Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth) в [info]ljr_math
@ 2006-08-25 05:43:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Counterexample to the Hodge Conjecture
Если кому-то интересно, что стало с гипотезой Ходжа.

Paper: math.AG/0608265
replaced with revised version Tue, 22 Aug 2006 21:22:11 GMT (14kb)

Title: Counterexample to the Hodge Conjecture
Authors: K. H. Kim and F. W. Roush
Comments: We no longer claim to have disproved
the Hodge conjecture. Section 5 is deleted except
for 5.3, and Theorems 6.2,6.3 are deleted

http://arXiv.org/abs/math/0608265

А недавнее "доказательство" несуществования комплексной
структуры на S^6 все еще висит
http://arxiv.org/abs/math.DG/0608368

Вот тут обсуждают "Counterexample to the Hodge Conjecture"
[ 0 | 1 | 2 ]

Привет


(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)


[info]tiphareth
2006-09-01 23:53 (ссылка)
>Кстати, я забыл -- а какой статус у Ходжа: только для
>многообразий над \overline{Q}, или для любых над C? Над C
>оно абсолютно невероятно.

У любых над \C. Для H^2 это верно, что и привело
Ходжа (и Гротендика) к гипотезам.

С другой стороны, из элиминации кванторов довольно
ясно, что достаточно доказать гипотезу Ходжа над
\overline{Q} (дальше сажаешь вместо трансцендентных
переменных алгебраические с параметром, элиминируешь
кванторы, и вуаля)

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2006-09-03 04:54 (ссылка)
Элиминация кванторов в этой задаче вообще не работает. А именно, обычный подход дает семейство над базой, все слои и семейство определены над \overline{Q}; требуется из утверждения для всех слоев вывести его же для общего слоя. Но K_0, CH_* и гипотеза Ходжа в семействах ведут паскудно; вплоть до того, что вроде бы есть пример -- Тони когда-то рассказывал -- когда класс в каждом слое представляется алгебраическим циклом, но в каждом слое оно свое, и ничего похожего на семесйтво циклов доказуемо нет.

В принципе, полно чисто топологических по форме утверждений, которые тем не менее верны только над \overline{Q} -- теорема Белого самый очевидный пример.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2006-09-03 20:25 (ссылка)
Да, элиминацией кванторов не получиться. Вопрос с полем определения довольно тонкий и в некотором смысле являеться центральным вопросом в попытках людей "правильно" переформулировать гипотезу Ходжа. Во первых есть старое замечание Делиня, что классы алгебраических циклов всегда абсолютные, а Ходжевые классы вообще могуть оказаться не-абсолютными. Он какое-то время пытался найти не-абсолютный Ходжевый класс на абелевых многообразий, а потом взял и доказал что на абелевых многообразий все Ходжевые классы абсолютные.
Но вообще, скорее всего нужно формулировать гипотезу Ходжа только для абсолютно Ходжевых классов.

Есть еще и целая (недавная) программа Грина с Гриффитсом, о том как доказывать гипотезу Ходжа работая с нормальными функциями и с арифметическими структурами Ходжа. Основная идея состоиться в том что надо рассматрывать когомологии комплексного многообразия, не как векторное пространство, а как локальную систему. Там есть арифметическая связность Гаусса-Манина для $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ и нужно помнить о том как она действуеть. Это даёт интересные инфинитезимальные утверждения
существования. Ещё, это можно связать с гипотезой Бейлинсона об аннулировании и с гипотезой Блоха.


Тони

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2006-09-05 15:51 (ссылка)
Очень интересно, спасибо

Я спрошу местного эксперта по логике,
мне кажется, нечто все-таки можно придумать

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


(Читать комментарии) -