tiphareth: двойственно по Пуанкаре пересечению многообразий

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

tiphareth
2018-06-11 12:28 (ссылка)

>В других же местах от кубов не станет проще, а даже сложнее.

так надо сразу же доказать, что через кубы и через симплексы
получаются одни и те же сингулярные когомологии, это 20 минут

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

ab7a
2018-06-11 17:27 (ссылка)

В этом месте поди будет точно такая же проблема.

Придумать отображение между комплексами несложно. Проверять, что оно
(квази)изоморфизм --- опять полезут злоебучие индексы и знаки,
и ничего понятно не будет.

Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего
этого избежать:
http://www.jstor.org/stable/2372628

Там всё довольно просто, но такое нет смысла "сразу же доказывать",
потому что хоть и просто, но не тривиально, а профита с кубов
практически ноль.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-11 17:31 (ссылка)

>Эйленберг и Маклейн используют ациклические модели, чтобы всего этого избежать

Но чтобы применить такое к кубам, если я не сошел с ума, надо сначала определить категорию кубов. А у нее ни одного внятного определения нет, все случайные и ад хок.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

ab7a
2018-06-11 20:54 (ссылка)

Речь про древнюю "теорему об ациклических моделях". Там в конечном
счете берутся функторы F_*, G_* из категории топологических
пространств в цепные комплексы, и если они удовлетворяют некоторому
свойству относительно стягиваемых пространств, то можно по индукции
продолжать цепные отображения F_i (X) --> G_i (X) на старшие
размерности, и все эти продолжения гомотопные.

Это примерно как продолжение морфизма на резольвенты.

Для функтора сингулярных симплексов и функтора сингулярных кубов
просто руками проверяется, что они удовлетворяют условиям теоремы.

На этом уровне это просто такой способ не писать комбинаторные
формулы с индексами сразу во всех размерностях, а ограничиваться
нулевой и первой.

Кстати, Масси делает ровно то же самое, чтобы доказать изоморфизм
C (X × Y) = C (X) ⊗ C (Y) в кубическом случае. Т.е. отображение
конечно записывается формулой, которая чуть-чуть проще
шаффл-произведения, но нужно еще доказать, что оно изоморфизм.

(Кому вдруг интересно, это GTM 127, Chapter XI, Section 4,5.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-11 21:26 (ссылка)

>и если они удовлетворяют некоторому свойству относительно стягиваемых пространств

Ну да, но это надо проверять. В принципе, могла бы быть теорема, что если есть "хорошая" подкатегория A категории Top, все объекты ее стягиваемые, и дан "хороший" функтор из A в ацикличные комплексы, то он стандартным образом порождает гомологии. Но для кубов надо как минимум определить эту A, т.е. сказать, какие морфизмы берем. Ответ от этого вроде зависит.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

grigori
2018-06-11 22:57 (ссылка)

вроде как написано в википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Acyclic_model
это свойство это то, что сингулярные когомологии куба (топологического) нулевые.
Я правда не понимаю второго условия про то, что F_k has a basis in M_k и читаю его так, что кубический сингулярный комплекс это просто комплекс свободных модулей натянутых на некоторые морфизмы (собственно невырожденные сингулярные кубы), я один раз слышал доказательство, там вроде бы именно это нужно было

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2018-06-11 23:32 (ссылка)
	Нет, там функтор сразу определен на всех топ. пространствах. Я имел в виду, что иногда его и определять достаточно на чем-то существенно меньшем (например, на \Delta). (Ответить) (Уровень выше)

	ab7a 2018-06-11 21:26 (ссылка)
	Т.е. по уму теорема Эйленберга-Зильбера она про симплициальные множества, но дедовскими методами можно и так. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2018-06-11 22:13 (ссылка)

Вменяемый компромисс это перейти к (би)симплициальным множествам, а там теорема становится буквально утверждением о том, что все резольвенты одного и того же -- в категории бисимплициальных абелевых групп -- квазиизоморфны (без явного вида квазиизоморфима). Но с кубами такое не прокатит я думаю.

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -