>А когда мы чего-то не знаем, тогда лучше жевать, чем говорить. Факт в том, что когда мы на границы наших конструктивных возможностей не натыкаемся, то теоретическое допущение о том, что таких границ вообще нет, нисколько не расходится с реальностью. Потому что существенных (с точки зрения данного конкретного расчёта) границ действительно нет вообще.

Извините, но это просто неверно. Математики уже давно
хотят посчитать много чего конструктивного, но им это
просто не удаётся. Приведу лишь один пример:
Виноградов доказал гипотезу Гольдбаха начиная с некоторого
(3^14348907) числа. Хочется сказать, что остальное
можно досчитать конструктивно, но нет, граница
столь велика, что мы даже не знаем, будет ли
существовать вселенная, когда компьютеры завершат
свою работу. В принципе, если поискать, то можно
найти такой же пример, но уже не со временем, а с памятью.

>1) Где говорит? Я не заметил.

http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

>2) Натуральные числа суть конструктивные объекты (т.е. на некоторые из них можно просто ткнуть пальцем, и все основные арифметические операции над этими "некоторыми" реально можно выполнить). Для суждений о натуральных числах, относящихся к первопорядковой арифметике, имеется вполне конкретная семантика (ступенчатая семантика Маркова). Каким образом можно ткнуть пальцем в множества (т.е. основные "объекты" ZF), сразу же не запутавшись в "операциях" с ними, постулированных в ZF (аксиомы бесконечности+аксиомы степени+закона исключённого третьего, полагаю, хватит с головой)? Какова семантика достаточно сложных суждений об этих множествах? Тайна сия велика есть (для меня, по крайней мере). Просветите, если не сложно?

Пожалуйста. Выделим класс множеств следующим
образом: возьмём пустое множество и будем
применять к нему конечное число раз операции
взятия множества всех подмножеств и операцию выделения.
Такие множества называются, если я не ошибаюсь,
артиналами. Все натуральные числа в конструкции фон Неймана
являются артиналами. Теперь оставим из всех артиналов не слишком
большие. На каждое из получившихся множеств
мы можем ткнуть пальцем и все основные теоретико-множественные
операции (объединение, пересечение, множество
всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми можно реально выполнить.

Я уверен, что и семантика здесь тоже есть,
надо только уточнить, что вы имеете ввиду под семантикой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Извините, но это просто неверно.

Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

> http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=644118#t644118

Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)

> все основные теоретико-множественные
> операции (объединение, пересечение, множество
> всех подмножеств, выделение) над этими некоторыми
> можно реально выполнить.

Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

И так далее. И чтобы во всём этом запутаться, Вам, боюсь, даже не надо будет придумывать экзотические примеры вроде проблемы Гольдбаха.

Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Угу, спасибо (опять же пропустил соответствующую фразу). Ну, так ведь давно известно, что все ошибки в математических статьях находятся там, где написано «очевидно, что...» :-)
А мой комментарий
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=645142#t645142
вы тоже не увидели?

>Что неверно? Каким образом приведённый Вами пример ситуации, когда мы наталкиваемся на границы наших конструктивных возможностей, может доказывать что-либо применительно к ситуациям, когда мы на такие границы не наталкиваемся?

Честно говоря, я ничего не понял.
Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
про границы, на которые мы не наталкиваемся?

>Не-е-е, так дёшево Вы не отделаетесь. Речь ведь шла не о множествах вообще (в конструктивной математике множества тоже ведь рассматриваются: как однопараметрические формулы), а именно о ZF. А там у нас, по списочку:

>1) Аксиома бесконечности. Гоните-гоните его, родимое.

А это — объект, который, согласно современным
представлениям науки, в нашей вселенной
не имеет материального представления.
Помните, я привёл вам пример натурального
числа, которое (и все числа большие его)
не имеет материального представления
(во всяком случае, не может его иметь согласно
современным представлениям науки,
без гарантий на будущее)?
Да, возможно, в будущем физики изобретут
что-то такое, что позволит нам представлять
любые натуральные числа. Но почему бы тогда им не сделать
что-то такое, что позволит нам представлять
любые объекты ZF?

>2) Аксиома степени. Угу, и для бесконечного множества из предыдущего пункта множество всех подмножеств тоже придётся строить.

>3) Аксиома объёмности. Соответственно, операцию сравнения множеств в студию.

Для указанного мною класса множеств всё это верно.
Про бесконечное множество я написал выше.

>Под семантикой же я понимаю семантику :-) Т.е. содержательное понимание замкнутых формул (элементарные формулы выражают то-то и то-то; конъюнкции выражают верность обеих связываемых формул; дизъюнкции — возможность указать среди связываемых формул верную; и т.д.).

Я думаю, содержательное понимание
указанного мною класса множеств вам должно
быть очевидно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Честно говоря, я ничего не понял.

Ну, наконец-то Вы (вроде бы) поняли, что Вы этого не поняли. Не прошло и года.

> Вы можете явно сформулировать ваше утверждение
> про границы, на которые мы не наталкиваемся?

Дана ЭВМ с 256Mb оперативной памяти (включая swap). В оную занесена программа размером 100Kb (включая начальные данные), причём максимальный размер промежуточных результатов (возникающих в ходе работы программы) — 10Mb. После часа работы ЭВМ выдала ответ. Вопрос: изменился ли бы этот ответ, если бы памяти у ЭВМ было не 256Mb, а в 100 раз больше? А в 100000 раз? Не изменился бы. Ибо главное тут — не конкретное количество имеющихся у нас ресурсов, а тот качественный факт, что оных ресурсов достаточно для проведения требующегося нам построения. Вот эту-то достаточность мы и констатируем фразой «не наталкиваемся на границы конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале».

Бывают ситуации, когда ресурсов не достаточно? Да разумеется, сколько угодно. Но мы эти ситуации вообще не рассматриваем. Точно так же, как в классической механике мы не рассматриваем движение электрона в атоме. Именно это исключение из рассмотрения "патологических" случаев (которые в действительности всё же могут происходить) и составляет смысл термина «абстракция» (непонимание этого момента Вы тут недавно в торжественной форме продемонстрировали, назвав абстракции заклинаниями).

> А это — объект, который, согласно современным
> представлениям науки, в нашей вселенной
> не имеет материального представления.

Тогда что он забыл в аксиомах? И что это за "модель", которая одну из аксиом (!!!) моделируемой системы не может реализовать вообще? Не после специальных извращений, целенаправленно исчерпывающих наличные ресурсы (как это было бы в арифметике), а сразу же, на самом же первом шаге?

> Для указанного мною класса множеств всё это верно.

Вот только моделью ZF Ваш класс не является: Вы же сами признали, что аксиома бесконечности для него не выполнена. А что это такое трамвай без "вай" — ZF без аксиомы бесконечности? Это что угодно, но не трамвай ZF.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Теперь понятно.

>Но мы эти ситуации вообще не рассматриваем.

Ну вот вы и сами признались в несостоятельности вашей позиции.
Как прикажете понимать простейшее утверждение: любые
два натуральных числа можно сложить? Я уже продемонстрировал,
что если понимать натуральное число как уже построенное
натуральное число, то это утверждение просто неверно.

>Именно это исключение из рассмотрения "патологических" случаев (которые в действительности всё же могут происходить) и составляет смысл термина «абстракция» (непонимание этого момента Вы тут недавно в торжественной форме продемонстрировали, назвав абстракции заклинаниями).

Вы изволите жульничать. Фактически, вы в этой фразе признаёте,
что возможность сложить любые два числа — просто
некая удобная фикция, которая не имеет никакого материального
выражения в конструктивной математике.
Эта проблема разрешается двумя способами: (1) переходом
к конечной математике; (2) отказом от материальности
конструктивной математики.
Что выбираете?

>Тогда что он забыл в аксиомах?
А что, простите, делает в аксиомах утверждение о том,
что любые два натуральных числа можно сложить?
И что это за модель, которая одну из аксиом моделируемой
системы не может реализовать вообще, кроме как в конечном
числе случаев?

>Не после специальных извращений, целенаправленно исчерпывающих наличные ресурсы (как это было бы в арифметике), а сразу же, на самом же первом шаге?

Ваше требование предъявить объект натуральных чисел —
это и есть специальное извращение, целенаправленно исчерпывающее
наличные ресурсы. Впрочем, вру: к артиналам легко
присоединить новый объект, который будет удовлетворять свойствам
натуральных чисел. Более того, мы можем разрешить
использовать объекты, получающиеся в результате использования
k операций теории множеств, где k не очень велико.
И такие объекты будут удовлетворять всем аксиомам ZF,
в пределах допустимости операций.
Так что ваше заключение принципиально неверно.

>а сразу же, на самом же первом шаге?
Не на первом шаге, а на k-ом, где k может быть, скажем, 10.

>Вот только моделью ZF Ваш класс не является: Вы же сами признали, что аксиома бесконечности для него не выполнена. А что это такое трамвай без "вай" — ZF без аксиомы бесконечности? Это что угодно, но не трамвай ZF.

Теперь выполнена.

Итак, имеем следующее: я располагаю возможностью точной
эмуляции ZF, при условии, что мы не выходим за границы вычислительных
возможностей. Более того, всего аксиомы у меня верны
и находят материальное выражение. (В пределах применимости,
конечно.) В том числе и аксиома бесконечности.
Тоже самое верно в вашем случае. То есть моя модель
ничем не уступает вашей.
Мы оба отвлекаемся от границ наших вычислительных возможностей
и отбрасываем границы.
В чём разница?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Ну вот вы и сами признались в несостоятельности вашей позиции.

Угу. Тогда несостоятельна вся классическая механика (поскольку для электронов в атоме она заведомо неприменима). Сообщите-ка об этом инженерам; потом расскажете, куда они Вас пошлют.

В остальном я уже сказал: надоело дискутировать с человеком, не понимающим, о чём вообще идёт речь. Если Вам так будет спокойней, можете считать, что победили меня по всем пунктам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

действительно, дискуссия, кажется, уже перестала быть информативной для обоих сторон...

впрочем, свою позицию, кажется, *ясно* Вы не изъяснили. Не буду настаивать на этом, впрочем--за дискуссией следил по диагонали.

(Reply to this) (Parent)

>Угу. Тогда несостоятельна вся классическая механика (поскольку для электронов в атоме она заведомо неприменима). Сообщите-ка об этом инженерам; потом расскажете, куда они Вас пошлют.

Видите ли, всё дело в том, что классическая механика
пользуется классической математикой (а вовсе
не конструктивной, как вам хочется считать),
и подход у неё такой же, как у классической математики.

Я не сомневался, что у вас не найдётся возражений
по поводу моей конструкции для теории множеств ZF.

>В остальном я уже сказал: надоело дискутировать с человеком, не понимающим, о чём вообще идёт речь.

Я думаю, что единственный человек, который
удовлетворяет вашим критериям понимания — это
вы сами. Заметим в скобках, что все остальные
участники дискуссии (исключая вас) друг друга прекрасно
понимают. А вы замкнулись на своей узкой теории и не
желаете понимать другие точки зрения (точнее, точку
зрения подавляющего большинства математиков). Вот и всё.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> подход у неё такой же, как у классической математики.

Можете привести ссылку на учебник, монографию или статью по механике, где бы рассматривалось "множество всех материальных точек" (а именно такое понятие первым должно возникнуть в механике при применении подхода "классической" математики)? Из головы-то написать любой бред можно; витая пара терпит.

> Я не сомневался, что у вас не найдётся возражений
> по поводу моей конструкции для теории множеств ZF.

Они были высказаны задолго до предъявления этой конструкции. Повторять их я не буду ввиду заведомой бессмысленности этого дела: Вы всё равно не понимаете, о чём Вам говорят.

> А вы замкнулись на своей узкой теории и не
> желаете понимать другие точки зрения (точнее, точку
> зрения подавляющего большинства математиков). Вот и всё.

Вы прекрасно описали себя (т.к. Вы, действительно, замкнулись на своей точке зрения и понимать, о чём говорит оппонент, даже не пытаетесь). Мне же Ваша точка зрения прекрасно известна и понятна — только я её, по многим причинам, не разделяю. Вот и всё.

Всех благ.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Можете привести ссылку на учебник, монографию или статью по механике, где бы рассматривалось "множество всех материальных точек" (а именно такое понятие первым должно возникнуть в механике при применении подхода "классической" математики)? Из головы-то написать любой бред можно; витая пара терпит.

Учебник Арнольда, книга Арнольда и Хесина.

>Они были высказаны задолго до предъявления этой конструкции. Повторять их я не буду ввиду заведомой бессмысленности этого дела: Вы всё равно не понимаете, о чём Вам говорят.

Зачем повторять, можно просто дать ссылку.

>Вы прекрасно описали себя (т.к. Вы, действительно, замкнулись на своей точке зрения и понимать, о чём говорит оппонент, даже не пытаетесь). Мне же Ваша точка зрения прекрасно известна и понятна — только я её, по многим причинам, не разделяю. Вот и всё.

То, что вы говорите, я прекрасно понимаю.
Это только вы считаете, что я чего-то не понимаю, вот и всё.
Ну не хочется вам давать ответов по существу,
вот вы и обвиняете своего оппонента в безграмотности.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Учебник Арнольда, книга Арнольда и Хесина.

Механика по фамилии "Арнольд" я не знаю. Кто это такой, не расскажете?

> Это только вы считаете, что я чего-то не понимаю

Не только я так считаю. Вот Вам столь любимая Вами ссылка.

> Ну не хочется вам давать ответов по существу

Я давал ответы по существу. Однако Вы, вместо того, чтобы так же по существу их разбирать, как ни в чём не бывало, возвращаетесь к исходной точке (по принципу "а ты купи слона", как я уже обрисовывал сложившуюся ситуацию). Такой тип ведения дискуссии обычно бывает в двух случаях:

1) Оппонент — идиот. В данном случае не похоже (насколько я прикинул анамнез, 239+матмех, вроде и публикации есть).

2) Оппонент поставил себе цель во что бы то ни стало "победить" и берёт противника измором, надеясь, что тому в один прекрасный момент надоест.

Во второй ситуации продолжать дискуссию изначально бесполезно: на любой аргумент автоматом последует очередное "это все так говорят, а ты всё же купи слона". Поэтому я уже сказал: хотите считать себя "победителем" — считайте на здоровье.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Механика по фамилии "Арнольд" я не знаю. Кто это такой, не расскажете?

Владимир Игоревич Арнольд — один из крупнейших
механиков нашего времени. Впрочем, я чувствую,
что слово «механик» вы тоже используете
в каком-то необщепринятом смысле.

Механик — это тот, кто занимается механикой.
Механика включает в себя механику небесных тел,
жидкостей, газов и твёрдых тел.
Например, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Коши, Лаплас,
Пуассон, Навье, Стокс, Колмогоров, Арнольд — механики.

>Не только я так считаю. Вот Вам столь любимая Вами ссылка.

Вопросы исторического происхождения теорий мы с вами не обсуждали. Какая разница, откуда взялась та или иная теория?

Кстати, конструктивная математика появилась
из головы соответствующих математиков.

В любом случае, это не имеет к обсуждаемому вопросу
никакого отношения, и я не хочу это обсуждать.

Я всего лишь утверждаю, что если настаивать
на высказанном вами принципе материальности
(мы изучаем реальные объекты вселенной),
то тогда мы необходимым образом приходим к позиции
информатиков и feasibility-believers.
Конструктивная математика по сравнению с этими
областями использует дополнительные абстракции,
которые не имеют материального соответствия.
Я также утверждаю, что в силу последнего факта
конструктивная математика в этом отношении
(отношении к принципу материальности)
оказывается на одном уровне с классической, в частности,
я продемнострировал вам, что в предположении
ограниченности мы умеем моделировать все существенные
аспекты ZF (в том числе все аксиомы, включая
аксиому бесконечности). И в этом нет ничего
принципиально удивительного, ибо согласно
теореме Лёвенгейма—Скулема у теории ZF есть счётная модель. А мы берём из этой счётной модели
конечный кусок. Этот конечный кусок уже можно
материально моделировать.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Колмогоров, Арнольд — механики.

Давно я так не смеялся.

> Вопросы исторического происхождения теорий
> мы с вами не обсуждали.

Ясно. Т.е. Вы не понимаете не только мои тексты. Что ж, приятно чувствовать себя не хуже других :-)

> Конструктивная математика по сравнению с этими
> областями использует дополнительные абстракции,

Всё совсем наоборот: это "информатики" и т.д. используют дополнительные условия на объём ресурсов и т.д. Соответствующие задачи, безусловно, являются интересными и важными (иногда даже более важными, чем общие теоремы, ограничений на ресурсы не предполагающие), однако они этих самых теорем не отменяют; они их дополняют. Точно так же как учёт трения ракеты или самолёта о воздух не отменяет закона всемирного тяготения (а только дополняет его).

> И в этом нет ничего принципиально удивительного,
> ибо согласно теореме Лёвенгейма—Скулема
> у теории ZF есть счётная модель.

Согласно этой теореме, у ZF есть счётная модель только в том случае, если у неё есть хоть какая-то модель. Это раз. Далее, насколько я помню, теорема Лёвенгейма-Скулема совершенно неконструктивна и изначально (просто в силу характера своего доказательства) предполагает существование у теории множеств "хоть какой-то" модели (т.е. в некотором плане представляет собой пример порочного круга). Это два. Так что не надо произносить страшные слова и фамилии, никто всё равно не боится.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Давно я так не смеялся.

Я так и знал, что слово «механик» вы понимаете в особом, никому более не известном смысле.

>Ясно. Т.е. Вы не понимаете не только мои тексты. Что ж, приятно чувствовать себя не хуже других :-)

Вы что, разучились читать? andrey_bovykin@lj
пишет, что ZF взялась из головы Цермело.
Нам-то какая разница, откуда она взялась?
Важно, откуда её можно взять.
Вы в состоянии увидеть разницу между двумя словоформами?

>Всё совсем наоборот: это "информатики" и т.д. используют дополнительные условия на объём ресурсов и т.д. Соответствующие задачи, безусловно, являются интересными и важными (иногда даже более важными, чем общие теоремы, ограничений на ресурсы не предполагающие), однако они этих самых теорем не отменяют; они их дополняют. Точно так же как учёт трения ракеты или самолёта о воздух не отменяет закона всемирного тяготения (а только дополняет его).

Всё сказанное абсолютно верно.
Я лишь говорю, что на соответствие чему-то
реальному могут претендовать информатики и feasibility-believers,
но никак не конструктивисты, пользующиеся дополнительными
абстракциями.

>Согласно этой теореме, у ZF есть счётная модель только в том случае, если у неё есть хоть какая-то модель. Это раз. Далее, насколько я помню, теорема Лёвенгейма-Скулема совершенно неконструктивна и изначально (просто в силу характера своего доказательства) предполагает существование у теории множеств "хоть какой-то" модели (т.е. в некотором плане представляет собой пример порочного круга). Это два. Так что не надо произносить страшные слова и фамилии, никто всё равно не боится.

Пояснение предназначалось для обычных математиков.
Вам его следует отбросить, как несущественное для
содержания — предъявленной мною модели ZF.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Нам-то какая разница, откуда она взялась?
> Важно, откуда её можно взять.

Вот я и говорю, что Вы оцениваете текст побуквенно, а не по его очевидному в констексте диалога смыслу (который Вами теряется).

> Всё сказанное абсолютно верно. Я лишь говорю,
> что на соответствие чему-то реальному
> могут претендовать информатики и feasibility-believers

Замечательно. Приведите пример утверждения конструктивной математики, которое было бы неверным или бессмысленным с точки зрения "информатиков".

> Вам его следует отбросить, как несущественное для
> содержания — предъявленной мною модели ZF.

Да не предъявленной. Вам же Бовыкин уже сказал: нет у ZF модели (она из головы придумана), и то, что кажется моделью Вам, на самом деле является максимум эвристическим соображением, из которого можно вывести и Цермело-Френкеля, и Куайна, и даже Шанина (у которого, напоминаю, свой вариант теории множеств тоже имеется!).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Замечательно. Приведите пример утверждения конструктивной математики, которое было бы неверным или бессмысленным с точки зрения "информатиков".

Любые два натуральных числа имеют сумму.

>Да не предъявленной. Вам же Бовыкин уже сказал: нет у ZF модели (она из головы придумана), и то, что кажется моделью Вам, на самом деле является максимум эвристическим соображением, из которого можно вывести и Цермело-Френкеля, и Куайна, и даже Шанина (у которого, напоминаю, свой вариант теории множеств тоже имеется!).

Всё, что я говорил, можно сделать так, чтобы
Куайн и Шанин стали неверны. А ZF останется.
Впрочем, это совершенно неважно.

Вы, конечно, совершенно правы, что из такой
«обрубленной» модели можно много чего
вывести. Однако, замечу, что ваша модель
для конструктивной математики обладает ровно тем же самым
недостатком.
Она тоже является обрубленной и из неё тоже можно
вывести не одну теорию.

Например, позиция информатиков и feasibility-believers
из неё тоже выводится, при том гораздо проще —
непосредственно, без всяких абстракций потенциальной
осуществимости.

Собственно говоря, я и утверждаю, что предъявленная
вами модель на самом деле является моделью математики
информатиков и feasibility-believers, в то время, как
для конструктивной математики необходимо
привлечь дополнительные абстрактные соображения
(точно так же, как для ZF).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Любые два натуральных числа имеют сумму.

Великолепно, давайте препарировать. Я плохо представляю конкретику воззрений "информатиков", поэтому задам пару вопросов, ладно?

Вопрос первый: это высказывание бессмысленно, или же неверно?

Вопрос первый "а": если оно бессмысленно, то потому ли это, что общие высказывания не допускаются вообще? Если так, то тогда, по совести говоря, утверждение "2+2=4" тоже следует отправить в корзину: ведь на деле и это есть общее высказывание (говорящее по любые акты вышеописанного сложения: а вдруг для какого-то конкретного из них свободной памяти и не хватит? а вдруг сбой произойдёт?)!

Вопрос первый "б": если оно неверно, то в каком смысле? В смысле опровержения контрпримером? С удовольствием бы посмотрел на такие два натуральных числа, которые нельзя сложить принципиально (независимо от выбора машины, обсуждённых ранее свойств вселенной etc). Или в смысле содержательной верности утверждения "неверно, что любые два числа имеют сумму" в каком-то другом смысле (вроде марковских дедуктивных импликаций с верхних этажей "башни")? Тогда с какой семантикой мы тут имеем дело?

С интересом жду ответов.

> Она тоже является обрубленной и из неё тоже можно
> вывести не одну теорию.

Семантика суждений (т.е. наше понимание формул) обрубленной не является. Обрубленным является набор формул, которые мы сегодня считаем верными в рамках этой семантики (этот набор может измениться, как в сторону расширения, так и в сторону сужения — как и в любой естественной науке, впрочем).

> Например, позиция информатиков и feasibility-believers
> из неё тоже выводится, при том гораздо проще —
> непосредственно, без всяких абстракций потенциальной
> осуществимости.

На самом деле без абстракции потенциальной осуществимости Вы не выведете даже, что 2+2=4 (см.выше). Просто можно отдавать себе в этом отчёт, а можно не отдавать (и начинать возводить технические характеристики той или иной конкретной ЭВМ в философскую позицию). В остальном — вопросы я выше уже задал.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Вопрос первый: это высказывание бессмысленно, или же неверно?

В этой терминологии оно бессмысленно.

>Вопрос первый "а": если оно бессмысленно, то потому ли это, что общие высказывания не допускаются вообще?

Да, общие высказыванию определённого вида
не допускаются вообще. Например, высказавания
про любые натуральные числа.

>Если так, то тогда, по совести говоря, утверждение "2+2=4" тоже следует отправить в корзину: ведь на деле и это есть общее высказывание (говорящее по любые акты вышеописанного сложения: а вдруг для какого-то конкретного из них свободной памяти и не хватит? а вдруг сбой произойдёт?)!

А это — общее высказывание другого рода,
нежели описанное ранее. Там речь шла про любые
натуральные числа, а здесь — всего лишь про любой
акт проверки. Это понятия вообще лежат
в разных плоскостях.

>а вдруг для какого-то конкретного из них свободной памяти и не хватит?

Акт проверки не должен выходить за границы своей применимости. Если не хватило памяти, то мы просто
считаем, что ничего не произошло, и запускаем
с большим объёмом памяти.

>а вдруг сбой произойдёт?

Так при проведении экспериментов в физике
и биологии тоже могут быть сбои, что с того?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Например, высказавания про любые натуральные числа.

А без "например"? Имеется какой-нибудь вменяемый способ определить, какие общие высказывания допустимы, а какие нет? Или без революционного правосознания никак?

> А это — общее высказывание другого рода,
> нежели описанное ранее. Там речь шла про любые
> натуральные числа, а здесь — всего лишь про любой
> акт проверки. Это понятия вообще лежат
> в разных плоскостях.

Крайне поверхностный аргумент. В одном акте проверки фигурируют красные счётные палочки, в другом — зелёные паровозы, в третьем — электроны в кристалле полупроводника. Внешне ничего общего.

Суть дела одна и та же и в случае "любых сложений 2+2", и в случае "любых натуральных чисел": мы берём материальный объект и отвлекаемся от тех его свойств, которые для нас в данном конкретном случае несущественны (и на существенные заметного влияния не оказывают). Такое отвлечение может быть допустимо (в том числе для натуральных чисел, для которых мы конкретизируем наш общий тезис), а может быть и недопустимо (в том числе для конкретного акта сложения 2+2). Так что принципиальной разницы между "любыми натуральными числами" и "любыми сложениями 2+2" я совершенно не вижу (вижу только субъективное ощущение, что "2+2" — это что-то более надёжное, чем "любое натуральное число"). Но почему чьи-то личные тараканы должны считаться научной позицией?

> Так при проведении экспериментов в физике
> и биологии тоже могут быть сбои, что с того?

Так я ровно о том же: ничего с того. Потому что любой общий закон в каждом конкретном случае действует не в чистом виде, а налагается на действие других законов (многие из которых мы вообще игнорируем т.к. их влияние пренебрежимо мало). Сбой на самом деле означает лишь то, что в данном конкретном случае определяющими оказались не учтённые, а как раз-таки проигнорированные нами обстоятельства. Ну так ведь и в конструктивной математике то же самое: есть общий закон (не учитывающий конкретных параметров машины), и есть дополнительные условия (эти самые параметры), которыми иногда пренебречь можно, а иногда нельзя. В чём проблема-то?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Существенное отличие заключается в том, что в одном
случае отвлечение от несущественных свойств
носит непринципиальный характер (если машина дала
сбой, можно запустить её ещё один раз), а во втором
— принципиальный. В математике информатиков
и feasibility-believers допускаются только те
конструкции, которые имеют материальное выражение,
а в «конструктивной» математике — нет.
Вот я создам конструктивный объект — программу,
которая считает количество простых чисел
до 10^(10^6). И что? Эту программу нельзя
ни на чём запустить в обозримом будущем.
Вполне может быть так, что из-за физических
ограничений её не удастся запустить никогда.

В то время как конструктивисты вешают другим лапшу
на уши о материальной представимости своих объектов,
информатики и feasibility-believers реализуют
эту представимость на практике. Конструктивно
верное утверждение о коммутативности сложения
совершенно бессмысленно с этой точки зрения.
Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
и feasibility-believers) всё чётко:
сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
они запускают машину и демонстрируют, что здесь
всё вполне материально.

Позиция конструктивистов была бы обоснованной,
если бы давала какие-то практические преимущества.
Но ведь и на практике никому не надо складывать
любые натуральные числа, а надо
складывать весьма и весьма ограниченные числа.
То есть финитистская позиция полностью охватывает
всю практику приложения математики.

И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
абстракции потенциальной осуществимости или
подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

>А без "например"? Имеется какой-нибудь вменяемый способ определить, какие общие высказывания допустимы, а какие нет? Или без революционного правосознания никак?

Имеется. Если высказывание имеет материальное представление,
которое мы можем реализовать здесь и сейчас, то оно
допустимо. Иначе — нет. И никакой схоластики.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если ошибка произойдёт в АСУ ядерным боезапасом США, то "другого раза" может уже и не быть :-) Но главное даже не это. Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими". Вы киваете на 10^(10^6)? Ну, так ведь одно из двух:

1) Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

2) Либо Ваш текст есть само число (т.е. натуральные числа — это не набор палочек, а выражения более сложной природы). Тогда непонятно, а что в нём такого ужасного: девять байтов, с которыми прекрасно можно работать. Т.е. это опять же никакая не граница.

Итак, при любом из указанных раскладов "финитисты" заходят в порочный круг. Давно известный, кстати. Как выкручиваться будем?

> Зато у финитистов (так я буду называть информатиков
> и feasibility-believers) всё чётко:
> сложение натуральных чисел меньших 10^(10^6) коммутативно.
> И если им дают два таких числа, то пожалуйста,
> они запускают машину и демонстрируют, что здесь
> всё вполне материально.

У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

> Но ведь и на практике никому не надо складывать
> любые натуральные числа, а надо
> складывать весьма и весьма ограниченные числа.

"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

> И не надо привлекать никакой схоластики, вроде
> абстракции потенциальной осуществимости или
> подсчёта количества ангелов на кончике иглы.

К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Главное то, что Вы никогда не сможете абсолютно чётко провести границу между числами "хорошими" и числами "плохими".

Очень даже могу. Допустимы те числа, которые мы можем
материально представить на доступных нам машинах.
Естественно, эта граница меняется со временем.

>Либо Ваш текст есть не само число, а описание порождающего оное процесса. Тогда, раз этот процесс не доводится "в железе" до победного конца, то никакого числа Ваш текст не определяет — а раз так, то и "границей" никакой не является!

Текст 10^(10^6) есть описание процесса.
И этот процесс очень даже доводится до победного конца.
Или вы считаете, что машине проблематично
выписать единицу, за которой следует миллион нулей?

>У конструктивистов ещё более чётко: сложение любых двух чисел, которые можно сложить в любом порядке на рассматриваемой машине, коммутативно. Берём и проверяем. Переполнение получили? Копыта откинули, не дождавшись ответа? Ну, извините: вот как раз про такие случаи мы ничего и не обещали.

Уточняющий вопрос.
Возьмём числе Грехема. Обозначим его G.
Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

>"Любые" — это и означает "любые, которые надо". А ещё точнее — "любые, которые сможем сложить на рассматриваемой машине". Так что этот пассаж вообще мимо цели.

Очень интересно. В таком случае, поясните пожалуйста,
как здесь используется абстракция потенциальной осуществимости.
И используется ли она здесь вообще?

>К сожалению, математика — это наука, а не сборник протоколов о выполненных конкретных вычислениях. А наука оперирует общими утверждениями, которые всегда абстрактны. И оттого, что на этот фактик кому-то "удобно" закрыть глаза, он не исчезает. Кстати, именно поэтому наибольшие крикуны против схоластики обычно сами же и оказываются наибольшими схоластами: обойтись без абстракций вообще не получается, а их анализа они проводить не умеют :-)

А что, я выступаю против абстракций? Вовсе нет.
Например, в финитизме используется абстракция
свободы от ошибок.
Финтизм выступает только против тех абстракций,
которые не имеют за собой материального основания,
вроде абстракции потенциальной осуществимости.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Допустимы те числа, которые мы можем
> материально представить на доступных нам машинах.
> Естественно, эта граница меняется со временем.

Если добавить к этому фразу "и допустимы те операции с числами, которые мы можем провести на доступных нам машинах" — получится в точности позиция конструктивной математики. Так что тогда не так-то?

> Обозначим его G.
> Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
> тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

Нет, не имеет. Потому что в выписанном Вами тексте это просто буква (а как умножать буквы на натуральные числа — непонятно). Чтобы получить нечто осмысленное, надо либо подставить вместо обозначения G собственно обозначаемое число (а за это Вы вроде не берётесь), либо честно признать, что речь идёт не непосредственно о Вашем тожестве, а об арифметической формуле вида \(\exists x (G(x))\land (2x+3x=3x+2x)\), где через \(G\) обозначен предикат "быть числом Грехема". Формула же сия имеет зело ясный смысл (и обсуждать можно только проблему верности этой формулы с точки зрения оного смысла).

> В таком случае, поясните пожалуйста,
> как здесь используется абстракция
> потенциальной осуществимости.
> И используется ли она здесь вообще?

Боже, ниспошли мне терпения :-( В триста тридцать третий китайский раз повторяю: все реально запускаемые нами вычислительные процессы мы делим на два сорта — те, которые не наталкиваются на границы наших конструктивных возможностей, и те, которые наталкиваются. Процессы первого сорта мы рассматриваем в конструктивной математике (и для таких процессов её выводы прекрасно работают). Процессы второго сорта мы не рассматриваем в оной (а потому утверждение, что для таких процессов выводы КМ могут разойтись с реальностью, не говорят ничего: тут мы ничего и не обещали). Вот эта-то "фильтрация" вычислительных процессов и есть абстракция потенциальной осуществимости. А каким образом эта "фильтрация" осуществляется в каждом конкретном случае, для каждой конкретной машины — это другой вопрос. Важный, интересный, но другой.

Что в сказанном "не имеет материального основания"?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда всё становится ещё проще.
Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
конструктивным натуральным числом?

Что касается остальное, то andrey_bovykin@lj
формулирует гораздо более содержательные вопросы:
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=680982#t680982

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
> конструктивным натуральным числом?

Нет, не является. Зато теоремой конструктивной математики является утверждение, что при наличии достаточного количества ресурсов эта программа будет результативной. Точно так же, как другой теоремой этой же самой конструктивной математики является утверждение, что для современной вычислительной техники оных ресурсов не хватит (в этом отношении КМ вполне разделяет Ваш подход к вопросу: Вы тоже не брали это число "в железе", а охарактеризовали его перечислением неких свойств, после чего теоретически заключили, что среди "относительно осязаемых" чисел объекта с требуемыми свойствами не имеется).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Кстати, может быть, Вам будет интересен блог о "perceptions of infinity in mathematics", его ведут логик-групповик (группы Морли) и фолософ, по гранту христианской организации Templton foundation :

http://dialinf.wordpress.com/

(Reply to this) (Parent)

не могу вмешаться по сути, но мне Ваш спор напоминает о фразе, кажется, Адамса из книжки про Пространства Петель.

(очень неточная цитата) "когда тополог говорит, что два пространства петель совпадают, он подрузумевает, что он построил сисметему изморфизмов, которые ... и функториально ..."

также, видимо, и у конструктивистов --- постоянно должны подразумеваться оговорки о реализуемости .. впрочем, может я ошибаюсь.


Но ведь и на практике никому не надо складывать
любые натуральные числа, а надо
складывать весьма и весьма ограниченные числа.
То есть финитистская позиция полностью охватывает
всю практику приложения математики.

ага. но, скорей,
практику "наивного" приложения математики (без всяких теорем лефшеца в физике..)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>также, видимо, и у конструктивистов --- постоянно должны подразумеваться оговорки о реализуемости .. впрочем, может я ошибаюсь.

А вот я никак не могу понять. В одном месте я вижу
чисто финитисткие высказывания, в другом —
странные разглагольствования про абстракцию
потенциальной осуществимости.

>ага. но, скорей,
>практику "наивного" приложения математики (без всяких теорем лефшеца в физике..)

Вот-вот. И я о том же.

(Reply to this) (Parent)