ljr_math: Counterexample to the Hodge Conjecture

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

kaledin
2006-09-01 21:42 (ссылка)

Ну, из стандартной. Гипотеза Бейлинсона говорит, что K_*(X) \otimes R изоморфно \bigoplus_n RHom^*(R(n),H^*(X)), RHom берется в категории смешанных R-структур Ходжа. У этой категории гомологическая размерность 1, поэтому там есть только Hom и Ext^1. Часть, отвечающая за K_0(X), это Hom(R(n),H^{2n}(X)), и какие-то первые Ext'ы, забыл какие. С другой стороны, гипотеза Ходжа утверждает, что образ K_0(X) \otimes Q в когомологиях это Hom(Q(n),H^{2n}(X)).

Т.е. связь есть; но есть проблемы:

1. В гипотезе Бейлинсона что-то утверждается про само K_*, а что-то наоборот про gr по \lambda-фильтрации от него. Фильтрация конечно расщепляется на K_* \otimes Q, но фиг его знает -- может неканонически...может это с чем-то несовместимо...в общем, в этом месте я подробно не разбирался, у меня путаница в голове.

2. В гипотезе Бейлинсона не Q, а всего лишь R. Это неспроста: с Q она не то доказуемо неверна, не то настолько маловероятна, что никто этого всерьез никогда не предполагал.

3. Идеальное утверждение было бы вообще с Z вместо Q -- тогда и Ext^1 в когомологиях Ходжа-Бейлинсона имели бы разумную интерпретацию (как всякого рода промежуточные якобианы). Но это без шансов. А для гипотезы Ходжа над Z вроде бы даже давно известен контрпример.

В результате: гипотеза Ходжа из бейлинсоновских буквально не следует. У Бейлинсона в статье есть специальная дополнительная гипотеза, обобщение как раз Ходжа. Но в нее кажется сам Бейлинсон не очень верит.

Кстати, я забыл -- а какой статус у Ходжа: только для многообразий над \overline{Q}, или для любых над C? Над C оно абсолютно невероятно. Гипотезы Бейлинсона понятное дело только для над \overline{Q}.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2006-09-01 23:53 (ссылка)

>Кстати, я забыл -- а какой статус у Ходжа: только для
>многообразий над \overline{Q}, или для любых над C? Над C
>оно абсолютно невероятно.

У любых над \C. Для H^2 это верно, что и привело
Ходжа (и Гротендика) к гипотезам.

С другой стороны, из элиминации кванторов довольно
ясно, что достаточно доказать гипотезу Ходжа над
\overline{Q} (дальше сажаешь вместо трансцендентных
переменных алгебраические с параметром, элиминируешь
кванторы, и вуаля)

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2006-09-03 04:54 (ссылка)

Элиминация кванторов в этой задаче вообще не работает. А именно, обычный подход дает семейство над базой, все слои и семейство определены над \overline{Q}; требуется из утверждения для всех слоев вывести его же для общего слоя. Но K_0, CH_* и гипотеза Ходжа в семействах ведут паскудно; вплоть до того, что вроде бы есть пример -- Тони когда-то рассказывал -- когда класс в каждом слое представляется алгебраическим циклом, но в каждом слое оно свое, и ничего похожего на семесйтво циклов доказуемо нет.

В принципе, полно чисто топологических по форме утверждений, которые тем не менее верны только над \overline{Q} -- теорема Белого самый очевидный пример.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

(Анонимно)
2006-09-03 20:25 (ссылка)

Да, элиминацией кванторов не получиться. Вопрос с полем определения довольно тонкий и в некотором смысле являеться центральным вопросом в попытках людей "правильно" переформулировать гипотезу Ходжа. Во первых есть старое замечание Делиня, что классы алгебраических циклов всегда абсолютные, а Ходжевые классы вообще могуть оказаться не-абсолютными. Он какое-то время пытался найти не-абсолютный Ходжевый класс на абелевых многообразий, а потом взял и доказал что на абелевых многообразий все Ходжевые классы абсолютные.
Но вообще, скорее всего нужно формулировать гипотезу Ходжа только для абсолютно Ходжевых классов.

Есть еще и целая (недавная) программа Грина с Гриффитсом, о том как доказывать гипотезу Ходжа работая с нормальными функциями и с арифметическими структурами Ходжа. Основная идея состоиться в том что надо рассматрывать когомологии комплексного многообразия, не как векторное пространство, а как локальную систему. Там есть арифметическая связность Гаусса-Манина для $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ и нужно помнить о том как она действуеть. Это даёт интересные инфинитезимальные утверждения
существования. Ещё, это можно связать с гипотезой Бейлинсона об аннулировании и с гипотезой Блоха.

Тони

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	tiphareth 2006-09-05 15:51 (ссылка)
	Очень интересно, спасибо Я спрошу местного эксперта по логике, мне кажется, нечто все-таки можно придумать Такие дела Миша (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -