потому что прямое произведение это расслоенное произведение над точкой а точка компактна?

+

Во-первых. Простите пожалуйста за очень очень глупый вопрос и так далее.

----------

Во-вторых. Не понял.

Я так полагаю, они утверждают, что утверждение 1 влечёт утверждение 2, где эти утверждения следующие:

Утверждение 1:
Если f_i : X_i \to Y --- семейство собственных отображений, то индуцированное отображение из расслоенного произведения X_i над Y в Y собственно.

Утверждение 2:
Если f_i : X_i \to Y_i --- семейство собственных отображений, то индуцированное отображение \prod_i f_i : \prod_i X_i \to \prod_i Y_i собственно.

----------

В третьих. Зачем это нужно.

Назовём топологическое пространство X компактным, если для любого топологического пространства Y проекция Y \times X \to Y замкнута.

Можно доказать напрямую из этого определения, что произведение семейства компактных пространств компактно.
Это вроде как написано в статье, и я как-то видоизменил это доказательство, заменив ординалы леммой Цорна, вот тут, во второй части:
https://files.catbox.moe/qvh4gz.pdf
быть может, чуть более развёрнутая версия: https://files.catbox.moe/1rwi0u.pdf

Интересно следующее.

Назовём отображение f : X \to Y между топологическими пространствами собственным, если для любого топологического пространства Z отображение \Id_Z \times f : Z \times X \to Z \times Y замкнуто.

Возможно ли модифицировать доказательство с леммой Цорна (или, быть может, придумать другое доказательство), чтобы напрямую доказать утверждение 2 выше?
``Напрямую'', понятно, означает не ссылаясь на обычное определение компактности и характеризацию собственных отображений как замкнутых отображений с компактным слоями.

Я тут подумал, похоже, что оно реально обобщается. Но это в тумане (в голове) пока. Ладно.

Написал что-то.
https://files.catbox.moe/ja7q0c.pdf

Ладно, тема закрыта.

Чуть аккуратнее:
https://files.catbox.moe/wlbzn2.pdf
Всё, теперь норм.