tiphareth: метрические пространства, лекция 3

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

kaledin
2016-03-07 03:21 (ссылка)

>но "категория векторных пространств", например, не малая категория

Ты имеешь в виду "конечномерных". Да, это не малая категория; и это действительно принятая вольность речи -- считать категорию, эквивалентную малой, малой (если ты не Дринфельд, который и этого не позволяет себе). Но только это. Шаг вправо, шаг влево, уже обговаривают.

Я бы в самом начале сказал, что рассматриваем только пр-ва со счетной базой, и в этом месте сделал ремарку, что вот мол выглядит как класс, но на самом деле множество. Но воля твоя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2016-03-07 03:34 (ссылка)

ну, сепарабельные пространства все в гильбертовом кирпиче лежат, так что можно просто его подмножества рассматривать. у метрических пространств счетная база совпадает вроде с сепарабельностью (в каждом U возьмем точку, вокруг каждой точки возьмем рациональные шары) ?

(Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2016-03-07 04:16 (ссылка)

> что рассматриваем только пр-ва со счетной базой

в популярном введении, думаю, это только утяжелит, потому что там
и других деталей нет (заховано под ковер потому что)
в основном тексте - само собой, конечно

(Ответить) (Уровень выше)

	tiphareth 2016-03-07 04:18 (ссылка)
	у меня там в начале лекции дисклаймер, что никакой строгости не будет, а основной текст от введения независим, и желающие строгости могут пропустить (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2016-03-07 04:39 (ссылка)
	Дело твое. Я бы за такое конечно гнал с волчьим билетом, примерно как за " наглядную топологию без доказательств" на первом курсе НМУ. Но хозяин барин. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-03-07 04:54 (ссылка)

ну, если ты везде пишешь "малая категория, эквивалентная категории векторных пространств",
почему бы и нет

а так, ты сам имеешь тот же волчий билет, который себе выписал

впрочем, обсуждаемый текст ("лекция 1") заявлен как "популярная
лекция, независимая от остального текста", так что я вправе
не писать про малые категории и универсумы, даже если б у меня было
правило про них писать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2016-03-07 04:59 (ссылка)
	Я-то знаю чего я пишу, а чего нет, а тебе просто лень. Тебе нравится грязь по-видимому. Ну дело твое, я-то что. Одним грязь, другим геометрическая интуиция. Каждому свое. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-03-07 05:20 (ссылка)

> Тебе нравится грязь по-видимому.

просто (а) эмпирически выяснено, что
студенты игнорируют все предостережения про "классы"
и "малые категории", так что можно не упоминать их, даже там, где
следовало бы и (б) в громовской науке в основном приходится работать
со пополнениями счетных пространств, так что смысла тратить время
на "малые категории" и "универсум" смысла точно нет.

можно с самого начала оговорить про то, что у нас всюду пополнения
счетных пространств, но утверждение, которое я там делаю, в этом
совершенно не нуждается (а нуждается, если нужен педантизм,
в замене слова "множество" на "класс" в одном месте; поскольку
целевая аудитория все равно не знает, что это, я не старался)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2016-03-07 05:49 (ссылка)
	Просто когда это просто предостережение, то оно выглядит идиотским педантством. А когда вот он, наглядно видимый потенциально рекурсивный объект, тогда другое дело. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-03-07 06:21 (ссылка)

>наглядно видимый потенциально рекурсивный объект

не очень рекурсивный: пространство всех компактов не
компактно, а в основном интересно именно оно.

но в принципе - да, можно его получить, но надо ограничить мощность
твоего метрического пространства (точнее, плотного подмножества в нем).
Громовское пространство, классифицирующее эти метрические пространства,
имеет бОльшую мощность.

Можно взять объединение
всех громовских пространств для всех мощностей, оно вполне хорошее метрическое пространство,
но не множество, а класс. Картинка примерно как с ординалами:
объединение всех ординалов само по себе ординал, но не множество, а класс.
Собственно, здесь все как с ординалами: множество классов эквивалентностей
ординалов ординал, множество классов эквивалентности полных метрических
пространств - полное метрическое пространство.

Но как и с ординалами, я не вижу внятной (и не откровенно педантской)
формулировки, которую тут можно навесить. Тратить полстраницы на объяснение,
что такое класс, в "легком и популярном" введении неуместно (в самом тексте -
вполне уместно).

(Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2016-03-07 04:29 (ссылка)

>Ты имеешь в виду "конечномерных"

Или "векторных пространств мощности меньше, чем мощность универсума".
Причем "строгость" там чисто иллюзорная, ибо аксиома универсума влечет непротиворечивость ZFC
и целой кучи вещей, то есть она избыточно сложная, и по факту уменьшает строгость, а не увеличивает
(потому что любая инвокация излишне сильной аксиомы грозит дополнительным геморроем, когда
окажется, что эта аксима приводит к парадоксам).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-03-07 04:42 (ссылка)

>ибо аксиома универсума

В современном мире ее стараются избегать. Я по крайней мере если вижу в тексте универсумы, отношусь настороженно.

Аксиоматика Цермело-Френкеля кстати устаревшее фуфло. Ее было заменили на нормальную, Геделя-Бернайса, с классами, но почему-то пошло вспять. Википедия пишет, что из-за форсинга (который по-нормальному надо все равно понимать через топосы, но пойди логикам объясни).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-03-07 04:57 (ссылка)

> Я по крайней мере если вижу в тексте универсумы, отношусь настороженно.

ну правильно, у тебя все группы конечные, в крайнем случае счетные
а если хочется говорить про категорию бесконечномерных пространств,
без универсума не обходятся

но если студенты слабые, надо забить на универсумы и
теоретико-множественные парадоксы в целом, как забивают
на аксиому выбора, потому что они все равно ничего не уловят
из рассуждений про малые категории, неоднократно проверял

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-03-07 05:03 (ссылка)

>а если хочется говорить про категорию бесконечномерных пространств, без универсума не обходятся

Разумеется обходятся, она нафиг не нужна. Вот если хочется говорить про категорию функторов из бесконечномерных пр-в куда-нибудь, тогда да. Но это на практике не бывает нужно вообще никогда (функторов из бесконечномерных пространств слишком много, произвольный такой функтор -- вещь ненужная, и то, что они не образуют категории, ничему не мешает).

Твое множество элемент себя или нет? Как написано, элемент вообще-то, и только очень слабый студент этого не заметит. Тебе не кажется, что следовало бы объяснить?

Впрочем, ок, что это я, в самом деле.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-03-07 05:12 (ссылка)

> Тебе не кажется, что следовало бы объяснить?

не в популярном тексте, где у меня заявлено "нестрогое введение"
там надо скорее было сказать "множество классов эквивалентности",
но мне не хотелось утяжелять

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-03-07 05:53 (ссылка)

Ну одно дело наводить строгость там, где никто и не заметил бы -- а другое дело рассказывать, что можно все метрические пространства рассмотреть как тоже метрическое пространство. Человеку, который не видит, насколько это красиво, нефига это и рассказывать; плохих студентов и так в мире перепроизводство. А от того, который видит, глупо скрывать правду (что он сразу же и заметит).

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -