Я теорему Шевалле не знаю.

ясно, что данный идеал I не должен содержать экспонент e^\lambda t, т.к. они обратимы.

Если предположить изоморфизм между компл. числами и нашим факторкольцом, то эти экспоненты при таком изоморфизме соответствуют некоторым компл. числам и, значит, экспонента минус соотв. число лежит в идеале I. Это ключевой факт. Легко показать, что идеал I, строго меньший нашего кольца R и содержащий вышеупомянутые разности (хотя бы одну такую), не является простым.

Да, подумал и понял, что того, что я написал насчёт решения 1.8 -- явно недостаточно, всё-таки. Надо подумать.

Да, я условие задачи неверно понял, поэтому выше ерунду написал.

Моё мнение в данный момент такое, что такой идеал I не существует. Если бы он существовал, то был бы обязан содержать t-c для некот. константы с (т.к. фактор по нему должен быть расширением поля компл. чисел C).

Фактор по такому идеалу R/I мог бы рассматриваться как последовательная факторизация: A=C[t, e^\lambda t, \lambda \in Q]/(t-c) = С(e^\lambda t, \lambda \in Q) и теперь R/I= фактор A по некоторому максимальному идеалу J. (Само кольцо A не является полем).

Любой элемент такого J<A, грубо говоря, выглядит как (лорановский) многочлен от некоторой экспоненты. И, так как он в факторе A/J определяет нулевой элемент, то эта экспонента при факторизации отправляется в комплексное число (некоторый корень этого многочлена). А значит и все остальные экспоненты отправятся в комплексные числа. То есть, R/I=A/J=C.

Да, я сделал допущение, что наш макс. идеал I<R содержит многочлены от t, это позволило мне заключить, что на самом деле он содержит некоторый t-c. Не знаю, всегда ли это так, но в общем случае можно, сделав подходящую замену порождающих нашего кольца (заменить t на s=t*e^\lambda t для некоторого лямбда, а экспоненты оставить без изменения), считать, что он содержит многочлен (теперь уже от s) и повторить рассуждения выше. Тот факт, что А=R/(s-c) -- не поле, остаётся верным.

опять ерунду написал. такая замена не всегда работает. надо хорошенько всё-таки подумать.

да, то есть, неясно, как доказывать, если наш идеал I не содержит многочленов, а только комбинации многочленов и экспонент.

Попробую без утверждений просто предположить, что можно, например, применить голоморфную замену (или даже просто замену с помощью формальных степенных рядов), которая одну из функций в нашем идеале переводит в многочлен от t и применить то, что писалось ранее. Возможно, это сработает.