tiphareth: лекция 8: мера Хаара

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

tiphareth
2010-11-28 19:56 (ссылка)

Формализм формализмом, но что произведение конечного числа компактов
компакт есть реально самая трудная теорема базового курса "общей топологии"
(это без метризации, гейне-бореля, хопфа-ринова и т.д.).
То есть трудность здесь весьма фундаментальная, не целиком
вытекающая из аксиомы выбора и (судя по всему)
не исчерпывается выбором формализма.

Что до локалей и/или топосов, я бы с удовольствием
посмотрел на первокурсника, которого учат таким образом.
Интересный эксперимент же, никто не пробовал.

Но если считать, что сначала мы их учим таки нормальной
топологии, то локали уже не понадобятся, ибо два курса
общей топологии - явный перебор.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri_pavlov
2010-11-28 20:16 (ссылка)

Доказательство в книге Джонстона для локалей
действительно занудное, но я подозреваю, что это
из-за того, что Джонстон не развивает нормально
общую топологию, а доказывает отдельные нужные ему факты.

Учить первокурсников локалям затруднительно ввиду
отсутствия учебника общей топологии на языке локалей.
Впрочем, тогда надо и функциональный анализ, теорию меры,
алгебраическую геометрию на локали
переводить — таких учебников тоже ещё нет.

То есть сначала нужен новый Бурбаки, который догматично
заменит топологические пространства локалями,
напишет книги на этом языке,
а потом уже можно начинать писать учебники и учить студентов.

Я бы всё-таки не стал называть классические топологические
пространства «нормальной» топологией — ведь именно этот формализм
принуждает нас к теоретико-множественным извращениям
и не позволяет нормально доказывать семейственные и эквивариантные
версии теорем из общей топологии.
Термин «классическая общая топология» мне кажется более уместным.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2010-11-28 20:29 (ссылка)

>принуждает нас к теоретико-множественным извращениям

Ну, все-таки не настолько животрепещущий
вопрос, "общая топология" есть заплесневелый угол
математики, на который чем меньше обращать внимания,
тем лучше

То есть да, принуждает, но не настолько много, чтоб
приходилось нервничать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri_pavlov
2010-11-28 23:46 (ссылка)

Ну, не только общая топология, но и функциональный анализ (теорема Хана-Банаха, теорема Банаха-Алаоглу)
и алгебраическая геометрия (схемы, топология Зарицкого), например, тоже от неправильного формализма не выигрывают,
хотя теоремы можно сформулировать в любом случае.

Теория меры страдает сильнее всех — там даже основное
понятие измеримого пространства по этой причине неправильно определяют.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2010-11-29 00:25 (ссылка)

Ну, теорию меры какбе тоже больше одного раза не читают,
то есть это первый курс, начало второго на худой конец
(я исхожу из разумного предположения, что на интеграл Римана
мы забили, потому что суммы Дарбу это мутный бред, который
гораздо сложнее, чем интеграл Лебега). А рассказывать
локали на первом курсе как-то экстремально (хотя я бы
одобрил, ради эксперимента).

А что до топологии Зариского, я не видел ни одного человека,
который применял бы к ней какие-нибудь теоремы общей топологии.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri_pavlov
2010-11-29 00:37 (ссылка)

Интеграл Лебега, естественно, проще,
а Римана на мой взгляд вообще упоминать не надо.
Просто забавно наблюдать, как существующий
теоретико-множественный формализм мешает
даже нормально определить основную категорию
теории меры (хотя определять эту категорию
можно и с локалями, и с обычной теорией множеств).
Да и технически локали проще — например,
не нужны никакие конструкции отождествления
для избавления от множеств меры нуль.

По этой же причине в курсах теории меры
совершенно не говорят про морфизмы измеримых
пространств. Без понятия морфизма совершенно
невозможно понять условные математические
ожидания, которые являются ничем иным,
как семейством вероятностных мер на слоях морфизма.
В классическом изложении вместо этого
несут ахинею про под-сигма-алгебры,
интуитивный смысл которой понять нельзя.

К топологии Зарицкого общая топология, естественно, не применяется.
Просто там используется тот же формализм, и возникают те же эффекты вроде необходимости использовать лемму Цорна или аксиому выбора для доказательства даже
простых утверждений.
В формализме локалей ничего такого нет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2010-11-29 08:38 (ссылка)

//...Без понятия морфизма совершенно
невозможно понять условные математические
ожидания,

Воеводский начинал категорификацию

//... которые являются ничем иным,
как семейством вероятностных мер на слоях морфизма

слой морфизма?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri_pavlov
2010-11-29 14:49 (ссылка)

Тут категорификация не нужна, надо просто сформулировать
существующие достижения на нормальном языке категорий.

Слой морфизма в данной точке — прообраз этой точки.
(Это не совсем строго, но интуитивный смысл именно такой.)

(Ответить) (Уровень выше)

	sasha_a 2010-11-29 02:00 (ссылка)
	"Point set topology is a disease from which the human race will soon recover" --- Henri Poincare Так до сих пор в плесени и живем ... (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2010-11-28 20:33 (ссылка)
	//...не исчерпывается выбором формализма. это можно доказать только конструктивным доказательством энтропия этого процесса-"сложность проблемы" (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -