| Теория Махарам |
[Nov. 20th, 2022|06:13 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  sleepy | ] |
| [ | Current Music |
| | Leftover Crack - Fuck World Trade | ] |
Обещал вам в прошлый раз уникальных результатов про алгебры меры. Поэтому давайте расскажу вам, что понял из следующей главы Фремлина. Еще про это можно почитать в главе 9 "Boolean algebras in analysis" Д. А. Владимирова.
Для начала, почему этот пост я назвал "Теория Махарам". Дело в том, что в основе всего, о чем здесь говориться, лежит статья американской мать-и-мачехи Дороти Махарам. Она вышла замуж за математика Стоуна, и стала Махарам-Стоун. Но что, удивительно, это был не Маршал Стоун, а некий английский математик Артур Стоун.
Дороти Махарам-Стоун
1917 - 2014
Типом Махарам булевой алгебры A называется кардинальность наименьшего подмножества A, которое тау-порождает всю алгебру A, то есть можно брать бесконечные супремумы и инфимумы. Однородной по типу Махарам называется алгебра у которой главные идеалы всех ненулевых элементов имеют тот же тип Махарам, что и сама алгебра. Первая важна теорема, это теорема об изоморфизме. Она утверждает, что две алгебры вероятности однородные по типу Махарам с равными типами Махарам изоморфны друг-другу как алгебры вероятности. Встает вопрос, для любого ли кардинала существует такая алгебра вероятности? Она существует для любого бесконечного кардинала и нуля. Зафиксируем какой-то кардинал K и рассмотрим случайный процесс с K независимыми подбрасываниями честной чеканной монеты. Тогда вероятностная алгебра этого процесса будет как раз однородной по типу Махарам с типом Махарам K. Я такую структуру буду называть алгеброй Бернулли кардинала K, и как мы увидим скоро она очень важна для этой теории. Если все это вмести осмыслить, то получается, что алгебра Бернулли это настоящий фрактал! Интересная параллель с топологией тут такая, что счетный тип Махарам эквивалентен тому, что алгебра меры сепарабельна в топологии меры. Другая интересная теорема утверждают, что если у алгебры вероятности с четным типом Махарам нет атомов, то она однородна по типу Махарам, а значит изоморфна нулевой или счетной алгебре Бернулли.
Собственно теорема Махарам, говорит о том, что любая локализуемая алгебра меры (то есть полная в своей равномерности) может быть представлена как произведение алгебр Бернулли с перевзвешенными вероятностями. То есть любая такая алгебра может быть получена путем комбинации произведений, копроизведений и взвешиваний примененным к простейшей алгебре, соответствующей броску честной монеты. Тут наверное правильным аналогом типа Махарам может выступать размерность векторного пространства. А алгебра Бернулли кардинала K, это своего рода свободная вероятностная алгебра, cоответсвует векторному пространству размерности K. Только тут еще кроме простых однородных объектов есть еще объекты сложные, которые получаются, тем не менее, из объектов простых.
Есть и более сложная версия теоремы Махарам. Для того, чтобы ее сформулировать нужно ввести понятия клеточности и магнитуды. Клеточностью булевой алгебры называется супремум кардинальностей ее подмножеств состоящих из попарно непересекающихся элементов. А магнитуда элемента алгебры меры равна его мере, если она конечна, или, в ином случае, она равна клеточности его главного идеала. Так вот эта более сложная версия теоремы утверждает, что локализуемые алгебры меры можно разбить на компоненты соответствующим элементам с определенным типам Махарам и атомам с определенной мерой. И что две алгебры изоморфны только если магнитуды всех таких компонент совпадает и число атомов с определенной мерой тоже совпадает. То есть у нас получается полная классификация локализуемых алгебр мер как соответствия действительных и кардинальных чисел! Отсюда, например, следует слабое свойство Щрёдера-Бернштейна. То есть если между двумя алгебрами вероятностей существуют инъективные морфизмы (а все морфизмы алгебр мер инъективны), то они изоморфны. В частности алгебры Бернули универсально в определенном слабом смысле, потому что любую алгебру вероятности можно вложить в Алгебру Бернулли для достаточно большого кардинала.
Также как и обычный тип Махарам, можно определить и тип Махарам относительно какого-то подмножества. Просто это подмножество при вычислении кардинала как бы больше ничего не весит. Элемент а булевой алгебры А называется однородным по типу Махарам относительно подалгебры С, если для любого ненулевого b \le a тип Махарам b относительно bC равен типу Махарам а относительно aC. C относительным типом Махарам есть много результатов аналогичных результатам для абсолютного типа Махарам. Но для затравки такой результат: Любую алгебру вероятности можно так тензорно умножить на алгебру Бернулли, что получится снова эта алгебра Бернулли. Если задуматься, то это результат интуитивно верный. Например, если умножить тензорно ненулевое конечномерное векторное пространство на бесконечномерное, то получится бесконечномерное той же размерности. Только тут для доказательства этого факт требуется развить определенную непростую технику продолжения морфизмов и тензорных произведений с алгеброй Бернулли. И так, эта техника может использоваться для доказательства главного результата. Если есть локализуемая алгебра меры и в ней замкнутая подалгебра, то исходная алгебра раскладывается на произведение тензорных произведений главных идеалов элементов подалгебры и алгебр Бернулли. Опять же у этой теоремы есть и более продвинутые версии. Например можно доказать, что можно построить такую радоновскую меру $\eta$ на \mathbb{R}^{I}, где $I$ не более чем счетно, что вычисление меры на элементах из вышеупомянутых главных идеалов устроено просто как интеграл координатных функций, типа \mu[E] = \int_E x_i d\eta(x), при этом x_{i + 1} \le x_i почти всюду \eta и \sum^\infty_{n=1} x_i = 1 почти всюду \eta.
Довольно очевидно, что все эти упражнения позволяют связать теорию меры с кардиналами. Мне же куда больше интересны ее приложения к эргодической теории. Пока есть такое, элементарное. Назовем автоморфизм \phi алгебры меры (A,\mu) смешивающим, если \lim_{n \to \infty} \mu(a\phi^n(b)) = \mu(a)\mu(b) для любых элементов a,b \in A. То есть этот автоморфизм как бы реализует поток, который так двигает элементы-события, что все эти элементы-событие в пределе ведут себя как независимые. Оказывается, что у однородной алгебры вероятности такой поток всегда существует. И это потому что она изоморфна алгебре Бернулли и в нетривиальном случае существует бесконечная перестановка без конечных орбит, которая этот морфизм реализует. Еще отсюда следует, что для тензорного произведения алгебры меры (A,\mu) c алгеброй Бернулли всегда найдется такой сохраняющий меру автоморфизм, что его подалгебра неподвижных точек имеет вид A \otimes e. Также можно доказать, что подалгебра неподвижных точек сохраняющих меру автоморфизмов с должно иметь особую структуру, выражаемую, конечно, через алгебры Бернулли. А алгебра неподвижных точек подмножества таких морфизмов, всегда может быть получена для какого-то одного морфизма.
Кажется, что центральным объектом тут является Алгебра Бернулли. И главный результат говорит нам, что если у нас есть одна монетка, то подбрасывая ее и применяя стандартные операции (возможно бесконечное число раз), можно получить любую случайную величину. И как показывает теорема Махарам и любую локализуемую меру. Мне это все напоминает оплёванную аксиоматику фон Мизеса, где все вероятности тоже генерировались стандартными операциями. Но, конечно, ее никак нельзя сравнивать с блистательной теорией Махарам, основанной на чистой теории меры. Вообще, например, все вероятностные распределения на действительной прямой без атомов тут оказываются изоморфны. Поэтому видно как много информации тут мы теряем при переходе от пространств с мерой к алгебрам. А так эта теория очень похожа на теорию размерности линейных пространств, только для булевых алгебр и алгебр меры. Еще похоже на разложение представлений на неприводимые, только тут разложение булевых алгебр на однородные. |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}