tiphareth: компиляция последних данных по смертности от ковида

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

sometimes
2020-09-04 15:40 (ссылка)

А зачем в нее "верить", это ж просто модель. Типа, раньше все делали из натуральных чисел, во славу Леопольда Кронекера, но некоторые вещи
делать из натуральных чисел откровенно неудобно (неабелевы группы, например, или топологические пространства). А тут подвернулся Кантор, и придумали модель на этаж более нижнего уровня, из которой можно сделать натуральные числа тоже.

Часто ли в математике за пределы континуальной мощности приходится залезать? Не когда нужно определить "все на свете", типа большой категории, а при работе с конкретными вещами?

Теория множеств, мне кажется, это просто раздел логики (ну, типа, чтобы можно было говорить не только о числах, но и о произвольных функциях N -> N).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2020-09-06 07:46 (ссылка)

Большую категорию надо не определять, а аксиоматизировать. Я не один так думаю, вот например Картье (к которому я вообще-то без любви, но тут он дело говорит):

Senechal: Bourbaki's last publication was in 1983. Why doesn't it publish anything now?

Cartier: There are several reasons for that. [...]

In accordance with Hubert's views, set theory was thought by Bourbaki to provide that badly needed general framework. If you need some logical foundations, categories are a more flexible tool than set theory. The point is that categories offer both a general philosophical foundation—that is the encyclopedic, or taxonomic part—and a very efficient mathematical tool, to be used in mathematical situations. That set theory and structures are, by contrast, more rigid can be seen by reading the final chapter in Bourbaki set theory, with a monstrous endeavor to formulate categories without categories.

Грубо говоря, что любой полный строгий существенно сюрьективный функтор есть эквивалентность (т.е. обратим) очевидно, а аксиома выбора для классов сомнительна. Хотя формально говоря, это строго одно и то же. Дело примерно в том, что обратный к эквивалентности единственный, с точностью до единственного изомоморфизма. Поэтому выбора не то, чтобы нет, но он уже посчитан и учтен.

Кантор не то, чтобы был такой умный придумал множества. Его главная идея была в том, что можно рассматривать множества *без какой-либо дополнительной структуры вообще* -- в то время как реально работающие математики работали с "пространствами", потому что, казалось, что рассматривать большие множества без чего-то типа топологии стремно. Ну и правильно, действительно стремно же! Конечно, все равно приходится, потому что "пространство" еще хуже, но радости в этом никакой нет. По факту же, как мы теперь знаем, "все группы" или что там еще образуют не множество, а категорию, работать с ними нужно "с точностью до изоморфизма", и основания давно пора переписать соответствующим образом.

Забавно, что сейчас временный перевес в борьбе за основания опять за дебилами-американцами, конкретно за "американскими топологами", а они так ничего не забыли и ничему не научились, возвращаются на ту же блевотину, и снова верят в "пространства" (всерьез пеняя Гротендику, например, что тот так и "не осознал", что надо работать "с точностью до гомотопии"). Если бы Бурбаки в 60-е набрались сил, выкинули теорию множеств на помойку, и переписали все с нуля на нормальных категорных основаниях, этой проблемы не было бы. Ну да что уж теперь.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

sometimes
2020-09-06 10:00 (ссылка)

У choice же есть вполне себе "малые" "применения", не только про выбор изоморфизма: что спектр кольца не пуст, что отрезок не является объединением счетного семейства нигде неплотных, что произведение семейства компактов компакт, что существуют неглавные ультрафильтры и асимптотические конусы на группах (а не только бессмысленные "несуществующие на самом деле" образования вроде разрезания сферы на две таких же, множества Витали или базиса Гамеля).

Как это объехать без choice (и, соответственно, без голых точек, на которые надевается структура - что в контексте более существенно)?

На комментарий про функан, чтобы два раза не вставать: не знаю про банаховы, но есть Фреше, они вполне осмысленные, типа, все функциональные пространства такие; или там распределения, которые ещё более nuclear.
А, ещё, вспомнил, теорема Гельфанда-Торнхейма про то, что не бывает нормированных полей над C, через теорему Хана-Банаха доказывается, кажется (правда, там не надо полноты, достаточно наличия нормы).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2020-09-06 18:16 (ссылка)

Это не то. Ты мне говоришь, что разумные пространства Фреше в природе бывают. Кто бы сомневался. Банаховы тоже бывают. Но это не значит, что само понятие разумно. Определение разумно, если про определяемый обьект потом можно построить теорию (т.е. доказать сколько-то взаимосвязанных теорем, причем именно в той общности, в которой определение). А здесь не так: теория есть, но весьма куцая, куда более куцая, чем заявленные понты. И когда люди этого не понимают, и начинают изборетать "банаховы многообразия" и прочую подобную лабуду, получается черт-те что.

С аксиомой выбора для множеств я не вижу никаких проблем. Все множества проективны, ну и ок. Хотя рассматривать несчетные множества без топологии все-таки глупо, если можно не, лучше не.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2020-09-06 18:41 (ссылка)

> Определение разумно, если про определяемый обьект потом
> можно построить теорию

глупая точка зрения. Про группы (цитирую Громова)
известно, что любое общее утверждение либо тривиально,
либо имеет очень сложный и неинтересный контрпример.
Из этого никак не следует, что само понятие группы
дурацкое. Eсли наложить осмысленные ограничения
(группа Ли, групповая схема, whatever), получаются
очень красивые теории.

То же и с банаховыми пространствами, сами они,
как и абстрактные группы, неинтересные, но есть
масса интересных теорий, которые получаются,
если наложить еще условия, типа C^*-алгебр,

Например, коммутативная банахова C^*-алгебра
это алгебра непрерывных функций на компакте, и
соответствующие категории эквививалентны.
Это утверждение ("теорема Гельфанда-Наймарка")
донельзя содержательное.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2020-09-06 18:48 (ссылка)
	>Это утверждение единственное во всей теории, и ему 80 лет. Причем все его реальное содержание чисто алгебраическое, и этому наблюдению 70 лет. Какое старье тухлое, право слово. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2020-09-06 19:12 (ссылка)

не единственное, есть его аналог, который
позволяет интерпретировать пространства Штейна
как алгебры Фреше с дополнительными структурами
(алгебры Аренса-Майкла), там очень интересная наука с массой применений
https://www.math.uwaterloo.ca/~banalg20/Talks/pirkovskii.pdf
(ну и дофига еще есть, конечно)

все это связано с тем, что алгебра голоморфных
функций, ограниченных на компакте - банахова, и
есть масса применений общей науки про банаховы
пространства (базисы Шаудера, вот это все) к
комплексному анализу

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2020-09-06 20:09 (ссылка)

>очень интересная наука с массой применений

Ни одного применения в докладе я не нашел. Да и теоремы все какие-то на уровне sanity check.

В целом, кто-то наверно должен этим заниматься, ну просто чтоб было, но одного человека вполне хватит (например того, которого ты цитируешь).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2020-09-06 20:40 (ссылка)

вот у меня применения
Embedding of LCK manifolds with potential into Hopf
manifolds using Riesz-Schauder theorem
https://arxiv.org/abs/1702.00985

An locally conformally Kahler (LCK) manifold with
potential is a complex manifold with a cover which
admits an automorphic Kahler potential. An LCK
manifold with potential can be embedded to a Hopf
manifold, if its dimension is at least 3. We give a
functional-analytic proof of this result based on
Riesz-Schauder theorem and Montel theorem. We give an
alternative argument for complex surfaces, deducing
embedding theorem from the Spherical Shell
Conjecture.

у Пирковского, естественно, применений нет, он не геометр
но в комплексном анализе оно используется постоянно,
потому что теорема Монтеля это теорема о банаховых
пространствах на самом деле.

Nаиболее внятная
ее формулировка такая: пусть A\subset B
два компакта в комплексном многообразии,
причем A лежит во внутренности B,
C_A, C_B алгебры голоморфных
функций, ограниченных на A, B,
с нормой максимума на A, B.
Тогда отображение ограничения
из C_B в C_A - компактный оператор.

именно эту версию использовал Гротендик,
когда доказывал, что когомологии когерентных
пучков конечномерные (он там походу "монтелевские
пучки" изобрел, весь аргумент - чисто банахова
алгебра).

A sheaf of Abelian groups F over a locally compact topological space X is called
a Fre'chet-Montel sheaf (cf. [4]) if the following conditions are satisfied:

(a) for every open set U c X the group of sections F(U; F) is a Frechet topo-
logical vector space;

(b) for any two open sets V c U in X the restriction map F(U; F) -* F(V; F)
is linear and continuous, and completely continuous when V is relatively compact

in U.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2020-09-06 21:10 (ссылка)
	>именно эту версию использовал Гротендик, когда доказывал, что когомологии когерентных пучков конечномерные Ну все-таки это тоже было очень давно. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2020-09-06 21:47 (ссылка)
	а комплексный анализ как самостоятельная наука помер примерно тогда же сейчас это просто набор методов, применяемых в геометрии (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2020-09-07 00:26 (ссылка)
	Что не особо хорошо, вообще-то. Лучше бы таки понять, почему Калаби-Яу. Но что делать. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2020-09-07 00:57 (ссылка)
	к этому идет но там комплексного анализа не то чтобы сильно много (Ответить) (Уровень выше)

sometimes
2020-09-06 19:49 (ссылка)

> Все множества проективны, ну и ок.
Я не совсем это говорю, нет проблемы со свойствами морфизмов в категории Set (наличие сечения), есть проблема в том, что кольца приходится делать из множеств (то есть уже теория колец и проч. вкладывается в теорию множеств, и вуаля). Я видел на mathoverflow такого рода, например, ответ: а нефиг рассматривать кольца, в которых нельзя построить все идеалы руками. По-моему это чрезмерный максимализм, например, нужно отказаться от рассмотрения кольца гладких функций на некомпактном многообразии (ну и вообще не уверен, что в таких узких рамках будет удобно).

Про "банаховы многообразия" я совсем не знаю; знаю, что когда-то давно хотели "группы и алгебры токов" запихнуть в некий генеральный сеттинг аналогов бесконечномерных гладких многообразий (в связи с физикой), но не знаю, насколько преуспели.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2020-09-06 20:18 (ссылка)

>нужно отказаться от рассмотрения кольца гладких функций на некомпактном многообразии

Это сколько угодно, хоть бы даже и на компактном (рассматривать его как просто кольцо все равно чрезвычайно глупо). Проблема в том, что тогда нужно отказаться и от нетеровых колец, а это уже не годится, конечно.

При этом коммутативная алгебра это наука не замкнутая, и по-человечески она не строится. Факт в принципе хорошо известный и задокументированный. Но здесь уж делать нечего, пишем на том, что есть.

А так-то, ну, ничего плохого в том, чтобы что-то строить из множеств, я не вижу, бывает даже очень изящно. Знаешь же современное определение компактного хаусдорфова топ. пространства, через codensity comonad? Берешь вложение конечных множеств во все, берешь его правое расширение Кана, получаешь эндофунктор всех множеств, который еще и комонада (в явном виде, множество переходит в множество ультрафильтров на нем). Коалгебры это компактные хаусдорфовы пространства и есть.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2020-09-06 21:12 (ссылка)
	Только вру -- не комонада, а монада (и соотв. алгебра, а не коалгебра). (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	sometimes 2020-09-06 21:41 (ссылка)
	Вроде да, отображение множества в ультрафильтры это монада. (Ответить) (Уровень выше)

sometimes
2020-09-06 21:40 (ссылка)

> Знаешь же
Не знал, сейчас разбираюсь (только вроде монада, если рассматривать не Set^{op}, а не комонада, и алгебра над ней).

Кстати, мне всегда определение топ. пространства казалось загадочным - собственно, исток этой загадочности в определении непрерывности на R (откуда и происходит, видимо, "категория открытых множеств"). То есть не то чтобы даже загадочным, определение непрерывности через пределы было "технический трюк, чтобы построить осмысленные морфизмы на кусках R^n", а то, что оно эквивалентно определению через открытые множества - некоторое волшебство.

Возвращаясь к proof verification, тогда я не понимаю, если мы строим из множеств, в чем проблема формальной проверки на корректность через ZF (а C никаких новых противоречий не добавит, как как раз Гедель нам и объяснил; кстати, если все ультрафильтры главные, в отсутствие C, конструкция ломается). Выбираем одно из стандартных вложений изучаемой теории в теорию множеств, и дальше эта штука по факту spellchecker.

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -