Настроение:	working
Музыка:	Franz Liszt - Sonata in B minor, S. 178 - Claudio Arrau
Entry tags:	math

Новые Бурбаки Васюки

Цель этого проекта --- произвести на свет адекватные тексты для подготовки современных профессиональных (чистых) математиков.


1. Немного поучительной истории.
Два молодых преподавателя в Страсбургском университете обсуждают вопросы преподавания. Это Анри Картан, которому 29, и он преподает в Страсбурге с 1931, и Андре Вейль, который был назначен преподавателем в 1933 и ему 27. Год 1934, и в течение нескольких недель Картан спрашивает Вейля, как он будет преподавать различные аспекты дифференциального и интегрального исчисления. Вейль, как и Картан, недоволен рекомендованным текстом «Traité d'Analyse» Goursat'а и предлагает ему более эффективные способы введения различных понятий. Сегодня, однако, он приходит с новой идеей. «Давайте поговорим с нашими друзьями, когда мы в следующий раз поедем в Париж, --- предлагает Вейль, --- о написании нового учебника по анализу»...
... Вейль с энтузиазмом сделал свое амбициозное предложение, чтобы они стремились
... определить на 25 лет учебную программу для сертификата по дифференциальному и интегральному исчислению, написав коллективно трактат об анализе. Конечно, этот трактат будет максимально современным.
Другие участники групповой встречи в кафе Capoulade --- такие же энтузиасты, как и автор предложения. Они говорят о написании книги на 1000 страниц, которая будет издана в течение шести месяцев.

В 1960 Дьедонне с уже нескрываемым возмущением пишет в предисловии к восьмой главе первого тома своей книги Foundations of Modern Analysis:
Наконец, читатель вероятно заметит бросающееся в глаза отсутствие проверенной временем темы в курсах анализа, «интеграл Римана». Вполне можно подозревать, что, если бы не его престижное имя, он был бы давно отброшен, поскольку (с должным почтением к гению Римана) для любого работающего математика безусловно и совершенно ясно, что в настоящее время такая «теория» имеет в лучшем случае важность слегка интересного упражнения в общей теории меры и интегрирования (см. раздел 13.9, проблема 7). Только тупой консерватизм академической традиции смог заморозить его в регулярной части учебного плана намного позже того, как он пережил свое историческое значение ... Когда нужен более мощный инструмент, нет смысла останавливаться на полпути, и общая теория интегрирования («по Лебегу») (глава XIII) является единственным разумным ответом.

Наступил 2020 (если кто не заметил), а воз и ныне там. Ну, почти.

2. Независимый Московский Университет и Математический факультет Высшей Школы Экономики.
Это большой шаг вперед. Не имеет большого смысла петь вполне заслуженные дифирамбы: накопленные тексты, задачи и опыт уже оказывают большое влияние на стиль обучения математике, и это влияние станет вероятно еще значительнее в будущем.

Из недостатков перечислю лишь те, что имеют отношение к настоящему проекту. Это

• Предположение о некоем математическом background'е (экзамен Матшкольник*)
• Некоторая эклектичность, неполное согласование и разные "уровни современности" всего набора курсов в целом
• Отсутствие дальнейших попыток уйти от традиционных методов
• Чрезмерный объем листочков с задачами (Да-да! Поверьте, я сам вырос на листочках с задачами и испытываю к ним столь же нежные чувства, как и те французы, что начали эксплуатировать этот подход еще в 19-ом веке [ссылка???].)

Касательно первого, это как раз тот случай, когда многие знания несут многие печали: вместе с поверхностным знанием евклидовой геометрии, мы приобретаем еще и все дефекты школьного образования. Много чего годится вместо евклидовой геометрии для понимания как функционирует математика. Например, наивная теория множеств. Кроме того, начинать с чистого листа иногда намного эффективнее.
* Тривиум похож скорее на заплатку, призванную нивелировать разницу в математической подготовке различных студентов.
Независимый Университет традиционно ориентируется на выпускников матшкол. Это и благословение НМУ, и одновременно проклятие.
К тому же, нет никакой уверенности, что все матшколы обеспечивают этот тривиум качественно. Поэтому кажется более разумным на всякий случай изучить этот материал снова, как следует.

Касательно последнего, достаточно вспомнить как студенты старших курсов теряют былой энтузиазм, отчетливо присутствующий на первом и втором курсах. Тут уместно также вспомнить Ж.-П. Серра:
... сначала нужно отговорить людей заниматься математикой; не нужно слишком много математиков. Но если после этого они все еще настаивают на математике, то нужно действительно поощрять их и помогать им. (См. начало стр. 16; по ссылке от пользователя yy, уважаемого.)
Весьма разумный принцип: глупо производить на свет плохих математиков, их и так слишком много. Но даже с учетом принципа Серра, количество задач, сколько-нибудь отвлекающих от основной темы, должно быть минимальным. Невозможно отразить в задачах все довольно часто встречающиеся на практике аспекты данной темы, не стоит и пытаться. Но можно надеятся, что хорошо подготовленный студент сам преодолеет трудности встретившись с новой ситуацией.

3. Программы Миши Вербицкого.
http://imperium.lenin.ru/~verbit/MATH/programma.html
http://verbit.ru/Job/HSE/Curriculum/all.txt
[Несколько слов, в основном хороших.]

4. Собственно проект.

4.1. Минималистичность.
Тексты призваны составить самый минимум необходимый начинающему математику, своего рода ствол дерева, к которому уже не так сложно приделать ветви разной степени развесистости, создавая дополнительные тексты или же читая хорошие (или не очень хорошие) книги, без опасения "испортить" молодого математика.
Беллетристическая (историческая) часть текстов безусловно необходима. Однако соответствующие фрагменты можно вставить и позднее. (Здесь невозможно без улыбки вспоминать трагикомический фрагмент про Буля, содержащийся в лекциях Миши Вербицкого.)
Понятно также, что степень общности должна быть по возможности максимальной, если только она не усложняет существенно излагаемый материал. Допустимо при этом приводить доказательства как бы в частном случае и ссылаться на них впоследствии, замечая, что все дословно работает и в общем случае.
Максимально возможное число доказательств должно появляться в результате решения упражнений, снабженных подсказками в случае необходимости. Доказательства же в обычном смысле этого слова появляются в тексте лишь тогда, когда есть необходимость изложить новые идеи, плохо вписывающиеся в прокрустово ложе упражнений, или же в качестве образца (для подражания). С известной осторожностью разъясняются интуитивные аспекты: интуиция у разных математиков часто бывает разная, поэтому не стоит навязывать слишком подробное интуитивное понимание.
В принципе, тексты должны предусматривать заранее все, что может впоследствии понадобится. Все же иногда придется возвращаться к уже давно "готовым" текстам, чтобы вставить или отредактировать какую-то часть.

4.2. Никаких "лекций"
не предполагается. Абсолютно необходимы регулярные встречи (небольшой группы) студентов с квалифицированным математиком (можно, например, используя zoom, но вживую все же намного лучше). Перед встречей студент внимательно изучает соответствующий фрагмент текста и отмечает, что осталось неясным и какие упражнения вызвали непреодолимые трудности. Квалифицированный математик в свой черед тщательно проверяет, все ли было внимательно прочитано и адекватно воспринято. Поскольку встречи неформальны, на них неизбежно будут затрагиваться темы не содержащиеся в текстах. Здесь имеются некоторое соображения о возможных аспектах такого общения.

4.3. Разные замечания.
Выбор идиомы сильно меняет изложение материала на микроуровне, поэтому представляется естественным писать на заранее фиксированном языке. Мне удобнее на русском: так будет быстрее. Если получится что-то стоящее, перевод не составит проблемы.
Не стоит суеверно опасаться порочного круга (circulus vitiosus). Мы ведь знаем, что его нет, и следим, чтобы он не случился. А студент тоже не дурак: при необходимости сделает то же самое. Зато такой подход "развязывает руки".

4.4. Моя скромная роль
сводится к тому, что я сначала высказываю нечто, возможно глупое, затем стараюсь понять доводы, написанные здесь в комментариях, и соответственно редактирую пост или обсуждаемый текст. Если аргументы не убеждают, руководствуюсь своими вкусовыми рецепторами.
Разумеется, с этой задачей лучше справился бы Дима Каледин или Миша Вербицкий, но им и без того есть чем занятся. Вполне достаточно если они будут иногда участвовать в обсуждениях.

5. Первый семестр
подразумевает в большой степени взаимосвязанные тексты, которые следует изучать чуть ли не одновременно:
"Введение".
"Множества и алгебра". Как бывшему алгебраисту, мне лень писать алгебраическую часть, но это преодолимо.
"Общая топология". Написана примерно наполовину.
"Теория категорий". Имеется совершенно стандартный сыроватый текст, кажется на португальском, похожий (а так неизбежно получается, кто бы не писал) на, например, первую половину текстов Антона Фетисова. Здесь втайне надеюсь на помощь Димы Каледина.
"Метрическая топология". Текст написан частично. Сейчас трудно сказать, что именно попадет в первый семестр.
"Функциональный анализ". Здесь всего несколько страниц будет посвящено т.н. "Анализу одной вещественной переменной", и пусть аналисты меня зарежут, но перед этим объяснят, в чем я не прав.
"Подсказки" к упражнениям.

Столь малый объем проделанной в 2020 работы объясняется, разумеется, коронавирусом, точнее тем, что zoom-семинары съели все мое время. Ну и подопытные кролики студенты разбежались, вдруг обнаружив, что у них есть масса важных дел (видно кормятся не тем). Пока что они инкогнито, но всем им я искренне благодарен!