Дмитрий, извините за беспокойство, не могли бы Вы посвятить мне 5 минут своего времени?
Мне кажется я нашел короткое док-во теоремы Ферма :). Знаю, что скорее всего бред, но оно очень короткое, и не требует сильных знаний. А спросить просто больше не у кого.

Теорема:
a^n + b^n = c^n, где a,b,с - натуральные числа, n - натуральное больше 1
Утверждение: решение можно найди только для n = 2

Из условия ясно, что a < c, b < c, a + b > c ( это следует из c^n = (x+y)^n = x^n + y^n + ... )
То есть это неравенство треугольника.

Значит у нас может быть два случая: прямоугольный треугольник (случай n = 2), непрямоугольный ( n > 2 ).

Для прямоугольного верна теорема Пифагора, для непрямоугольного верно правильно косинусов:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(alpha), причем угол alpha больше 60
Это означает, что выражение для числа c содержит трансцендентную функцию, и значит c не может быть рациональным числом.

Следовательно для случая n > 2 решения в рациональных числах нет.

Как думаете?

(Reply to this) (Thread)

поправки:
1. угол больше 90
2. cos(90+30)=-sin(30)=1/2, поэтому такой аргумент не проходит

однако:
c^n = a^n + b^n, где n > 3 и в тоже время
c^2 = a^2 + b^2 + ab*sin(alpha)

отсюда видно, что это невозможно

(Reply to this) (Parent)

2ab*cos(α), а равно и ab*sin(α) является рациональным числом
для всюду плотных множеств значений α,
в том числе и для α>π/2.

>c^n = a^n + b^n, где n > 3 и в тоже время
>c^2 = a^2 + b^2 + ab*sin(alpha)
>отсюда видно, что это невозможно

Не видно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

спасибо за ответ
по поводу первого (всюду плотных множеств) мне надо почитать
пока не могу понять как это может быть рациональным

по поводу второго (случай 120 градусов, cos = -1/2) приравниваем, получается:
(a^n + b^n)^2 = (a^2 + b^2 + ab)^n

раскрывая скобки и приводя получаем, что левая часть неравна правой
следовательно для случая 120 градусов невозможно подобрать такие a и b, чтобы выполнялось правило косинусов и одновременно a^n + b^n = c^n (n>2)
(можно численно проверить)


спасибо еще раз за ваше время
буду смотреть по первому случаю подробнее

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>как это может быть рациональным

Возьмите α равным арккосинусу любого рационального числа и получите, что ab*cos(α) рационально.

>для случая 120 градусов невозможно подобрать

Это верно, но не помогает в решении проблемы.
Что делать для случая других значений α?

(Reply to this) (Parent)

хмм.... пусть сщы(90+alpha)=-sin(alpha) = -x/y (какое-то рациональное)

автоматически
(a^n + b^n)^2 = (a^2 + b^2 + 2ab*x/y)^n

снова не выполняется (можно на примере n=3 сразу посмотреть)...

взгляните? если будет минутка времени

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Многочлены в левой и правой части разные,
но откуда следует, что они не могут совпадать при некоторых значениях a и b?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

спасибо за ответы

вообщем оказывается вообще не важно, рациональное или нет
главное положительное
тогда раскрывая скобки слева и справа получим обязательно равное нулю выражение, в котором все члены положительные

получается вообще нельзя построить трегольник, для которого выполняется правило косинусов и одновременно a^n+b^n=c^n

не могу понять, как так...

но спасибо вам за помощь!

(Reply to this) (Parent)

получается нельзя для какого-нибудь найденного решения для a^n + b^n = c^n
построить треугольник на евклидовой плоскости? получается вроде так...

может ли это быть доказательством? можете ли вы (при наличии времени конечно) посмотреть или спросить у коллег? было бы интересно....

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>в котором все члены положительные

Нет, конечно, после переноса в одну часть у вас будет полно и положительных и отрицательных членов:
c^2=a^2+b^2−2ab*cos(α), большие проблемы возникают, когда a, b, и c примерно равны, соответственно −2*cos(α) близко к −1.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

у нас всегда получается тупоугольный треугольник
так как для n > 2, если мы построим мысленно прямоугольный на сторонах a и b, длина c получится меньше, чем необходимо для равенства aⁿ+bⁿ = cⁿ

(a^n + b^n)^2 = (a^2 + b^2 + 2abx)^n
a^2n + b^2n + 2*a^n*b^n = a^2n + b^2n + .....

возможно я где-то ошибаюсь, но вроде равенство не выходит
попробую еще кому-нибудь написать :)

спасибо вам, извините, что отнял много время

(Reply to this) (Parent)

да, ошибаюсь
не факт что равенства нет!

спасибо, извините!!

(Reply to this) (Parent)

прошу прощения, но все-таки не равны
(a^n + b^n)^2 = (a^2 + b^2 + 2abx)^n

x>0, пусть x = 0 для удобства, возьмем n = 3, раскроем, получим
2ab = 3a^2 + 3b^2
что очевидно не может быть равенством

либо я ошибся в выкладках
ладно, не хочу отнимать время, вы и так сильно помогли, спасибо большое

(Reply to this) (Parent)

:) вы правы, - там, угол меньше 90

вот черт, отнял время
извините

(Reply to this) (Parent)