то есть, скалярное произведение оператора на вектор из векторного пространства, отличается от скалярного произведения двух векторов векторного пространства. Чему может быть равно скалярное произведение оператора на вектор. Какое соответствие может нам дать такое скалярное произведение, "чувак"?

"скалярное роизведение" даже по своему названию производит скаляр

вообще, формально, скалярное произведение - это
всего лишь положительно определенная симметрическая билинейная форма на векторном пространстве
k: VxV->R
каждой упорядоченной паре векторов из V ставит в соответствие число (скаляр)

про скалярное произведение вектора на оператор никогда не слышал и не знаю что это такое

моожно говорить о произведении вектора и матрицы
или о действии оператора на вектор

но причём здесь это? такую цепочку вопросы и ответов можно продолжать бесконечно. это абсолютное пустое занятие. если бы ты знал алгебру хотя бы на уровне первого симестра мехмата, у тебя бы возникали более содержателньые вопросы.

>про скалярное произведение вектора на оператор никогда не слышал и не используется в "Лемма Хаара", например.

и что? где там "скалярное умножение вектора на оператор"?