Пес Ебленский - Абстрактная теория меры [entries|archive|friends|userinfo]
rex_weblen

[ website | Наши рисуночки ]
[ userinfo | ljr userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Links
[Links:| update journal edit friends fif tiphareth recent comments ]

Абстрактная теория меры [Sep. 4th, 2022|03:25 pm]
Previous Entry Add to Memories Tell A Friend Next Entry
[Tags|, , , ]
[Current Mood | calm]
[Current Music |Чемоданы Тульса Люпера]

Решил также повторить теорию меры. Люблю теорию меры. Если исключить ряд классических текстов, то основные ресурсы по этой теме это 2-х томник Богачева и 5-ти томник Фремлина. Фремлин подкупает тем, что весь контент выложен на сайте автора. Первые два тома Фремлина посвящены т.н. базовому или стандартному материалу, который часто включается в курс анализа. Однако чтения этих текстов привело меня к идеи разделения их содержания на абстрактную теорию меры и теорию меры в контексте действительного анализа. Этот пост основан на главах 11,12,13,21,23,25.

Абстрактная теория меры отличается тем, что сигма-алгебры измеримых множеств и собственно меры задаются на произвольных множествах, лишённых какой-либо структуры. Поэтому никаких Борелевских сигма-алгебр и тому подобного. Еще можно полностью проигнорировать конструирование меры Лебега на прямой и в Евклидовым Пространстве. Потому что все эти построения это как-раз и есть действительный анализ.

Абстрактная теория меры нужна для того чтобы иметь хоть где-то определение того, что такое мера. Так-то мера это понятие обобщающее длину, площадь, объем, массу, вероятность и так далее. Раньше люди пытались придумать универсальную функцию обобщающую функционал длинноты отрезков на произвольные множества и подчиняющиеся ряду аксиом. Так появилась большая и малая проблема меры. И если малая проблема меры имеет довольно простое решение. Но большая проблема меры оказалась нерешаемой. Поэтому пришлось меры ограничивать на сигма-алгебры. Кстати, проблемами меры еще в школе занимался Гротендик.

Множества называются пренебрежимо малым, если оно содержится в измеримом множестве меры ноль. Пренебрежимо малые множества образуют борнологию и сигма-идеал. Отсюда можно получить особую логику "почти наверное" или "почти всюду". Мера у которой все пренебрежимо малые множества измеримы. Чтобы абстрагироваться от сигма-алгебр математики придумали внешние и внутренние меры. Есть операция построения внешней или внутренней меры из просто меры и наоборот, есть операция пополнения. Можно тут нафантазировать функториальность и естественные преобразования.

Меры важны потому что они позволяют определить интеграл. Интегралы это очень важно. С интегралом Лебега все стандартно. Новым для себя отсюда я вынес нижней и верхний интеграл Лебега. Они позволяют интегрировать вообще любые функции, но многие соотношения для интегралов превращаются в неравенства.

Второй том предлагает более пристальный взгляд на проблему. Там содержится их классификация по конечности, меры вероятностные, конечные, сигма-конечные, строго локализуемые и полуконечные, по локализуемости, локализуемые и локально детерминированные, и по наличию атомов. Обычно сейчас студенты знакомятся с теорией меры через теорию вероятность и там всех этих свойств нет. Тут же их рассматривают с большой тщательностью. Есть тут и отличая между измеримыми и виртуально-измеримыми функциями которые устраняются для полных мер. Вообще у этой теории есть интересное развитие с категориями https://arxiv.org/abs/2105.11331.

Важнейшая теорема абстрактной теории меры это теорема Радона-Никодима. Она позволяет представлять конечный счетно-аддитивный функционал в виде интеграла некой "функции плотности" по мере, относительно которой он абсолютно непрерывен. Есть рассуждения вокруг этой теоремы. Вроде теоремы общего вида для замены переменной в интеграле. Есть и обобщения, которые идут дальше конечных функционалов. Вообще есть отдельный подход к абстрактной теории меры через функционалы или так называемые заряды. Ими занимался известный индийский математик Б. Рао. С ними связан еще и такая интересная вещь как векторно-значные меры и интегралы. Но это уже другая история. Заряды бывают еще конечно-аддитивные. Счетная аддитивность позволяет с продуктами мер (типа вероятностей). Разные физики, инженеры, экономисты и компьютерные ученные этим пользует. Просто, физикам кажется, что матан в природе везде должен работать по дефолту, а статистическая физика без этих свойств вообще не работает. Только философы и психологи, которые иногда все же пользуются вероятностью, не знают матан. Но для приличия говорят, что в этих науках у исследователей просто нет никаких оснований предполагать непрерывность мер. Один из классиков Байесовской вероятности Де Финети работал именно с конечно-аддитивными вероятностями. Он предпочитал рассматривать вероятность как психический феномен и так любил приводить примеры про игроков в азартные игры, что Джейнс обвинял его в пропаганде лудомании.

В общем случае есть и сложности с определением произведений мер. Поэтому тут возникают два вида произведений, примитивные и локально детерминированные. С вероятностными мерами такие сложности не возникают.

Фремлин пишет обо всем этом с большой тщательностью. Некоторые моменты и задачи я пропускал. В нюансах связанных с виртуальными и невиртуальными функциями легко запутаться и для приложений это не очень важно, кажется. Тем не менее это прекрасный опыт чистой математики.
LinkLeave a comment

Comments:
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 06:13 pm
(Link)
ты это, математик что-ли?
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 06:44 pm
(Link)
Внизу пишут, что нет.
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 05:55 am
(Link)
А иди-ка ты нахуй!
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 08:13 am
(Link)
Слишком умён для фурфага
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 12:19 pm
(Link)
для обычного пидора ты слишком хорошо разбираешься в математике
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 08:47 pm
(Link)
это обычный пидор
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 06:39 pm
(Link)
это копипаста, а своих мыслей у тебя нет
[User Picture]
From:[info]hex_1aden
Date:September 5th, 2022 - 08:31 am
(Link)
А меня в попу не ебали, на ней ничего не написали!
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 06:42 pm
(Link)
это всё хуйня, а не математика. ты лучше скажи - сколько чертей помещается на кончике иглы, а?
тотоже
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 06:44 pm
(Link)
Зависит от меры.
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 07:03 pm
(Link)
нет, двоечник, не зависит. это концептуальная задача о соотношении нулевоей и бесконечно малой, но ненулевой величин. саси карочь.
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 08:00 pm
(Link)
сколько пидарасов помещается на острие кожаной иглы?
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 08:07 pm
(Link)
Один, но иногда в одного пидараса помещается 2 или даже 3 иглы.
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 08:11 pm
(Link)
10 пидарасов стоят в ряд и ебут друг друга в жопу.

который из них получает наибольшее удовольствие?
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 08:48 pm
(Link)
который ебет хуйлашку перцева
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 08:53 pm
(Link)
правильно, второй спереди. поскольку он ебёт того, кто уже никого не ебёт.
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:03 pm
(Link)
Если считать, что силы ебли складываются, то его ебут сильнее всех, из всех кто кого-нибудь ебет.
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:06 pm
(Link)
какая беспомощная попытка пошутить.
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:07 pm
(Link)
Нет это как я решал
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:09 pm
(Link)
"Россия должна возместить гражданам ЕС расходы из-за последствий антироссийских санкций" - Жозеп Боррель
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:11 pm
(Link)
Правильно, за свои поступки нужно отвечать.
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:12 pm
(Link)
вот старшеклассник тебя и сделал петухом за твои поступки
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:13 pm
(Link)
Аминь
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:14 pm
(Link)
- Алло, Германия? Это Газпром. У вас "Северный поток" работает?
- Нет
- А мы знаем. Ахахахах!
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:20 pm
(Link)
И за это заплатят Европе.
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:25 pm
(Link)
"3 копейки векселями, а остальное пиздюлями" ггг
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:26 pm
(Link)
"Я ненавижу нацистов, все они должны сдохнуть" - Зеленский объяснил, зачем послал украинский десант в мясорубку на ЗАЭС.
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:30 pm
(Link)
#panorama
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:31 pm
(Link)
дважды, заметь, он сделал это дважды
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:11 pm
(Link)
индюк тоже решал
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 4th, 2022 - 09:12 pm
(Link)
и в суп попал
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:12 pm
(Link)
сам всё знаешь, сам всё понимаешь
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 07:11 pm
(Link)
КАЛАЙДЕР МОГУТ ОСТАНОВИТЬ
From:(Anonymous)
Date:September 4th, 2022 - 09:07 pm
(Link)
Россия обсудит с Грузией сумму выплат, за которую она согласится принять назад сбежавших оппозиционеров.
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 09:49 am
(Link)
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
>функционал длинны
[User Picture]
From:[info]ka1edin
Date:September 5th, 2022 - 10:33 am
(Link)
Какое правило нарушено?
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 11:07 am
(Link)
да иди ты нахуй старый хрыч вот такое правило нарушено
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 12:18 pm
(Link)
функционал длины
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 5th, 2022 - 04:02 pm
(Link)
Двойка!

Правильно — функционал длинноты.
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 04:15 pm
(Link)
анал пизды правильно
From:(Anonymous)
Date:September 5th, 2022 - 06:50 pm
(Link)
Хуета.
[User Picture]
From:[info]rex_weblen
Date:September 5th, 2022 - 04:01 pm
(Link)
Спасибо