.
Как человек, говорящий на иностранном языке удерживает и эффективно
манипулирует в голове предложениями, состоящими из многих существительных,
глаголов, прилагательных, и наречий?

>Ну а если есть два доказательства и они оба невелики. Как понять какое из них концептуальнее?

По связям с другими теориями, по тому, как они обобщаются
или помогают придумывать схожие доказательства.
From:[info]chronos
Date:December 13th, 2013 - 02:12 am
(Link)
>Но интегрировать по частям сотни конкретных интегралов не следует.

Хорошо, кажется я начинаю вас понимать. Навык вырабатывается кажется после 30-50 решенных на него задач. Вроде бы так психологи пишут.

>Примеры содержательных задач из интегрирования:

Судя по всему, более полезными вы считаете задачи на доказательства части теории по изучаемой теме.

>Как человек, говорящий на иностранном языке удерживает и эффективно
манипулирует в голове предложениями, состоящими из многих существительных,
глаголов, прилагательных, и наречий?

Тут я вас тоже понял, что математика это язык. Но все же нет ли у вас какой-нибудь методики по ускорению вхождения в тему? Язык-то очень специфический, строго логический.

>По связям с другими теориями, по тому, как они обобщаются
или помогают придумывать схожие доказательства.

Тогда получается, что напротив доказательство не нативными методами концептуальнее. А также, чем доказательство короче и более обще, тем тоже концептуальней.
Под тупыми вычислениями вы наверно также подразумевали еще тезис от Посицельского: заменяйте вычисления рассуждениями?
From:[info]dmitri_pavlov
Date:December 13th, 2013 - 05:52 pm
(Link)
>Судя по всему, более полезными вы считаете задачи на доказательства части теории по изучаемой теме.

Да, в какой-то степени это так.

>Тут я вас тоже понял, что математика это язык. Но все же нет ли у вас какой-нибудь методики по ускорению вхождения в тему? Язык-то очень специфический, строго логический.

Я бы не сказал, что математика — «строго логический» язык.
Я, во всяком случае, никогда не думаю о математике «строго логическим» образом.

>Под тупыми вычислениями вы наверно также подразумевали еще тезис от Посицельского: заменяйте вычисления рассуждениями?

Да, конечно.
From:[info]chronos
Date:December 13th, 2013 - 06:58 pm
(Link)
Хорошо, спасибо. Многое прояснилось.
My Website Powered by LJ.Rossia.org