Я знаком с этой статьей, спасибо. Но:

1) Как я понимаю, Ваш комментарий появился много раньше этой статьи (ей пара недель от силы). Потому я думал, что у Вас был какой-то иной ответ.

2) Это все равно не совсем ответ. Заранее предполагается at hand разработанная теория (∞,1)-категорий, в частности, теория представимых (∞,1)-категорий. В данном случае моделями являются квазикатегории, и используется то, что у Лури в НТТ содержится в 5 главе.

Неизбежно, например, нужно ответить на вопрос, что такое (∞,1)-категория предпучков. А корректное понимание категорий функторов для тех же квазикатегорий появляется только после построения модельной структуры Joyal'а на SSet. Собственно, можно, конечно, и так: с помощью модельных техник построить теорию (∞,1)-категорий, а потом уже все делать в "этой вселенной", только не то чтобы это очень удовлетворительно.

Кроме того, авторы подчеркивают, что их работу можно перевести на язык тех же модельных категорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как я понимаю, Ваш комментарий появился много раньше этой статьи (ей пара недель от силы).

Пару недель она лежит в архиве, результат был получен раньше.
Шоммер-Прис, кстати, мой научный брат (Doktorbruder).

>А корректное понимание категорий функторов для тех же квазикатегорий появляется только после построения модельной структуры Joyal'а на SSet.

Такое же утверждение можно сделать про само
определение квазикатегорий (которые являются
фибрантными объектами в модельной структуре Жояля).
Вот только тут на мой взгляд всё поставлено с ног
на голову: ведь обычно мы сначала определяем
квазикатегории, а уже затем говорим, что
слабая эквивалентность в модельной структуре
Жояля — это отображение, индуцирующее
изоморфизм связных компонент на пространствах
гомоморфизмов в произвольную квазикатегорию.
Тоже самое верно и для функторов, смотри
HTT, параграфы 1.2.7.2 и 1.2.7.3.
Вообще, модельные категории упоминаются в книге Лури
для обозначения преемственности и облегчения
понимания тем, кто уже знаком с модельными категориями.
А так они не нужны.

>Кроме того, авторы подчеркивают, что их работу можно перевести на язык тех же модельных категорий.

Можно, но не нужно.
Не зря ведь они выбрали квазикатегории,
а не умирающий язык модельных категорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо за ответы.

>HTT, параграфы 1.2.7.2 и 1.2.7.3.
Ну, там и происходит отсылка к тому, что "свойства доказываются с применением модельной структуры Joyal'а", и добро пожаловать в next chapter.

Наверное, да, можно не говорить слов "Модельная Категория" и заниматься комбинаторикой симплициальных множеств, просто что от этого число доказанных фактов не сильно меняется.

>Можно, но не нужно.
Не зря ведь они выбрали квазикатегории,
а не умирающий язык модельных категорий.

Да я только за то, чтобы был другой метод (к тому же да статья от такого изложения выйграла). :-) Другое дело, каковой именно должна быть замена, сейчас не особо ясно. Те же Complete Segal Spaces довольно симпатичны в плане своих свойств. Квазикатегории кажутся некоторой уникальной вещью, в том же смысле, в котором уникальны симплициальные множества как модели гомотопических типов. Да, например с точки зрения тех же категорий функторов квазикатегории стоят на выделенном месте: в случае Segal Categories или Complete Segal Spaces, фибрантные объекты --- несколько больше, чем просто (\infty,n)-категории (оттого всякие проволочки с декартовой замкнутостью etc).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Ну, там и происходит отсылка к тому, что "свойства доказываются с применением модельной структуры Joyal'а", и добро пожаловать в next chapter.

А в следующей главе мы видим параграф 2.2.5.10,
а равно и секцию 2.1.4,
в которых и написано, зачем используются модельные
структуры — для сравнения с другими моделями ∞-категорий, в частности для сравнения с симплициальными категориями.

>просто что от этого число доказанных фактов не сильно меняется

Именно что меняется.
Если выкинуть сравнения с другими моделями,
то изложение станет короче,
достаточно будет только нескольких
свойств внутренних анодинных морфизмов,
вроде 2.3.2.1, 2.3.2.4, 2.2.5.4, 2.2.5.7 и нескольких других.

Кроме того, у меня ощущение, что если
не заниматься сравнениями, то 1.2.7.3 можно доказать
более прямым и простым способом (комбинируя
упомянутые леммы и выкидывая лишнее).

>Да, например с точки зрения тех же категорий функторов квазикатегории стоят на выделенном месте: в случае Segal Categories или Complete Segal Spaces, фибрантные объекты --- несколько больше, чем просто (\infty,n)-категории (оттого всякие проволочки с декартовой замкнутостью etc).

Именно.
Так что проще не заморачиваться
и использовать квазикатегории.

Конкретно, полные n-сложенные пространства Сигала «использовал»
тот же Лури в своей статье про гипотезу Баеза-Долана
о кобордизмах.
«Использовал» он их следующим образом:
определил (∞,n)-категорию бордизмов как полное
n-сложенное пространство Сигала, после чего «забыл» про формализм
и стал использовать наивный язык.
В результате весь результат немного висит в воздухе.
Шоммер-Прис утверждает, что ему удалось
перевести все наивные утверждения на язык
полных пространств Сигала и доказать их строго,
но усилия для этого потребовались немалые.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Кроме того, у меня ощущение, что если
не заниматься сравнениями, то 1.2.7.3 можно доказать
более прямым и простым способом (комбинируя
упомянутые леммы и выкидывая лишнее).

Что ж, вполне себе можно ожидать появления "квазикатегорий для работающего математика". К сожалению, текст Lurie все же для людей, уже знающих про "старую науку" достаточно много (это мое мнение, конечно).

Вот есть вопрос: можно ли использовать данное в статье Шоммер-Приса и Барвика определение, чтобы развивать модельно-независимую теорию (∞,n)-категорий? (интересно, сами авторы относятся к своему определению "теории n-категорий" как к методу решения классификационной задачи, или же у людей уже витают мысли о том, как строить науку internal to that definition?).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вообще говоря, (∞,n)-категории должны образовывать (∞,n+1)-категорию.
Что такое «модельно-независимая теория категорий»
я не могу представить уже для случая 2-категорий:
есть бикатегории, есть двойные категории.
Как можно с ними работать модельно независимо?
Можно, конечно, аксиоматизировать трикатегорию 2-категорий.
Но тогда возникает вопрос — какой вариант трикатегории использовать?

Мне кажется, что в случае с (∞,n)-категориями
один формализм будет доминирующим (также, как в случае
с 2-категориями доминируют бикатегории),
а остальные формализмы будут появляться изредка и только
тогда, когда они действительно нужны (в случае с 2-категориями,
двойные категории очень полезны для одновременного
описания двух типов морфизмов между алгебрами:
бимодулей и обычных гомоморфизмов).

В случае с (∞,1)-категориями вопрос, на мой взгляд,
уже разрешился в пользу квазикатегорий,
а вот для (∞,2)-категорий ситуация ещё не полностью ясна.

(Reply to this) (Parent)