| Теория Галуа |
[Apr. 22nd, 2025|12:06 am] |
| [ | Current Mood |
| |  tired | ] |
| [ | Current Music |
| | Gong - Acid Mothers | ] |
   
Учебники
текст
Это продолжение поста. Получается, что описанные там расширения полей — это единственный пререквизит. Но вообще теорию Галуа можно начинать, и с меньшими начальными знаниями.
Обычно в качестве мотивировки для изучения теории Галуа приводится проблема о разрешении алгебраических уравнений в радикалах. И это действительно проблема, которую можно объяснить школьнику. Но вообще это все хуита. И главная идя, которая нужно от теории Галуа — это связность Галуа. Связность Галуа — это пара сопряженных функторов между предпорядками. И вот это вот конструкция встречается очень часто в математики. В классической теории Галуа эти упорядоченные множества — это промежуточные расширения нормального сепарабельного расширения полей и подгруппами соответствующей группы Галуа, то есть группы автоморфизмов, сохраняющих исходное поле в расширение.
Из самых прикладных приложений, знакомых инженерам, конечные поля, которые даже называются Полями Галуа, и активно используются в теории кодирования. Там все прям очень понятно, можно считать на пальцах (компьютере), и сама решетка полей устроена также как решетка натуральных чисел с порядком, заданным отношением делимости, а все группы Галуа получаются циклическими. Про конечные поля довольно добротног написано у Романа. И у Романа есть еще достаточно подробная книжка про теорию Кодирования.
С другой стороны множество концепций из теории Галуа в какой-то доработанной форме используется в алгебраической теории чисел. Но там, например, нужно знать про целые расширения колец, про которые я надеюсь рассказать в одной из ближайших серий.
Другой важной темой в теории Галуа является теория Куммера, которая учит как описывать корни биномов вида x^n — a. Она тоже много куда обобщается. И есть сведения, что теория Куммера важна где-то в коммутативной алгебре, но я пока не понимаю, где именно. Если разберусь, то обещаю поделиться.
На мой взгляд, одним из самых интересных приложений теории Галуа являются дифференциальная и топологическая теория Галуа. Грубо говоря, там теория Галуа используется, чтобы описывать, когда определенные дифференциальные уравнения умеют решения, выразимые в элементарных функциях. Дальше, однако это снова чаще применяется к алгебраической теории чисел, а не к физики. Хотя вроде есть отдельные статьи, которые к чему ее только не применяли.
Еще в конце книжки Моранди я обнаружил интересное приложение к алгебраическое геометрии, когда строится трансцендентальное расширение алгебраических функций на многообразии. Но это скорее относится к расширениям полей, а не к теории Галуа конкретно. Поэтому я надеюсь рассказать про этот сюжет подробней, а одной из ближайших серий, посвященной элементарной алгебраической геометрии.
Что же касается абстрактный связностей Галуа, то я внезапно узнал, что их активно используют в такой прикладной науке как анализ формальных концептов. Там даже есть «основная теорема анализа формальных концептов», которая говорит что множество всех связностей Галуа для множеств подмножеств (где порядок устроен как включение) некоего множества X, это тоже самое, что множество бинарных отношений на множестве X. Это можно применить и к классической теории Галуа, потому что подрасширения — это подмножества исходного расширения. И классическое соответствие Галуа порождается бинарным отношением «а~б, если существует элемент в группе автоморфизмов, который переводит, а в б» (это эквивалентно тому, что, а и б имеют одинаковый минимальный полином над исходным полем).
Но классическое соответствие Галуа — это не совсем обычная связность Галуа. С одной стороны на ней есть структура, которая называется степенью, и она очень помогает доказывать замкнутость замкнутых объектов. Грубо говоря, объект в связности Галуа называется замкнутым, если он является неподвижной точкой монады и команды, соответствующих связности Галуа. В базовом курсе алгебры обычно рассматриваются только конечные расширения. И проблема, в том, что там все объекты замкнутые, поэтому этой концепции там не возникает. С другой стороны, именно благодаря этому факту можно легко доказывать замкнутость объектов из конечности их степени. Вообще бесконечная теория Галуа это уже чуть более сложная наука, чем то, что изучается в базовом курсе алгебре. Замкнутыми промежуточными расширениями становятся промежуточные расширения, которые сами являются расширениями Галуа, что достаточно очевидно. Но. довольно занятно, что замкнутыми подгруппами группы Галуа оказываются подгруппы действительно замкнутые в так называемой топологии Крулла. Тут мы уже встречаем топологическую теорию групп. К счастью это топология устроена довольно просто и получается если рассмотреть группу Галуа как подмножество степени расширения, взятого с дискретной топологией. С такой топологией группа Галуа будет профинитной, то есть ее можно получить как обратный предел конечных групп с дискретной. Вообще, есть занятная теорема, что любая профинитная группа является группой Галуа для какого-то расширения.
Другая тема, которая меня тут заинтересовала — это когомологии Галуа. Когомологии Галуа это такие когомологии групп, где группой выступает группа Галуа. Но для того, чтобы построить когомологии группы, нужно выбрать абелеву группу(обычно называемую модулем в этом контексте), на которую групп будет действовать автоморфизмами. Но для группы Галуа довольно удачно подходит расширение поля на которое она действуют, причем, и его можно и брать и с аддитивной и с мультипликативной структурой. У когомологий Галуа довольно много приложений. Например в теории Галуа есть так называемая теорема Гильберта 90. Она утверждает, что в циклическом расширении Галуа след элемента равен нулю (норма равна единице) тогда и только тогда, когда элемент представим в виде разницы (дроби) косого-то другого элемента и образа этого другого элемента под действием элемента группы Галуа, порождающего эту группу. А в когомологической формулировки это звучит так, что первые когомологии Галуа нулевые. Вроде бы стало проще. У когомологий Галуа есть еще много более продвинутых приложений. Например, вторые когомологии Галуа могут быть использованы для классификации полупрямых произведений групп, и так называемых перекрестных произведений алгебр. Но это уже скажем так алгебра для внутреннего круга настоящих алгебраистов. А так про когомологии Галуа пишут отдельные книги, например Берхуй или Сер. Кажется, что из этих книг можно много узнать и про когомологии профинитных групп вообще.
Еще одна важная тема это разрешимая. Тут очень основная теорем говорит, что многочлен разрешим в радикалах, если его Группа Галуа разрешима (в смысле существует башня нормальных подгрупп с абелевыми факторами). Отсюда вытекает знаменитая теорема Абеля-Руфини, которая говорит, что нельзя разрешить в радикалах произвольный многочлен пятой степени. Это вытекает из того, что группа S_5 cодержит нормальную простую некоммутативную подгруппу A_5. Но я уже писал, что меня не очень интересует разрешение конкретных уравнений в радикалах. Но тут более интересно, что Владимир Арнольд и Аскольд Хованский предложили топологическое доказательство этой теоремы, основанная на анализе группы монохромии комплексной плоскости с удаленными корнями уравнения в общем положении. Это привело к появлению топологической теории Галуа. Она определенно отличается от дифференциальной теории Галуа, но где-то с ней пересекается. но мне пока сложно описать это. Про топологическую теорию Галуа можно почитать самого Хованского, там есть более элементарная и более полная. А также я нашел еще вот эту книгу на близкую тему Тамаша Самуэля, где написано про схемы.
Изначально я писал, что я выбрал Романа из-за его интересного взгляда на историю теории Галуа. А именно то, что он начинает ее с Ньютона. Действительно, именно Ньютон начал изучать симметрические многочлены, и доказал теорему про выразимость любого симметрического многочлена из элементарных. Основной вклад Галуа заключался в том, что она начла пользоваться теорией групп, которой тогда не существовало, поэтому если конкретней, то он начал изучать перестановки корней уравнений. Как известно судьба Галуа сложилась трагически. Он очень страдал из-за того, что не мог поступить в ВУЗ. который хотел, École polytechnique. Как я понял, школы раньше были устроены так, что там не было конкретных классов, а ученики просто платили деньги, чтобы готовиться к вступительным экзаменам в ВУЗы. И кто был умный мог осваивать программу за один год, или за два года. И каждый год пытаться сдавать вступительный экзамен. Ну так вот, Галуа пытался несколько раз сдавать экзамен, но у него не получалось. И когда он написал свою статью про теорию Галуа, то ее тоже не приняли к публикации. Рецензировал ее вроде бы Лаплас, и Лаплас написал в рецензии, что мол очень интересно, но ничего не понятно. Поэтому можно предположить, что Галуа не просто погиб на Дуэли в возрасте 21 год, а совершил изощрённо спланированное самоубийство.
Но собственно вопрос о разрешении конкретных уравнений в радикалах, которым занимался Галуа, меня мало интересует. Поэтому просуммирую тут общее впечатление, которое на меня произвели учебники. Роман подкупает тем, что он пишет про связность Галуа, и он много пишет про конечные поля. Но я не уверен, что это углубление в конечные поля так уж полезно. И у Романа есть черта очень долго копаться в к каких-то элементарных вещах. Может быть для кого-то в этом есть польза, но я от такого метода подачи материала устал. Моранди же подкупает тем, что пишет про когомологии Галуа, и про алгебраическую геометрию. И он пишет чаще четко и по делу. Поэтому, признаюсь, что в какой-то момент я почти полностью переключился на его учебник. |
|
|
