Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2015-03-16 08:19:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка: Drudkh - КРОВ У НАШИХ КРИНИЦЯХ
Entry tags:hse, math, mccme

требуют духовных скреп и обязательного клизьмования
Тем временем студенты выложили программу по математике
и предложения по реформированию матфака
:

http://vk.com/mathhse?w=wall-65080714_247

По мне, недостаточно радикально, но в качестве
первого шага к реформированию сойдет.

В списках рассылки уже кипят говна, преподаватели возмущаются
и требуют духовных скреп и обязательного клизьмования.

Самое хорошее вот.

Дорогие коллеги,

Очень радуюсь факту появления вашего письма и тому, что проблемы
бакалавриата выходят на обсуждение --- оно, безусловно, необходимо.

Думаю, что процесс обсуждения не может быть коротким, поэтому
прошу разрешения поделиться самым первым впечатлением --- для
начала дискуссии, вовсе не в качестве окончательного суждения.

Как вы знаете, я читаю курс третьеурсникам и старше (хотя изредка
приходят студенты и младше),
а на младших курсах веду семинар. Среди подписавших письмо и
составителей программы с удовольствием вижу нескольких слушателей моих
курсов и семинаров. Для них не будет, полагаю, болшим сюрпризом то,
что пишу дальше.

Из года в год вижу серьезную проблему:

СТУДЕНТЫ НАШЕГО ФАКУЛТЕТА СОВСЕМ НЕ ЗНАЮТ КЛАССИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Не вхожу в подробный разбор, ограничусь тремя конкретными примерами.

Вопрос 1: Найдите преобразование Фурье распределения Коши
(конкретно \int_R (\exp(i\lambda x) (1+x^2)^{-1}dx, \lambda
вещественно)

Вопрос 2. Сходится ли интеграл \int_R J_0^2(x) dx, где J_0 --
стандартная функция Бесселя?

Вопрос 3. Найдите асимптотику интеграла

\int_{-1}^1 \exp(ikx^2) dx

при k \to\infty.

Сколько времени вам нужно, чтобы ответить на эти вопросы?

Замечу, что первый --- совершенно стандартный,
второй --- просто детский, третий --- несложный и тоже стандартный,
при этом с ОЧЕНЬ важными
разветвлениями/обобщениями [за некоторые из которых Peter Debye
получил нобелевскую премию по...химии].

И если первый требует, скажем, трех строк вычисления, то второй и
третий решаются одной строкой на двоих.

Из составленной вами программы классический анализ исключен вовсе.
Мейду тем, знать его необходимо математику, работающему в самых
разных областях.

Про дифференциальные уравнения. Когда готовился читать их на мехмате
6 лет тому назад, советовался с коллегами, в частности, с Юрием Чинкелем, бывшим
тогда деканом математического факультета NYU и занимавшим одновременно
кафедру Гауссa в Геттингене.

http://de.wikipedia.org/wiki/Yuri_Tschinkel

Его комментарий о курсе в стиле Арнолда (с акцентом на
качественную теорию, рисование фазовых портретов и т. п.)
я не буду здесь приводить, а перейду к его совету
мне как лектору (по памяти):

------
Идеальный современный курс дифференциальных уравнией --- это
"bag of tricks". Работаюсчий математик постоянно встречается с некоторыми
совершенно конкретными обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Их он должен уметь решать и хорошо знать.

Какие ето конкретные уравнения? Как минимум, я назвал бы
гипергеометрическое, Бесселя, уравнения типа Штурма-Лиувилля,
приводящие к классическим ортогональным многочленам.

Курс анализа --- традиционно слабое место Независимого. Ето связано,
думаю, среди прочего, и с тем, что, до появления матфака, студенты
НМУ, в большинстве своем, параллельно учились на мехмате (реже --на
физтехе/других факультетах МГУ/МГТУ/другое). Курс анализа на мехмате
имеет много недостатков, но изучение конкретных важных примеров и
методов в нем обычно есть. В НМУ этого не было и нет.

Где и когда, по вашему мнению, дорогие коллеги, должны студенты
матфака познакомиться с обьектами и техникой классического анализа, с
которыми математик живет потом всю свою жизнь?

* * *

(я убрал подпись и перевел в кириллицу; все ошибки мои).

Не удержусь пожалуй, и воспроизведу мой ответ на письмо коллеги.

> STUDENTY NASHEGO FAKULTETA SOVSEM NE ZNAJUT KLASSICHESKOGO ANALIZA.

Молодцы! Правильно делают, надо беречь мозги.

Также они не знают соотношений Адема и классификации
йордановых алгебр, а это не менее важные предметы, 
хотя тоже экзотические. Все факты выучить невозможно, но надо
хорошо владеть парадигмами, позволяющими быстро осваивать
экзотику, если понадобится.

> Ne vhozhu v podrobnyj razbor, ogranichus' tremja konkretnymi primerami.
>
> Vopros 1: Najdite preobrazovanie Fourier raspredelenija Cauchy. (konkretno
> \int_R (\exp(i\lambda x) (1+x^2)^{-1}dx, \lambda veschestvenno).
>
> Vopros 2. Shoditsja li integral \int_R J_0^2(x) dx, gde J_0 --
> standartnaja funktsija Besselja?
>
> Vopros 3. Najdite asimptotiku integrala
>
> \int_{-1}^1 \exp(ikx^2) dx

А зачем это нужно знать? Я не разу не видел, чтобы
в нормальной математической статье (в архиве.орг, 
например) упоминались функции Бесселя. И не уверен, 
что знаю того, кто их видел. 

Такие статьи, конечно, бывают, но применимость функций
Бесселя не шире, чем применимость каких-нибудь
луп Муфанг, которых никто в программу не включает.

(Классический) анализ - изолированная,
весьма узкая и лишенная применений наука, которая 
кроме выдающегося индекса взаимоцитирования, и обилия
статей с названиями "об одном свойстве дифференциального
уравнения", ничем особенно не замечательна.
По-моему, из всего [классического] анализа математику надо знать только
главы Зорича, помеченные звездочкой (там страниц 100), 
все остальное если и понадобится (что маловероятно), 
всегда можно на месте подучить.

Нужно преподавать такие вещи, без которых невозможно
понимать большое число математических наук, а такие вещи,
без которых можно обойтись, нужно выкинуть из программы,
там и так слишком много всего.

Конечно, если студенту придется ехать в Нигерию,
где математиков примерно столько, сколько во Франции,
и (почти) все занимаются классическим анализом, классический
анализ необходимо выучить заранее. Но мы не в Нигерии. 

Такие дела
Миша


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2015-03-16 20:48 (ссылка)
>А почему ты думаешь, что обобщенных функций никто не осваивает никогда?

Это эмпирический факт. Я за то, чтобы их читать. Но на втором курсе рано,
боюсь.

>Можно всё в тор, конечно, завернуть, и ряды смотреть, но, по-моему, проще >не заворачивать

С тором все гораздо проще: разложение в ряд Фурье есть
разложение по ортонормированному базису. Подобной простой
интерпретации у п.Ф./R нет. Разница на самом деле колоссальная,
одно можно школьнику рассказать, другое без жульничества в принципе
не делается, и нужно половина программы саймона-рида, чтобы
по человечески его сделать.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-16 20:59 (ссылка)
Ну может если про банаховы и гильбертовы пространства рассказать на первом курсе, то на втором и обобщенные функции можно? Я ничего не знаю на самом деле про то, как это педагогически выглядит и как студенты это будут воспринимать, я сам не помню, когда я выучил, что такое обобщенная функция.

В любом случае, утверждение что преобразование фурье переводит дифференцирование в умножение на координату это дико важная штука.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-03-16 23:05 (ссылка)
>то на втором и обобщенные функции можно?

я лично за
но это потребует более глубоких реформ
(то есть дифференциальные формы и теорему Стокса
надо в любом случае минимум за полгода
до обобщенных функций, иначе непонятно,
например, как их дифференцировать; значит,
надо рассказать дифференциальные формы в конце
первого курса; это возможно, но трудно и
на практике неосуществомо)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-16 23:56 (ссылка)
ну можно сначала на прямой рассказать.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-16 21:04 (ссылка)
Мне казалось, что аргумент с тем, что, когда длина окружности стремится к бесконечности, ряд фурье переходит в преобразование фурье, не так сложно довести до строгого.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-03-16 23:00 (ссылка)
ни разу не видел подобного

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-17 00:40 (ссылка)
Его можно из L^2 от прямой в L^2 определить, а это уже довольно много.

Пусть f сначала с компактным носителем и два раза гладкая. Тогда её преобразование фурье асимптотически меньше чем 1/(1+x^2) и, значит, лежит в L^2.

Если носитель у f лежит в [-N\pi,N\pi], то можно её продолжить до периодической с таким периодом и разложить в ряд фурье. Формула планшереля говорит, что квадрат L^2 нормы f это 2N\pi на сумму квадратов модулей коэффициентов фурье (коэффициенты занумерованы целыми числами, деленными на N). А коэффициенты фурье равны значениям преобразования фурье в целых точках, деленных на N. Поэтому эта сумма - это интегральная сумма для квадрата модуля преобразования фурье, которая стремится к интегралу и не зависит от N.

То есть преобразование фурье это изометрия. Поэтому его можно замкнуть и продолжить с гладких функций с компактным носителем на всё L^2.

Собственно, у нас это на втором курсе было: http://vyshka.math.ru/pspdf/1112/calculus-2/lecture5.pdf

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2015-03-17 03:48 (ссылка)
> http://vyshka.math.ru/pspdf/1112/calculus-2/lecture5.pdf

по-моему, это адский пиздец, столько формул на погонный
метр текста неприлично вообще

на мехмате это дело часто лучше читали, но всегда в том же стиле

и доказательства предельного перехода я там, кстати,
не усмотрел

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-17 04:21 (ссылка)
интегральная сумма стремится к интегралу, потому что она интегральная сумма, а то, что она не по отрезку, а по всей прямой, не страшно, потому что в дополнении до отрезка её интеграл меньше эпсилон. в чём проблема?

И странная претензия к количеству формул - они там тривиальности все, кроме двух-трех, они там просто для удобства, чтобы перед глазами были. Можно убрать, получится текст как в этом и предыдущем комменте, вообще не пиздец.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-22 18:44 (ссылка)
Ну то есть я в упор не вижу, где тут мехмат-стайл, это реально очень короткое изложение, я вот смотрю в Зорича, там это раз в 10 длиннее и непонятнее.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]maniga
2015-03-17 15:26 (ссылка)
> продолжить с гладких функций с компактным носителем на всё L^2

а зачем гладких?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]gregoryschwabzh.livejournal.com
2015-03-17 15:38 (ссылка)
чтобы всё убывало как надо, преобразование фурье переводит производную в умножение на x, поэтому, чем больше раз функция (с компактным носителем например) дифференцируема, тем быстрее убывает её преобразование фурье.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]los
2015-03-16 21:11 (ссылка)
>С тором все гораздо проще: разложение в ряд Фурье есть
разложение по ортонормированному базису. Подобной простой
интерпретации у п.Ф./R нет.

!!!

(Ответить) (Уровень выше)


[info]rampant_mouse
2015-03-24 05:05 (ссылка)
И на торе и на прямой разложение по характерам соответствующей группы. Вроде понятная интерпретация. Только, конечно, прямая некомпактна, вот посложнее и получается... И обратное преобразование тут тоже логично возникает

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -