Дима. На сегодняшний день вы смогли подобрать наиболее подходящую литературу, статьи на русском и английском под свой манифест? Если да, то не опубликуете осовремененный список? Хорошо, если бы подробнее расписали, что обязательно должен знать современный математик, а что скорее всего бесполезно и дали бы более полный список.

Еще меня интересуют основы математики: теория моделей, теория доказательств, теория рекурсии и алгоритмов, теория множеств. В вашей классификации это изолированные ветви, анахронизм или что? Если можно, напишите подробней.
Тот же вопрос о графах, автоматах и вообще комбинаторике, о тервере, статистике, случайных процессах и эргодической теории.

Вы в свое время усиленно занимались программированием, но к сожалению похоже в журнале нигде подробно эту тему не осветили. Что вы считаете там полезным, что вредным или анахронизмом в этой области. Это область приложения математики, поэтому интересен ее подробный разбор.

(Reply to this) (Thread)

Полный список составить очень сложно.
Про ∞-категории надо, конечно, читать
книгу Лури — это, по существу, единственный источник.
Про гладкие многообразия мне нравится
книга Раманана Global Calculus (http://libgen.org/get?nametype=orig&md5=9934F3A9B18A5145371309B0ECD2062D).
Про локали недавно вышла книжка (Picado, Pultr: Frames and Locales. Topology without points):
http://libgen.org/get?nametype=orig&md5=ed6c3a9ed6fadaa06e18469931bb7eb5

>Еще меня интересуют основы математики: теория моделей, теория доказательств, теория рекурсии и алгоритмов, теория множеств. В вашей классификации это изолированные ветви, анахронизм или что? Если можно, напишите подробней.

Основами математики эти области сейчас
вряд ли могут называться (на эту роль
сегодня может претендовать
гомотопическая теория типов),
и они довольно сильно изолированы
от mainstream mathematics (приложения
к последней довольно редки,
исключая приложения геометрической теории моделей — например, гипотеза Мордэлла-Лэнга).

>Тот же вопрос о графах, автоматах и вообще комбинаторике, о тервере, статистике, случайных процессах и эргодической теории.

Графы, автоматы, комбинаторика — раздел TCS.
Случайные процессы и эргодическая теории
— вполне содержательные области
mainstream mathematics, если к ним правильно
подходить.
Теорвер и статистика — отдельные,
в значительной степени изолированные (в указанном выше смысле) науки (в западных
университетах по этой причине
они существуют на отдельных факультетах).

>Что вы считаете там полезным, что вредным или анахронизмом в этой области. Это область приложения математики, поэтому интересен ее подробный разбор.

На такой общий вопрос сложно дать
осмысленный вопрос.
Разве что могу посоветовать не путать
TCS с software engineering, что, к сожалению,
часто случается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

От Лури эта книга Higher Topos Theory?
А по гомотопической теории типов вы что из книг или статей рекомендуете прочесть?
По общей топологии эта книга актуальна или нет - Энгелькинг Р. Общая топология. 1986?
Диффуры, если я вас правильно понимаю, вы относите к дифференциальной алгебре, а что рекомендуете читать?
Маломерная топология, узлы, косы - это актуально или тоже изолированные области?

Множества вы похоже похоронили, а вот такие классические теории: групп, полугрупп, квазигрупп? Что с ними на современном этапе?

По линейной алгебре вы советовали Манина, Кострикина. Линейная алгебра, а также Федерер Г. Геометрическая теория меры. 1987. А по современней ничего? Как вот эта книга Sheldon_Axler-Linear_Algebra_Done_Right-Springer. 1997

По теории меры двухтомник Богачев_В.И.-Основы_теории_меры. Как он? Есть на http://libgen.org/

По функциональному анализу Богачев В.И., Смолянов О.Г._Действительный и функциональный анализ. Университетский курс(2009). Что скажите?


Хорошо, если бы вы составили список предметов и литературы наподобие программы Вербицкого: от школы до аспирантуры. Жаль что вы перестали активно вести свой журнал - интересно было бы почитать развитие многих тем и новых проблем.

Тут я наткнулся на еще одну интересную ссылку с вашим высказыванием:

<На втором отделении будут изучать комбинаторику, дискретную математику,
статистику, дискретную теорию вероятностей, жёсткий (hard) анализ и прочие аналогичные дисциплины.
Студенты после окончания этого отделения смогут работать учителями математики в школах и преподавателями «высшей» математики в вузах.
Они будут успешно проводить вступительные экзамены по (вступительной) математике и математические олимпиады.

<Конечно, честность и порядочность требует, чтобы студентам перед
поступлением объяснили, что на втором отделение почти все являются
жуликами и шарлатанами (прямо как на гуманитарных предметах), но боюсь, что современная политкорректность не позволит этого сделать.
http://akater.livejournal.com/270500.html?thread=464804#t464804

Очень категоричное высказывание. В принципе я согласен, что скажем в том же МГУ на мехмате не место старью. Но есть ведь ВМК МГУ, есть инженерные и педагогические вузы - там 2-й тип вполне уместен и оправдан. Что тем же инженерам проку в далекой от их области и вообще возможности для понимания допустим теории гомотопических типов? А вот скажем в матанализе, классическом ТФКП, классической линейной алгебре с определителями, вычислительной математике, теории графов и автоматов толк для них скорее всего будет еще долго.

Где-то я прочитал, что вы не жалуете неоправданно переусложненные C++, а теперь я понял и Java. Если я правильно понимаю, то вам ближе предметно-ориентированные языки и инструменты как например тот же TeX. А в программировании вы наверно цените сами алгоритмы, в изложении того же Кнута. Кстати, почему-то не откликается ваша страничка в Беркли - хотел скачать вашу русификацию Plain TeX. До этого я все в LaTeX'e ковырялся.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По матанализу кроме Рудина есть еще такая книга Дьедонне_Ж.-Основы_современного_анализа(1964). По моему для понимания неплоха, как вы считаете? У нее есть и многотомное продолжение того же автора Jean_Dieudonné_Éléments_dAnalyse. К сожалению похоже только на французском языке.

(Reply to this) (Parent)

>От Лури эта книга Higher Topos Theory?

Да. На его странице есть вторая книга, про алгебру.

>А по гомотопической теории типов вы что из книг или статей рекомендуете прочесть?

Пока текстов для начинающих нет. Сейчас в IAS идёт годовая программа
по HoTT, после неё обещают выпустить заметки лекций, где будет в том
числе и введение в HoTT.

Общую топологию особо усердно изучать не надо, её не так много надо,
и все чуть более специфичные разделы (паракомпактность, например) легко учатся по необходимости.
Коротких заметок Миши Вербицкого вполне хватает почти
для всех практических нужд.

>Диффуры, если я вас правильно понимаю, вы относите к дифференциальной алгебре, а что рекомендуете читать?

К дифференциальной алгебре относится решение диффуров в элементарных функциях, что является весьма специфичной деятельностью.
А вообще диффуры — это интегрирование гладких векторных полей
на многообразии, и изучать это надо в контексте курса гладких многообразий.

>Маломерная топология, узлы, косы - это актуально или тоже изолированные области?

Смотря что.
Например, гомологии Хованова, интеграл Концевича, или ассоциатор Дринфельда — интересные понятия.

Множества я никогда не хоронил. Вот, кстати, небольшой список литературы:
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/12706.html?thread=536226#t536226

Теория групп весьма актуальна, в частности теория Басса-Серра и геометрическая теория групп. Классическая книга Серра хорошая.
Полугруппы и квазигруппы — скорее мёртвая область.

Axler ещё менее современен, чем книги, которые я называл.
За один термин null space хочется убить автора.

С теорией меры ситуация напоминает общую топологию — изучать лучше
скорее по необходимости.
Те же записки Миши подойдут для первичного знакомства.

>матанализе, классическом ТФКП, классической линейной алгебре с определителями

Не уверен, что это чем-то отличается от того, что предлагаю я,
если подборка тем нормальная.
Современная линейная алгебра разве без определителей?

Численные методы инженерам, видимо, нужны.
Излагать их, видимо, надо языком функционального анализа,
как предлагал уже Канторович.

>теории графов и автоматов

Это какие инженеры имеются ввиду? Если software, то им вообще отдельная программа нужна.

Страничка уже год как переехала, я исправил ссылки.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Множества я никогда не хоронил.

Значит я не так понял контекст.
http://lj.rossia.org/users/dmitri_pavlov/12706.html?thread=513954#t513954

>Страничка уже год как переехала, я исправил ссылки.
Что-то я не ориентировался где новая ссылка.
http://math.berkeley.edu/~pavlov/tex/

А мне книга Axler показалась простой и логичной. А что плохого в null space? Нет слова векторное? Вектор без направления и длины какой-то уже не вектор. К примеру чем лучше понятие пустое множество? В самом слове множество звучит отнюдь не нуль. Да и как вообще понять пустую совокупность? Оболочка? Ее можно ввести для удобства.
У вас есть ветка "Страх перед нулём и единицей":
>Натуральные числа — это те, которые используются при счёте.
Это определение я услышал в пятом классе.
Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств.
Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное.

Такой ввод в ноля в множество натуральных чисел для меня выглядит как подмена начального понятия задним числом. Натуральный я понимаю как природный, присутствует, есть в наличие. С учетом того, что я сказал выше о понятие множество я бы назвал такое переопределение необоснованным. Нет нужды менять старый термин, особенно если можно ввести другой или говорить о множестве неотрицательных чисел как подмножестве целых чисел. Если я не ошибаюсь это в свое время сделали Бурбаки. Не вижу я в этом ничего прозрачного и естественного, скорее наоборот - искусственное притягивание за уши. Вроде как Apple, который запатентовал прямоугольник с закругленными углами, пусть теперь круг патентуют.

За ответы спасибо, буду переформатировать свой мозг.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Аксиоматика Цермело-Френкеля — анахронизм,
множества и по сей день являются основанием математики.

>Что-то я не ориентировался где новая ссылка.
http://math.berkeley.edu/~pavlov/tex/

А где осталась такая ссылка?

>А что плохого в null space?

То, что этот термин совершенно не используется в математике.

>Нет нужды менять старый термин, особенно если можно ввести другой

Нельзя. Термин "неотрицательное целое число" слишком громоздкий.
А целые числа ≥ 1 никому особо не нужны,
в отличии от целых чисел ≥ 0.

Причём здесь Бурбаки, я не понимаю, нуль стал
натуральным числом уже в 19 веке.

Кстати, у древних греков только
целые числа ≥ 2 считались числами.
Долой единицу!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо за ссылку на русификацию TeX'а.

>То, что этот термин совершенно не используется в математике.

Но меня интересовало в этой книге не терминология или например синтаксис, а содержание. Мне показалось вполне обоснованной схема подачи материала.

>Причём здесь Бурбаки, я не понимаю, нуль стал натуральным числом уже в 19 веке.

Я отталкивался от мнения Арнольда http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI.HTM
"Некоторые (намек на Арнольда. - В. А.) считают, что натуральные числа - это те, которые участвуют в натуральном (то есть естественном) счете: «один, два, три...». Но такой экспериментаторский подход ненаучен. С точки зрения нашей высокой науки, «естественный счет» никакого отношения к теории не имеет. Научное определение таково: «Натуральные числа - это мощности конечных множеств». А какое из конечных множеств - самое главное? Разумеется, пустое! Значит, его мощность, то есть нуль, - натуральное число!".

>Кстати, у древних греков только целые числа ≥ 2 считались числами. Долой единицу!

О просто числах разговора и не было. У древних греков еще не было не только арабских цифр и нуля, но и понятия "натуральное число".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Аксиоматика Цермело-Френкеля — анахронизм,
множества и по сей день являются основанием математики.

Если можно поподробнее. Какая аксиоматика теории множеств на сегодняшний день актуальна? NBG, Нечеткие множества, Мультимножества, Вопенка П. Альтернативная теория множеств? Или что-то иное и что о ней можно почитать?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ETCS, конечно, а скоро, видимо, будет актуальна гомотопическая теория типов.
Читать надо книгу Lawvere, Rosebrugh, Sets for Mathematics.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>ETCS, конечно, а скоро, видимо, будет актуальна гомотопическая теория типов.

А остальные, перечисленные мною, аксиоматики совсем интереса не представляют?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Для логиков — несомненно представляют,
для математиков — нет.

(Reply to this) (Parent)

И заодно уж спрошу о P-адическом анализе? Он как, изолированная ветвь?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

P-адическая наука весьма полезна в теории чисел, например, в программе Ленглендса. Совсем не изолированная.

(Reply to this) (Parent)

Дима. Вы ведь читаете лекции студентам? У вас есть какие-то свои наработки в современном стиле изложения? Ну например в линейной алгебре или еще в чем? Если есть, может выложите?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Записанных лекций у меня нет.
По линейной алгебре мне больше всего нравится изложение Делиня и Моргана,
но их заметка, конечно, не учебник.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вот наткнулся еще на такую книгу
Sergei_Winitzki-Linear_Algebra_via_Exterior_Products-lulu.com(2010)


This book is a pedagogical introduction to the coordinate-free approach in finite-dimensional linear algebra, at the undergraduate level. Throughout this book, extensive use is made of the exterior (“wedge”) product of vectors.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Книга в нормальном виде есть на сайте автора: https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
Некоторые решения (отсутствие внешнего
произведения операторов, влекущее за собой
странное изложение в некоторых местах, неиспользование
форм во многих местах, индексная нотация
(последнее, видимо, потому, что автор — физик))
довольно странные, но в целом книга
существенно лучше почти всех
других отдельных книг по линейной алгебре.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо за комментарий.

Нет предела совершенству. Странно, что никто не сподобился написать идеальную, современную книгу по достаточно простому и старому, но в тоже время очень нужному предмету. Может вы напишите? И хорошо бы на русском, а иначе тут в России так и будут дедовским способом преподавать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Каким способом будут преподавать, зависит
всё же от преподавателей, а не от книг.

(Reply to this) (Parent)

Все материалы лежат на мой странице http://dmitripavlov.org/tex/,
а вот где вы достали ссылки на старую страницу, я так и не понял.

>Но меня интересовало в этой книге не терминология или например синтаксис, а содержание. Мне показалось вполне обоснованной схема подачи материала.

Помимо скверной терминологии, автор также страдает различным формами
маразма, что особенно заметно в последних трёх главах.
Зачем мучать читателя долгим техническим доказательством
жордановой формы, если потом оно совершенно не используется?
Кому надо, получит жорданову форму (и вещественную, и комплексную)
как тривиальное следствие теоремы о структуре модулей
над кольцами главных идеалов (или, более общо, над дедекиндовыми кольцами).
А на практике жорданова форма и вовсе не нужна.
Последняя глава и вовсе чудовищна.
За одно доказательство теоремы 10.31 книжку следует немедленно выкинуть
на помойку.

>Я отталкивался от мнения Арнольда

Так это же байки, сказки, которые Арнольд рассказывал в последние годы жизни.
Отношение к реальности они имеют слабое.
Как можно от них отталкиваться.

>У древних греков еще не было не только арабских цифр и нуля, но и понятия "натуральное число".

Это откуда такое утверждение?
Понятие числа у греков было вполне чётко сформулировано,
и подразумевалось под ним целое число ≥ 2.
Арабские цифры для понятия натурального числа не требуются.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>а вот где вы достали ссылки на старую страницу, я так и не понял.

Наверно, я не перегрузил страницу, после того как вы внесли правку, хотя вроде бы специально нажимал на перезагрузку. А может случилось что-то другое. Я брал эту ссылку с главной страницы журнала, а не с самой статьи. Я так понял у вас дублируется http://lj.rossia.org и жж. Вы где реально из них пишете? Может быть синхронизация делается с приличной задержкой? В общем сейчас уже все нормально.

>За одно доказательство теоремы 10.31 книжку следует немедленно выкинуть
на помойку.

Да, хреновое доказательство.

>Это откуда такое утверждение?
Понятие числа у греков было вполне чётко сформулировано,
и подразумевалось под ним целое число ≥ 2.
Арабские цифры для понятия натурального числа не требуются.

В пифагорейской школе число называлось числом, а не натуральным числом.

На стр. 62 История математики (автор Юшкевич) говориться, что греки использовали для обозначения единицы I и букву альфа с черточкой наверху. Вы наверно отталкиваетесь от "Число для пифагорейцев — это собрание единиц, т. е. только целое положительное число." Но из такого определения, как не крути, ноль в качестве натурального числа не получишь.
И кроме школы Пифагора была и чуть более ранняя школа Фалеса.

У B.L. van der Waerden Algebra Volume I

We presume that the reader is familiar with the set of natural numbers
(positive integers),
1, 2, 3, . . . ,
as wen as with the following basic properties of this set (Peano's axioms or postulates).

>По линейной алгебре мне больше всего нравится изложение Делиня и Моргана,
но их заметка, конечно, не учебник.

Вы наверно этот курс имеете ввиду:
Quantum fields and strings: A course for mathematicians?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Реально я пишу в LJR, в LJ всё дублируется.

>В пифагорейской школе число называлось числом, а не натуральным числом.

Поскольку других чисел, кроме натуральных, не было,
то и необходимости в дополнительных прилагательных тоже не было.

>Но из такого определения, как не крути, ноль в качестве натурального числа не получишь.

О чём я и говорю последние несколько комментариев.
Сначала в натуральные числа добавили единицу, а затем — ноль.
А иначе получается, что даже не все цифры являются натуральными числами,
то есть для обозначения натуральных чисел приходится использовать
ненатуральные числа.

>У B.L. van der Waerden Algebra Volume I

А уже в следующем классическом учебнике алгебры (Ленг, через 35 лет
после вдВ) число ноль — натуральное.

>Quantum fields and strings: A course for mathematicians?

Да, конечно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Жаль, что у вас нет записанных лекций. При чем предпочтительней было бы на бумаге. Сейчас в интернете есть видеозаписи лекций НМУ, НОЦ МИАН и матфака ВШЭ, но то в одной из них звука нет, то в другой слышно плохо, в-третьей плохо видно и т.п. На бумаге или pdf было бы лучше, но зачастую нет их на бумаге, да и на бумаге автор дает больше материала, ссылок, меньше ошибок.

В вашем списке литературы ничего не говориться об алгебраической геометрии и теории чисел. По ним что рекомендуете читать, Шафаревича?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тот список довольно элементарный,
так что алгебраической геометрии там нет.
Классический учебник — Хартсхорн,
недавно ещё вышла пара современных
учебников, про которые я ничего не знаю.

(Reply to this) (Parent)