Пес Ебленский [entries|archive|friends|userinfo]
rex_weblen

[ website | Наши рисуночки ]
[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Негалуасова Теория Галуа [Aug. 30th, 2025|12:11 am]
[Tags|, , , , , , , ]
[Current Mood | shocked]
[Current Music |13th floor elevators - Easter Everywhere ]

Теории Галуа.
Aвторы: Франсиc Борсьё, Джордж Джанелидзе;
дата издание 2001 год

Я уже неделю как закончил разбирать эту книгу. Последния глава этой книге посвящена так называемой негалуасовой теории Галуа, или тории представлений Галуа без усовия Галуа, или просто теории Галуа-не-Галуа. Основным результатом в этой теории можно считать теорему Джояля-Тирни для топосов. Именно она и привлекла мое внимание к этой книги. Общее ощущение, что это взрыв мозга от уровня абстракций. Не уверен, что смогу это где-то применять. Но все равно интересно прочувствовать предел своих возможностей.

Чтобы понять содержание этой теории для начала нужно определить, что такое внутренняя предкатегория в категории. Это примерно то же самое, что и внутренняя категория, но с чисто алгебраическими условиями. То есть внутренняя предкатегория это три объекта: объект объектов, объект морфизмов и объект потенциальных композиций; C cоответствующмми операциями между ними и отношениями между этими операциями. Для любого объекта категории можно построить дискретную предкатегорию, где все объекты будут этим самым объектом, а все морфизмы будут тождественными. Для любого морфизма в исходной категории можно определить разложение через предкатегорию, в том смысле, что любой морфизм поднимается до морфизма между дискретными предкатегориями, а и это поднятие должно раскладываться на эпиморфизм и мономорфизм в категории внутренних предкатегорий с какой-то промежуточной предкатегорией.

Для (контравариантного) мета-функтора из данной категории в мета-категорию категорий и внутренней предкатегории можно построить категорию внутренних предпредпучков. Для такого мета-функтора эффективным спуском между двумя объектами исходной категории называется морфизм с предкатегорным разложением, такой что первая часть разложения поднимается до эквивалентности категорий соответствующих внутренних предпучков. Если нам даны два мета-фунутора, естественное преобразование этих мета-функторов a: F->G, и морфизм s: X->Y исходной категории, то объект крайней категории F(G), скажем A, называет расщепленным, если существует объект категории F(X), скажем B, такой что a_X(B) изоморфна G(s)(A). Теорема Галуа в этом контексте утверждает, что категория объектов расщепленных эффективных спуском эквивалента категории внутренних предпучков на промежуточной предкатегории.

Теорема Джояля Тирне использует эту теорему Галуа, с данными типа таких: базовая категория — категория топосов Гротендика. В качестве функторов берется забывающий функтор, и функтор отображающий топос в локалический топос его классификатора подобъектов. Естественное отображение — это часть уникального гиперсвязного геометрический морфизма, который всегда существует по определению. В итоге получается, что любой топос эквиваленте как категория категории пучков (этальных предпучков) на открытом локаличестом группоиде. Это и есть теорема Джоядя-Тирни. Я не буду в нее очень глубоко погружаться так как не очень понимаю как ее использовать.

Продалжая эту тему можно прочитать статьи Эдуардо Дубуча про связь теории Галуа и топосов, где в частности изучаются такие свойства как связность топосов. Для любителей некоммутативной алгебры можно порекомендовать книгу Свидлера Hopf algebras and Galois theory

Link50 comments|Leave a comment

Нельзя так просто расстаться с двойственностью [Jun. 22nd, 2025|02:36 am]
[Tags|, , , , , , , , ]
[Current Mood | sleepy]
[Current Music |Kraftwerk]


image
Stone Spaces By Peter Johnstone


Моей целью является книга «Galois Theories» Барсу и Джанелидзе. Там активно используются две штуки, которые я до этого видел в книге Джонстона «Stone Space», а именно спектры Пирса и профинитные объекты. Но этот материал там я толком не разбирал, и я решил вернуться к этой книге.

Первым я столкнулся со спектром Пирса. Чтобы понять, что это такое, можно начать с того, что из любого кольца можно выбрать множество центральныъ идемпотентов. Это будет булева алгебра. И структура этой булевой алгебры определяет то, как это кольцо можно раскладывать в произвдение других колец. Кольцо называется неразложимым, если его нельзя разложить в такое нетривиальное пространстов. Для этой булевой алгебры можно построить пространство Стоуна, которое и называется Спектром Пирса. Точки спектра Пирса — это простые идеалы (они же максимальные), а открытые множества это иделы из этой булевой алгебры. С помощью этой конструкции любое кольцо можно представить как глобальное сечение пучка неразложимых колец на пространстве Стоуна. А если кольцо еще и является регулярным по фон Нойману (для любого х существует у такой, что х^2y=x), то его можно представить как глобальное сечение пучка полей.

Дальше Джонстон пишет про Спектры Зариского. Его определение конструкция, кажется, отличается от того, что принято в книгах по коммутатитвной алгебре и алгебраической геометрии. С помощью этой конструкции получается, что любое коммутативное кольцо представимо как глобадбное сечение пучка локальных колец на топологическом пространстве. И если кольцо Гельфандово (то есть любой простой идеал содержится в единственном максимальным), то это пространство хаусдорфово и компактно. Потом у Джонстона идет еще много всяких представлений, но мне кажется, что все это экзотика. И я про это писать не буду. Но тут идея в том, что некоторые коммутатитвные кольца похожи на кольца функций определенного вида, и для ниъ можно строить пространства на которых они ведут себя как пучки непрерывных функций.

После этой темы я отвлекся на двойственность Серра-Суона про которую мало что написано у Джонстона. Зато кое-что написано у Кларка в его тексте по коммутативной алгебре. Эта двойсвенность имеет много разных формулировок. Одна из них топологическая и утверждает, что категория топологических векторных расслоений конечного ранка эквивалентна категории конечно-порожденных проективных модулей над непрерывными функциями. То есть получается, что любой такой модуль устроен примерно как множество векторных полей над этим пространством. Есть у этой теоремы и алгебраическая формулировка. Она утверждает, что для любого кольца конечно-порожденные проективные модули над ним как категория эквивалентны пучкам конечно-поражденных свободных модулей на спектре Зариского этого кольца. Это формулировка роднит Серра-Суона с алгебраическими двоественностями, о которых я писал выше. Есть у этой теоремы и гладкие версии, и еще всякие разные. С помощью нее можно, например, доказать что все векторные расслоения над стягиваемым пространством тривиальны. Кларк использует эту теорему, чтобы доказать какие-то факты про числовые решетки, но я решил пока пропустить этот сюжет.

Потом Джонстон объясняет Инд и Про конструкцию для категорий. Инд-конструкция для малой категории это что-то вроде пополнения ее всеми фильтроваными копределами. А Про-конструкция это конструкция обратная к Инд. Причем, если в категории есть конечные коприделы/пределы, то итоговая категория будет би-полной. Интересно, что обхекты Инд-конструкции удобно представлять декартовыми предпучками над исходной категорией. Есть достаточно мягкие условия, которые говорят, когда Инд будет топосов, изложенные в статье. Теперь становится понятно, что профинитные объекты это объекты категории Про-пополнения подкатегории конечных объектов. Профинитные группы ввжны, нпримиер, также потому, что это ровным счетом все группы, которые могут возникать как группы Галуа. Также интересно Профинитные объекты алгебраических категорий — это ровно те объект на которых можно ввести топологию Стоуна, сохраняющую непрерывность операци. Из введет к всяким алгебро-категорным трюкам. И Джонсон, чтобы обобщить их определяет общую двойственность Стоуна для конкретных категорий. Главной особенностью таких двойственностей является наличие шизофренического объекта, который принадлежит как бы сразу двум категориям. И переход между категориями осуществляется путем построения множества отображений в шизо-объект. Кроме двойственностей между разными категориями решеток и топологических пространств в-ка качестве примера Джонсон приводи и двойственность Понтрягина между компактными топологическими абелевыми группами и просто абелевыми группами. Там в качестве Шизофренического объекта служит множество комплексных чисел нормы 1, то есть окружность.

Дальше у Джонстона идет двойственность Лоусона, которая устанавливает эквивалентность между топологическими решеткаи и локально-компактными локалями. Но я решил вместо этой главы разобрать статью Дмитирия Павлова про двойственность измеримых пространств. Оказывается, что эта двойственность похожа на двойственность Гельфанда, но не для алгбр Це со звездочкой, а для алгебр фон Неймана. Оказывается, что любое компактное сильно локализуемое измеримое пространство является изоморфно спектру коммутативной алгебры фон Ноймана, а именно Эль бесконечность над собой. Тут есть и элементы бесточечной теории меры, и предлагается выкинуть точки из пространства и работать с измеримыми локализации. Интересно, но этот результат ведет к версии теоремы Серра-Свана для измеримых полей Гильбертовых пространств. Такие поля эквиваленты модулям фон Нейманна. Причем должа быть и алнебраическая сторона этой двойственности, когда для произвольной алгебры фон Неймана строится двойственность между модулями над ней и полями гильбертовых пространств над ее спектром. Также кажется, что любое измеримую локаль можно представить глобальное сечение пучка полей кардинальности 2 над гиперстоуновским пространством.
Link60 comments|Leave a comment

Бессмысленные антуражи и квази-равномерность [May. 7th, 2024|05:28 pm]
[Tags|, , , , , , , , ]
[Current Mood | sleepy]

image9780824718398


Перед тем как переходить к новым темам, я решил, что нужно закрыть все, что осталось у Пикадо-Пультра про равномерные локали.

Метрическая структура и метризация. Тут метрика ведет себе как действительно-значная валюация элементов локали. Это типа диаметр. Поэтому можно было бы говорить не про метризацию, а диаметризацию. Меня зацепило то, что если взять в качестве локали взять алгебру вероятности, то у вероятность будет удовлетворять аксиомам диаметра. Но других хороших свойств диаметра у нее не будет ели исходное вероятность не состоит из одних атомов. Поэтому на эту тему я почти не тратил внимания.

Антуражи. Равномерную структуру придумал Андре Вейль. И в своей работе он определял ее как фильтр рефлексивных отношений, которые он называл антуражами, на множестве такой, что обратный к любому антуражу снова содержится в равномерной структуре, и что для любого антуража из структуры можно достать другой, но такой что его композиция с самим собой содержится в первом. Иногда антуражи еще называют коннекторами. Это определение без труда переносится в безточеную топологию. Но теперь антуражи, это просто элементы квадрата исходной локали, такие что элементы, квадраты которых в антураже, покрывают исходную локаль. И определения равномерной структуры получается дальше так же как у Вейля.

Отрадно, что как показывают Пикадо-Пультр антураж можно определить чисто категорным языком. Можно пойти дальше и чисто категорно определить и равномерную структуру. И это можно сделать на большом количестве разных категорий. Ив Андрэ тоже про это писал, но кажется только сейчас понял содержание этой конструкции. Ив Андрэ писал, что равномерные объекты можно задать на любой категории со степенями. Но когда речь заходит о каких-либо результатах он почему-то сразу предполагает, что мы находимся в "хорошей категории, такой как категория групп или топос". Мне кажется, что равномерные объекты имеет смысл определять для регулярных категорий. Дело в том, что в регулярных категориях можно определять отношения объектов как объекты самой категории, и они ведут себя более-менее предсказуемо. Например, отношения будут подобъектами произведений соответствующих объектов и их композиции будут оставаться подобъектами. А в произвольной "категории cо степенями" это доказать кажется нельзя, хотя можно и определить отношения.

Однако, я понял, что чисто категорное определение грубее чем-то, которое использует Пикадо-Пультр, потому что не каждый подобъект квадрата с необходимыми свойствами будет открытой подлокалью. Однако, Андрэ пишет, что такая конструкция используется в еще более диком контексте, в теории представлений, где кто-то использовал равномерные представления групп. Категория представлений групп, кстати, будет регулярной. Я также понял, что если в регулярной категории есть терминальный объект, то там можно определить и полноту с пополнением. Понятно, что единственность пополнения следует сразу из универсального свойства. А вот вопрос в каких категориях выполняется теорема про существование пополнения? Мне кажется, что оно должна существовать в топосах, куда всю конструкцию можно импортировать, используя внутренний язык топоса. Но кажется, что это не очень интересно.

Квази-равномерность. Идея тут довольно простая. Если убрать из определения равномерной структуры условия замкнутости под транспозицией, то вроде как получается более широкий класс структур. Зачем это нужно не очень понятно. Но Ив Андрэ использует именно пополнения квази-равномерностей для своих p-адических дифференциальных уравнений. Сам Ив Андрэ пишет, что квази-равномерности нельзя выразить через покрытия. Но Пультр-Туки пишут про то, что правильное обобщение определения через покрытия для квази-равномерностей это так называемые парные покрытия. То есть системы состоящие из пар множеств пересечения которых образуют покрытия. Причем квази-равномерность задает не одну, а сразу три топологии. Это так называемые правая и левая топология и их джоин. Такие объекты назывют би-топологическими пространствами или би-пространствами, а наука, которая их изучает называется асимметричной топологией. Говорят, что с помощью квази-равномерности можно задать любую топологию, что не верно для простой равномерности.

Плохо, что Пикадо-Пультр ничего не пишет про пополнения квази-равномерных пространств. Для того, чтобы разобраться с этим вопросом я достал другую книжку, посвященную чисто квази-равномерностям. И тут меня накрыло. Оказывается, что ни теоремы о единственности пополнения, ни существования для квази-равномерных пространств не выполняются. Но, кажется. они выполняются для некоторых хороших классов квази-равномерных пространств. Ив Андрэ пишет, что для локально квази-компактных пространств существует довольно простая конструкция пополнения Кюньси, которой он пользуется. Но для начала нужно разобраться с тем, что такое локальная квази-компактность.

Для многих равномерные структуры и бесточечная топология — это уже экзотика. А бесточечная квази-раваномерность и пополнения относительно нее — это уже какая-то крайняя экзотика. То есть можно представить себе, что я шел по тундре, а сейчас уперся в ледовитый океан. А нужного снаряжения, чтобы плыть на льдине у меня нет. Наверное, в таком случае стоит повернуть.
Link68 comments|Leave a comment

Равномерные пространства и топологические группы [Feb. 11th, 2022|09:50 pm]
[Tags|, , , , , , ]
[Current Mood | working]
[Current Music |Hidious of Strength]

В своем изучении дескриптивной теории множеств я временно отступил на территорию топологических групп. Дело в том, что я уже изучал эту тему, но когда дошел до польских групп, то понял, что мои конспекты совсем в неудовлетворительном состоянии. И решил совершить регресс.

Равномерные пространства это такая штука, которую придумал Бурбаки, чтобы все ахуели прост. Потому что все раньше думали, что многие фундаментальные конструкции нуждается в метрики, а метрика нуждается в действительных числах. Поэтому казалось, что у действительных чисел особый универсальный статус. А Бурбаки предложил, такую структуру, обобщающую понятие метрики, но выраженная чисто в теоретико-множественном языке без каких-либо отсылок к действительным числам, но со всеми конструкциями. Основная польза от изучения этого это доступ более простом или интересному, кому как, подходу для работы с теми же самыми топологическими группами, векторными пространствами, алгебрами и так далее. Но в действительности от этого подхода всегда можно отойти по желанию. Те кому Бурбаки нравятся его юзает, а те кому не нравятся не юзают. Например Гротендик в своей книги про топологические векторные пространства — его юзает, а Понтрягин в книге Непрерывные Группы — не юзает. Если не изучать всю эту топологическую алгебру то особого смысла в нем и нет.

А зачем изучать всю это топологическую алгебру? Конечно, хорошее знание этой теории упрощает изучение групп и алгебр Ли, унтарных групп Гильбертовых пространств и баннаховых алгебр и других тем, где сами топологические группы появляются естественно, хотя и не являются объектами центрального интереса. Однако какие темы требуют углубленного изучения топологических групп? Изначально эта тема развивалась в контексте решения пятой проблемы Гильберта. Смотри работы того же Понтрягина. При решении этой проблемы развилась теория представления локально-компактных групп с помощью меры Хаара. Решать это проблему по еще одному кругу, наверное, не нужно, но из ее решения вышел абстрактный гармонический анализ. Пятая проблема утверждает, что любую конечномерную непрерывную топологическою группу можно исследовать как группу Ли. Поэтому более абстрактная теория может быть полезна в гармоническом анализе если использовать бесконечномерные или неархимедова группы, например. Не знаю, насколько эта тема сейчас актуальна для исследований. Еще люди изучают кардинальные функции и бесконечномерную динамику. Но, Меня лично в большей степени интересует инвариантная дескриптивная теория множеств, где активно используются польские группы, и грубая геометрия этих самых топологических групп.

Как базовую книжку, как и а прошлый раз, я использовал A. Willansky "Topology for Analysis". Она совсем простая и понятная и там много простых упражнений. Но многих более сложных и серьезных тем там нет. Поэтому я обратил внимание на книгу малоизвестного американского математика W. Page "Topological Uniform Structures". Написана она как раз с прицелом на абстрактный гармонический анализ, поэтому там много относительно интересных тем, включая теория представлений групп и свободные топологические группы. Однако написано она c большим количеством странных авторских обозначений, делающих изложение очень компактным, но требующего больших усилий для понимания. Противопоставить этой книге можно другую книгу с похожим названием Roelcke W. ; Dierolf S. "Uniform Structures on Topological Groups and their quuotients". Тут немцы постарались изложить все максимально понятно, но конечная цель этой книги, изучение почти метризуемых и полных по Чеху групп. А для меня это экзотика, экзотика. Однако на эту книгу стоит обратить внимание еще и вот почему. Судя по всему у Рёлке понимание смысла равномерности топологической группы значительно опережало современников, так как на его конструкции ссылаются и в современной книжке по грубой геометрии.

Можно обратиться и к классике, к Бурбакам, топология 1 у них, кажется, но я этого не делал. Если же вы ненавидите Бурбаков или читаете только по-русски, то можно взять русскоязычную книгу Понтрягина, там никаких равномерных пространств не будет. У Понтрягина книга написана довольно устаревшим языком, но при этом довольно понятная и хорошо читается. Крутится она вокруг пятой проблемы Гильберта, поэтому большое внимание там уделяется проблемам теории представлений и группам Ли. Есть еще энциклопедический труд Архангелского и Ткаченко, но он доступен только на английском и равномерности там все же есть. Поэтому полной победы НАШИХ над клятыми бурбакистами не получилось. Там много топологической экзотики, поэтому я его не читал.

А топологические группы это именно раздел не алгебры или топологии, а именно анализа.

Особо подробно рассказывать про результаты не буду. Но вот, например один, который меня заинтересовал. Это теорема Успенского про то, что любая польская группа изоморфна какой-то подгруппе группы гомеоморфизмов куба Гильберта. Эта теорема доказывается с ссылкой на теорему Келлера о том, что все компактные выпуклые тела в слабой топологии со звездочкой изоморфны кубу гильберта. Интересно, что в 1993 году Агеев опубликовал "топологическое" доказательство теоремы Келлера основанное на теории представлений унитарной группы гильбертова пространства или топологической группы похожей на нее. Отсюда идея придумать некий миникурс, который начинался бы с общей теории представлений топологических групп, потом переходил к представлению унитарной группы, оттуда шло доказательство Агеева теоремы Келлера (понадобиться еще выпуклая геометрия в бесконечномерье), и оттуда уже шла бы теорема Успенского, с возможными крутыми приложениями. Тут главный вопрос не возникнет ли при этом закольцованность аргументов?
Link17 comments|Leave a comment

Булевы алгебры [Dec. 25th, 2021|01:35 pm]
[Tags|, , , , , , , ]
[Current Mood | refreshed]
[Current Music |Soft Cell - This Last Night...In Sodom]

Изрядное количество сил и времени было потрачено на изучение булевых алгебр. Меня это тема заинтересовала так как казалась совершенно элементарной. Тем не менее я видел, что по ней есть какие-то толстые книги, пишутся статьи. И меня это давно интриговало.

Оказалось, что эту тему нельзя путать с алгеброй-логикой как теорией для анализа всяких интегральных схем, которую я бы отнес скорее к дискретной математики. Тут речь идет об изучении колец с отношением $x^2 = x$. Если кольцо, как положено, с единицей, то такая структура называется булевой алгеброй. А если единицы может не быть, то булевым кольцом. Такая вот путаница. Тривиальные примеры булевых алгебр: кольцо с одним элементом, поле с двумя элементами, подмножества фиксированного множества. Булево кольцо, которое не является булевой алгеброй, это, например, конечные множества целых чисел. Легко доказать, что любая булева алгебра будет коммутативной и иметь характеристику 2. Но обратное не верно, например нетривиальное расширение Галуа поля из двух элементов булевой алгеброй уже не будет. Смысл тут в том, что задавая отношение $x^2 = x$ мы получаем как-бы бесточечную (pointfree или pointless) модель наивной теории множеств, или не только наивной если рассматривать булевы кольца, при этом саму являющееся множеством. Отсюда переносятся все теоретико-множественные операции и понятие порядка. Например, порядок определятся чисто алгебраическими средствами как $x \le y \iff xy = x$, а операция объединения как $x \cup y = x + y + xy$. При этом у нас получается дистрибутивная решетка. А самым полезным из базовой теории оказалось понятие о разбиении единицы в булевой алгебре.

Однако, у нас до сих пор остается не закрыт вопрос, к какому разделу математики относить булевы алгебры? Как я уже сказал выше к дискретной математики они не относятся, и к логике их можно отнести только в силу инертности мышления. На первый взгляд это чисто алгебраическая теория, Однако как мы увидим в дальнейшем общая топология там используется довольно интенсивно. Потому просто к алгебре или тем более к топологии относить эту теорию нельзя. Один мой учитель однажды сказал, что анализ это алгебра с топологией, а тут мы имеем дело именно с эти. Поэтому буду относить алгебры к анализу. А именно к анализу алгебраическому или, если на меня обидятся любители микро и макро-локальных функций, то к аналитической алгебре. Пререквизиты к изучению этой темы это общая топология и один семестр абстрактной алгебры. Еще полезно быть знакомым с ординальными числами. Поэтому изучить все можно на втором курсе или еще раньше.

Изучал я эту теорию по учебнику Фремлина, а именно главам 31 и 38. Он особенно хорош тем, все выложен в виде теховских исходников и pdf на сайте автора, а значит учебник не скован обычными ограничениями книгоиздания. Причем, можно скачать ro (result only) версию, где будут только определения и формулировки теорем. И таким образом сразу получится подобие листочка. Недостаток такой версии в том, что там не будет и задачек и концептуальных комментариев из основной версии. А задачек там довольно много, они разделены на две категории, но скорее не по сложности, а по необходимости наличия внешних знаний. Что-то из этих задачек я решал, что-то решал из RO версий, а когда RO становились слишком сложными, то читал обычную версию. Из альтернативной литературы можно отметить Халмоша, у которого есть две книги разной сложности. Та которая посложнее вроде содержит все необходимые темы, и может подойти тем, кто не хочет слишком сильно разбрасываться камни. На Русском языке по этой теме есть Владимиров и переведенная классика Сикорский. И если Сикорский довольно сильно устарел, то Владимиров, хотя читать старую книгу может быть довольно сложновато, выделяется приложениями булевых алгебр к функциональному анализу, и в особенности к спектральным мерам операторов. Есть еще брошюра Подзорова из НГУ, но там большой упор сделан на приложения к матлогики и основаниям математики. А еще если хочется обдрочиться, то можно взять трехтомник под редакцией Монка "handbook of Boolean algebras".

Теперь перейдем собственно к содержанию. Связь с топологией обеспечивается тем, для изучения булевых алгебр активно используются пространства Стоуна или просто функтор Стоуна. Этот функтор сопоставляет каждому булевому кольцу локально-компактное ноль-мерное Хаусдорффово пространство ненулевых морфизмов из самого кольца в поле из двух элементов. Каждому элементу булевой алгебры в таком пространстве соответствует открытый компакт. И порядок тут переносится как порядок вложений. Поэтому, если булевой была алгебра, то её пространство Стоуна будет компактно. Однако существований этой конструкции в общем случае неконструктивно и требует работы с ультрафильтрами. Но, так как многие факты про булевы алгебры доказываются именно через пространства Стоуна, то можно представить, что мы имеем дело с алгебраической топологией шиворот-навыворот! То есть исследуем регулярные алгебраические структуры с помощью функтора в топологические пространства. функтор это, между прочим контравариантный. Стрелочки поворачиваются! И произведения становятся копроизведениями и наоборот. То есть, декартовым произведениям булевых алгебр соответствует несвязные объединения пространств Стоуна, а их тензорным произведениям уже декартовы произведения пространств Стоуна. Все это очень просто и логично если подумать про конечные аналоги и их комбинаторику.

Еще есть очень важные понятия о (секвенциональной) полноте, замкнутости и непрерывности в смысле порядка или по Дедекинду. Владимиров для этих целей вводит специальные топологии, а Фремлин вводит все эти понятия Ad Hoc, и, на мой взгляд, второй путь проще и понятней. Ведь речь тут идет просто про существование и сохранение инфов и супов в булевом порядке. Когда в курсе теории вероятностей говорят про сигма-алгебры, то это сокращение для "секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры подмножеств". Поэтому дальше все секвенционально замкнутые по Дедекинду булевы алгебры буду называть просто сигма-алгебрами. А просто замкнутые по Дедекинду булевы алгебры я буду называть тау-алгебрам, потому что Т в алфавите идет после С. В целом это лютый абьюз оф нотэйшен, но сам Фремлин использует буквы сигма и тау для обозначения соответствующих замыканий. Пример булевой алгебры, не являющейся сигма-алгеброй, это алгебра конечных-коконечных подмножеств целых чисел. А пример сигма-алгебры не являющейся тау-алгеброй, это например известная Борелева алгебра на действительных числах. Интересные результаты тут это теорема Лумиса-Сикорского про то, что любая сигма-алгебра представляется как фактор сигма-алгебры подмножеств по какому-то сигма-идеалу. Еще есть интересная конструкция замыкания через построения алгебры открытых областей или регулярных открытых множеств в пространстве Стоуна со всеми универсальными свойствами замыкания. Другая возможная конструкция замыкания это алгебра идеалов, но она сильнее выносит мозг, так как операции с идеалами отличаются от обычной алгебры множеств. Самый полезный тут факт такой, что любой автоморфизм булевой алгебры тау-непрерывен.

В начале главы 38 Фремлин подробно разбирается с группой автоморфизмов булевой алгебры. Все по программе Клейна. Тут напрашивается удивительная аналогия с эргодической теорией. Тут у нас элементы булевой алгебры это регионы пространства, автоморфизмы это динамические процессы, а их степени это дискретное время. Отсюда берется представление об эргодических, смешивающих, рекуррентных и апериодических автоморфизмах. Все это создает ощущение не просто бесточечной (pointfree и pointless) эргодической теории, а эргодической теории совершено абстрактной и пустой, лишенной каких-либо конкретных измерений. Сам Фремлин пишет, что ничего полезного в нормальной эргодической теории доказать нельзя, а воспринимать эту теорию нужно скорее как модель для углубления понимания и вдохновения. В конце как вишенку на торте я разбирал теоремы про факторизацию автоморфизмов на т. н. обменивающие инволюции. Это все из далека очень напоминало теоремы из аффинной геометрии про представление поворотов в произведений отражений. Но на практике там оказалось длинное, техническое, "комбинаторно" доказательство. Такое доказательство может занять ни одну лекцию (интересно, что Фремлин противник лекций как метода обучения). Но в итоге результат звучит так, что в тау-алгебре любой автоморфизм представляется как произведение не более чем трех инволюций. Отсюда следует определенный подход к подсчету нормальных подгрупп и критерии простоты. В частности можно доказать, что у группы автоморфизмов Борелевской сигма-алгебры действительной прямой только три нетривиальные нормальные подгруппы. На мой взгляд, удивительное утверждение на стыке элементарной алгебры и элементарного анализа.

Из тем, к которым можно было бы вернуться я бы отметил теорию простых функций, но там в качестве пререквизита требуется знание упорядоченных топологических пространств, которые я не доучил в прошлый раз. Еще можно почитать про спектральные меры у Владимирова. Или про приложения к матлогике у Подзорова и Монка. Но я в ближайшее время этого делать не буду. Намного интереснее было бы изучать булевы алгебры с мерой, или нормированные алгебры как их называет Владимиров. Но перед этим я хотел бы вернуться к дескриптивной теории множеств.

В целом я очень расстроен тем, что взялся за изучение булевых алгебр. Теперь они у меня в мозгу булят другие алгебры, например, квадратичные. А я никакие формы булинга не одобряю, особенно квадратичные!
Link9 comments|Leave a comment

navigation
[ viewing | most recent entries ]