| Нельзя так просто расстаться с двойственностью |
[Jun. 22nd, 2025|02:36 am] |
| [ | Current Mood |
| |  sleepy | ] |
| [ | Current Music |
| | Kraftwerk | ] |
Stone Spaces By Peter Johnstone
Моей целью является книга «Galois Theories» Барсу и Джанелидзе. Там активно используются две штуки, которые я до этого видел в книге Джонстона «Stone Space», а именно спектры Пирса и профинитные объекты. Но этот материал там я толком не разбирал, и я решил вернуться к этой книге.
Первым я столкнулся со спектром Пирса. Чтобы понять, что это такое, можно начать с того, что из любого кольца можно выбрать множество центральныъ идемпотентов. Это будет булева алгебра. И структура этой булевой алгебры определяет то, как это кольцо можно раскладывать в произвдение других колец. Кольцо называется неразложимым, если его нельзя разложить в такое нетривиальное пространстов. Для этой булевой алгебры можно построить пространство Стоуна, которое и называется Спектром Пирса. Точки спектра Пирса — это простые идеалы (они же максимальные), а открытые множества это иделы из этой булевой алгебры. С помощью этой конструкции любое кольцо можно представить как глобальное сечение пучка неразложимых колец на пространстве Стоуна. А если кольцо еще и является регулярным по фон Нойману (для любого х существует у такой, что х^2y=x), то его можно представить как глобальное сечение пучка полей.
Дальше Джонстон пишет про Спектры Зариского. Его определение конструкция, кажется, отличается от того, что принято в книгах по коммутатитвной алгебре и алгебраической геометрии. С помощью этой конструкции получается, что любое коммутативное кольцо представимо как глобадбное сечение пучка локальных колец на топологическом пространстве. И если кольцо Гельфандово (то есть любой простой идеал содержится в единственном максимальным), то это пространство хаусдорфово и компактно. Потом у Джонстона идет еще много всяких представлений, но мне кажется, что все это экзотика. И я про это писать не буду. Но тут идея в том, что некоторые коммутатитвные кольца похожи на кольца функций определенного вида, и для ниъ можно строить пространства на которых они ведут себя как пучки непрерывных функций.
После этой темы я отвлекся на двойственность Серра-Суона про которую мало что написано у Джонстона. Зато кое-что написано у Кларка в его тексте по коммутативной алгебре. Эта двойсвенность имеет много разных формулировок. Одна из них топологическая и утверждает, что категория топологических векторных расслоений конечного ранка эквивалентна категории конечно-порожденных проективных модулей над непрерывными функциями. То есть получается, что любой такой модуль устроен примерно как множество векторных полей над этим пространством. Есть у этой теоремы и алгебраическая формулировка. Она утверждает, что для любого кольца конечно-порожденные проективные модули над ним как категория эквивалентны пучкам конечно-поражденных свободных модулей на спектре Зариского этого кольца. Это формулировка роднит Серра-Суона с алгебраическими двоественностями, о которых я писал выше. Есть у этой теоремы и гладкие версии, и еще всякие разные. С помощью нее можно, например, доказать что все векторные расслоения над стягиваемым пространством тривиальны. Кларк использует эту теорему, чтобы доказать какие-то факты про числовые решетки, но я решил пока пропустить этот сюжет.
Потом Джонстон объясняет Инд и Про конструкцию для категорий. Инд-конструкция для малой категории это что-то вроде пополнения ее всеми фильтроваными копределами. А Про-конструкция это конструкция обратная к Инд. Причем, если в категории есть конечные коприделы/пределы, то итоговая категория будет би-полной. Интересно, что обхекты Инд-конструкции удобно представлять декартовыми предпучками над исходной категорией. Есть достаточно мягкие условия, которые говорят, когда Инд будет топосов, изложенные в статье. Теперь становится понятно, что профинитные объекты это объекты категории Про-пополнения подкатегории конечных объектов. Профинитные группы ввжны, нпримиер, также потому, что это ровным счетом все группы, которые могут возникать как группы Галуа. Также интересно Профинитные объекты алгебраических категорий — это ровно те объект на которых можно ввести топологию Стоуна, сохраняющую непрерывность операци. Из введет к всяким алгебро-категорным трюкам. И Джонсон, чтобы обобщить их определяет общую двойственность Стоуна для конкретных категорий. Главной особенностью таких двойственностей является наличие шизофренического объекта, который принадлежит как бы сразу двум категориям. И переход между категориями осуществляется путем построения множества отображений в шизо-объект. Кроме двойственностей между разными категориями решеток и топологических пространств в-ка качестве примера Джонсон приводи и двойственность Понтрягина между компактными топологическими абелевыми группами и просто абелевыми группами. Там в качестве Шизофренического объекта служит множество комплексных чисел нормы 1, то есть окружность.
Дальше у Джонстона идет двойственность Лоусона, которая устанавливает эквивалентность между топологическими решеткаи и локально-компактными локалями. Но я решил вместо этой главы разобрать статью Дмитирия Павлова про двойственность измеримых пространств. Оказывается, что эта двойственность похожа на двойственность Гельфанда, но не для алгбр Це со звездочкой, а для алгебр фон Неймана. Оказывается, что любое компактное сильно локализуемое измеримое пространство является изоморфно спектру коммутативной алгебры фон Ноймана, а именно Эль бесконечность над собой. Тут есть и элементы бесточечной теории меры, и предлагается выкинуть точки из пространства и работать с измеримыми локализации. Интересно, но этот результат ведет к версии теоремы Серра-Свана для измеримых полей Гильбертовых пространств. Такие поля эквиваленты модулям фон Нейманна. Причем должа быть и алнебраическая сторона этой двойственности, когда для произвольной алгебры фон Неймана строится двойственность между модулями над ней и полями гильбертовых пространств над ее спектром. Также кажется, что любое измеримую локаль можно представить глобальное сечение пучка полей кардинальности 2 над гиперстоуновским пространством. |
|
|