Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth) в [info]ljr_math
@ 2006-06-14 23:27:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Проективное многообразие, рационально гомотопически эквивалентное CP^n
Яу доказал, что комплексное, кэлерово, компактное
многообразие M, которое гомотопически эквивалентно CP^n,
изоморфно CP^n.

Верно ли то же в предположении, что M рационально
гомотопически эквивалентно CP^n?

Рациональная гомотопическая эквивалентность для кэлеровых
многообразий размерности > 2 это то же самое, что изоморфизм
когомологий (Сулливан). Поэтому вопрос:

ВОПРОС. Существует ли комплексное, кэлерово, компактное
многообразие M, размерности > 2,
не изоморфное CP^n, рациональные когомологии
которого изоморфны усеченным полиномам?

Спасибо!

Привет

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

Re: Проективное многообразие ...
[info]tiphareth
2006-06-16 20:38 (ссылка)
>Как-то непонятно как поменять вопрос тогда? Твой аргумент
>с теоремой Лефшеца показываеть что фальшивые проективные
>пространства рационально гомотопически еквиваленты
>обычним.

Добавить Фано и односвязность к условию?
Т. е.

ГИПОТЕЗА Пусть М - компактное многообразие
Фано (оно, кажется, а постериори односвязно),
с рациональными когомологиями, изоморфными
усеченным полиномам. Верно ли, что M
изоморфно CP^n?

Если да, то мы получили теорему Чо-Мияоки-Ш.Б.

>Кстати, где ето написано у Яу? Я помню результат про
>могообразия которые гомеоморфны CP^n, но не помню ничего
>про такие которые просто гомотопны.

Прошу прощения - у Яу буквально приводится
этот факт для CP^2 ("On Calabi's conjecture
and some new results in algebraic geometry", 1977,
Proc. Nat. Acad. USA). С другой стороны,
гомотопическая эквивалентность кэлеровых
многообразий размерности >2 эквивалентна
диффеоморфности (Сулливан, вроде бы).

Доказательство Яу следует из неравенства между
c_1^2 и c_2, если я не ошибаюсь.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
(Анонимно)
2006-06-17 05:06 (ссылка)
> ГИПОТЕЗА Пусть М - компактное многообразие
> Фано (оно, кажется, а постериори односвязно),
> с рациональными когомологиями, изоморфными
> усеченным полиномам. Верно ли, что M
> изоморфно CP^n?

Не нравиться мне ета формулировка. Условие Фано слишком нетопологическое. Хотелось бы иметь гиотезу которая формулируеться только на уровне теории Ходжа.

> С другой стороны,
> гомотопическая эквивалентность кэлеровых
> многообразий размерности >2 эквивалентна
> диффеоморфности (Сулливан, вроде бы).

Я думал что у Сулливана было конечное число диффеоморфных типов в каждом гомотопическом типе?

> Доказательство Яу следует из неравенства между
> c_1^2 и c_2, если я не ошибаюсь.

Да действительно! Я сейчась пытаюсь понять нельзя ли вывести интерсные следствия из такой пропорциональности для схематического гомотопического типа.

Привет,

Тони

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-20 17:02 (ссылка)
Privet,

Gipoteza konechno neverna, ehto slishkom sil'no; no ty ved' khochesh' kontrprimer -- a ya chto-to tak skhodu ne soobrazhu. Ya podumayu.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]tiphareth
2006-06-21 12:49 (ссылка)
Почему неверна? Теорема Яу следует из
неравенства между классами Черна, которое
вытекает из формулы Римана-Роха. На
целочисленные когомологии этим формулам
начхать.

С другой стороны, аргумент может иметь
простую, но дурацкую дыру, и прежде чем
приступать к доказательству, хотелось
бы сначала убедиться, что нет контрпримеров.
Чуть выше Тони напомнил про фальшивые CP^n -
ясно, что доказательство должно как-то учитывать
либо односвязность, либо Фано.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-21 17:39 (ссылка)
A chto, nechetnomernaya kvadrika ne goditsya razve? vplot' do serediny chisla Betti te zhe, chto u P^n, v silu slabogo Lefshetza; a v seredine nichego net, t.k. u nee est' rezol'venta diagonali/isklyuchitel'nyj nabor, i potomu vse kogomologii Hodge-Tate'vskie?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]tiphareth
2006-06-21 19:35 (ссылка)
Нет, конечно.
Когомологии квадрики посчитать весьма просто, потому что
квадрика это однородное пространство
SO(n + 2)/(SO(n) x SO(2)).
Иначе говоря, точка квадрики - это 2-мерная гиперплоскость
в вещественном векторном пространстве. Поэтому над квадрикой
имеется расслоение со слоем S^1 и тотальным пространством
S^n \times S^{n-1}. Написав соответствующую спектральную
последовательность, легко видеть, что когомологии не могут
быть такие же, как у CP^n (трансфер d_2 переводит образующую
H^1(S^1) в кэлеров класс квадрики, таким образом убиваются
все степени кэлерова класса, а n- и n-1-мерный класс
в S^n \times S^{n-1} получаются из еще одного класса
в средних когомологиях квадрики, на котором d_2
действует нулем).

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-21 19:42 (ссылка)
Ty khochesh' skazat', chto kehlerov klass trekhmernoj kvadriki v kube raven nulyu?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-21 20:35 (ссылка)
V smysle, ya nadeyus', chto ty ne khochesh' ehtogo skazat', potomu chto on taki ne raven. Spektral'naya posledovatel'nost' vychislyaet ne kol'co kogomologij, a gr ot nego po sootv. fil'tracii. Na segodnya vse, ya domoj poshel.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]tiphareth
2006-06-21 22:20 (ссылка)
кэлеров класс не может быть равен нулю ни в какой степени,
его детерминант это форма объема

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Проективное многообразие ...
[info]tiphareth
2006-06-21 22:19 (ссылка)
Нет, конечно. Просто там есть еще одна образующая
в средних когомологиях (для четного) или в средних -1
для нечетного.

Над \C доказательство см. выше, в этальной ситуации
она построена в SGA 7 (Deligne).

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-22 16:52 (ссылка)
Ehto pokhozhe; no spektralka tvoya vse ravno kuda-to ne tuda skhoditsya. Esli kak ty govorish', to chetnye chisla Betti u kvadriki 1,2,2,1. Kuda zhe devaetsya eshche odin klass v H^2?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]tiphareth
2006-06-22 22:10 (ссылка)
Ты прав, да. Надо спросить кого-нибудь,
или посмотреть в SGA 7. Но что там не
усеченные полиномы - это сто пудов

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-23 17:37 (ссылка)
Konechno imenno oni. Net variantov: esli chisla Betti te zhe, chto u P^n, to i kehlerov klass obyazan vse porozhdat'. Usechennye polinomy ehto slishkom zhestkaya veshch', u nikh osobo net deformacij.

(Ответить) (Уровень выше)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-22 18:41 (ссылка)
Nu da, ya tut prokonsul'tirovalsya s tovarishchami, a to ty menya smutil; trekhmernaya kvadrika, ona zhe lagranzhev grassman (2,4), ehto faktor SO(5)=Sp(4) po maksimal'noj parabolicheskoj podgruppe, i H^2 u nego odnomernoe, ne dvumernoe, a H^3 net. V vysshikh razmernostyakh ne znayu. U kvartiki (i u kubiki) H^3 est'.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
(Анонимно)
2006-06-23 12:45 (ссылка)
Привет!

Я сейчась на Гаваях и не смотрел на ljr.math с прошлой недели. Сегодня взглянул и увидел коментарий про квадрику. Дима совершенно прав! Нечётномерная квадрика даёт контрпример к коригированной гипотезе. Для квадрики X размерности 2n-1 можно быстро посчитать эйлерову характеристику - 2n-1 класс Чженя касательного расслоения считаеться сразу из точной последовательности для нормального расслоения. Я только-что посчитал и получилось что \chi(X) = n (надеюсь что не ошибся - проверте пожалуйста!). В комбинации с теоремой Лефшеца ето даёт что b^{2n-1}(X) = 0 и что рациональные когомологии X ето усеченные полиномы.



Тони

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
(Анонимно)
2006-06-23 13:18 (ссылка)
Извиняюсь! Наверху у меня опечатка: \chi(X) = 2n а не n. Вот поетому средные когомологии равнй нулю а полные когомологии равны усеченым полиномам.

Всё-таки - странно что такой простой контрпример! Может быт стоит поискать АИС у которой база квадрика?

Привет,

Тони

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
[info]kaledin
2006-06-23 17:35 (ссылка)
Nu, ponimaesh', narodnoe pover'e sostoit v tom, chto baza dolzhna byt' tak zhe sil'no racional'no svyazna, kak P^n (cherez lyubye dve tochki pryamaya i t.d.) Cho-Miyaoka-Shepherd-Barron ehto dokazali esli est' sechenie, nepravil'no dokazali, no utverzhdenie skoree vsego vernoe, khotya skoree vsego trudnoe. Poehtomu na kontrprimer nadezhdy malo.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: Проективное многообразие ...
(Анонимно)
2006-06-23 22:25 (ссылка)
Ну не знаю. Не очень понимаю откуда в гиперкэлеровой ситуации берёться условие что через любые две точки должна проходит прямая? Можеть быть там коники тоже годяться? В конце концов ето вопрос о факторизации Штейна некой интегрумой системой с несвязными слоями. У нас много примеров таких систем, так что можно посмотреть что там произходить.

Вот была недавная статья Илиева с Манивелом про промеждуточные якобианы
пятимерных квинтик. Ты смотрел какая там база?

Привет,

Тони


(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -