Да, это двухходовка уже.

Лучше разбираться, когда как соотносятся a^b, b^a, a и b.

А ради счётных множеств вообще должно быть стыдно произносить "кардинал"-"ординал".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Да, это двухходовка уже.

А по-моему, не так интересна, как о мощности счетного объединения счётных множеств. Последняя меня очень впечатлила в своё время.

>Лучше разбираться, когда как соотносятся a^b, b^a, a и b.

В каком смысле?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

В каком смысле?
Надо утвердиться в определении того, что есть возведение в степень для ординалов/кардиналов, и понять, когда как мощность увеличивается.

Например, если a — конечное из более чем одного элемента, а b — бесконечное, то по мощности a < b = b^a < a^b.

Если оба множества бесконечные, то нужно много думать.

(Reply to this) (Parent)

Да, с алгебраическими тоже всё просто, а насчёт возведения произвольного числа в произвольную степень -- не очень понятно, всегда ли такая операция имеет смысл.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Всегда: (не совсем строго) a^b — это множество отображений из b в a.

Например, 2^R,— множество всех подмножеств R,— а каждое подмножество A задаёт отображение из R в {0,1}: f(x)=0 если x∊A и f(x)=1 если x∉A.

Конечно, это определение, а у нас аксиоматика и прочее, всё должно быть строго: как определили, то и есть. В аксиомах возведение множества в множество нет, так что нужно определение. Написанное мной — вполне обычное, популярное определение возведения множества в множество, так в тех же Бурбаках написано, например.

(Reply to this) (Parent)

> а насчёт возведения произвольного числа
> в произвольную степень -- не очень понятно,
> всегда ли такая операция имеет смысл.

Нам в школе в десятом классе сказали, что «это мы будем определять по непрерывности» (приближая основание и показатель степени рациональными числами). С тех самых пор меня этот вопрос даже не волнует, несмотря на то, что в период с десятого класса по второй курс я очень беспокоился о всей-всей аксиоматике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

...речь идёт не о действительых числах(с которыми действительно всё понятно), а о мощностях множеств.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, вот оно что. Да, я тоже не представляю, как там обстоит дело. Но в данном случае "придать смысл операции a^b" означает только "определить порядок", да? Тогда, наверное, можно попытаться придать смысл.

(Reply to this) (Parent)