Tue, Aug. 5th, 2008, 01:35 pm
Вопрос по теории чисел

У меня, кажется, во френдах есть математики? Так вот, собственно, у меня возник вот такой сабж. Если взять достаточно большое число - скажем, из сотни знаков или больше - и разложить его на простые множители, какова вероятность того, что общее количество семёрок в получившихся множителях будет чётным? Можно ли математически строго доказать, что она ровно такая же как то, что оно будет нечётным? Или можно ли строго доказать обратное? Или эти вероятности становятся равными только начиная с определённого количества знаков - тогда с какого и почему? Меня сейчас этот вопрос так заботит, что я аж спать не могу...

Tue, Aug. 5th, 2008, 12:54 pm
[info]aculeata

Чисел, которые не делятся на 7, в любом случае больше
(в любой конечной выборке идущих подряд), чем чисел,
которые делятся на 7. В разложении таких чисел 7
встречается 0 раз, а 0 четное число, хоть я и не
математик.

В достаточно большой выборке длиной n -- чисел,
которые делятся только на 7, примерно n/7 - n/49 - n/7^3 ...,
только на 7^2 -- (n/49 - n/7^3 - ...) и так далее.
Так что, в зависимости от того, считаете Вы 0
четным или нечетным, можете ответить на свой вопрос
сами.

Tue, Aug. 5th, 2008, 02:03 pm
[info]kaledin

On pro semerki v desyatichnoj zapisi -- spasibo khot' ne v shillingakh i pensakh, no vse ravno beznadezhno.

Tue, Aug. 5th, 2008, 03:03 pm
[info]aculeata

А при чем тогда простые множители?

Ну все равно примерно то же самое (я выше, кстати,
написала с ошибкой): без единой семерки чисел
больше, с одной семеркой -- m*10^m - C102*10^(m-2),
где m -- число нулей etc.

Tue, Aug. 5th, 2008, 03:05 pm
[info]aculeata

А! Семерки в ДЕСЯТИЧНОЙ записи простых множителей?

Ну это для целей гематрии, наверное, при чем тут
арифметика.

Tue, Aug. 5th, 2008, 11:01 pm
[info]kaledin

>Ну это для целей гематрии, наверное, при чем тут арифметика

Nebos'.

No est' kakoj-to trivial'nyj primer, kotoryj lyubit providt' Arnol'd, chego-to sovsem ehlementarnogo tipa stepenej zadannogo chisla, v kotorom pervaya cifra raspredelena neravnomerno (edinica byvaet chashche). A esli uchityvat' vse cifry, i tol'ko sredi prostykh, to ya ne voz'mus'. Khotya za mnogo deneg mogu najti specialista pro raspredeleniyu prostykh, ono v principe na grani vozmozhnogo.

Wed, Aug. 6th, 2008, 02:08 pm
[info]ash_rabbi

вас ист дас гематрия?
Я про математику мало знаю, знаю только, что когда не знают, к кому обратиться за решением какой-то задачи, обращаются к математикам. С другой стороны, похоже, таким маразмом такой проблемой как вероятности возникновения каких-то цифр в десятичной (или какой-то ещё) записи числа даже математики не занимаются. По крайней мере я нигде не нашёл соответствующей математической теории. А зря, по-моему...

Wed, Aug. 6th, 2008, 08:32 pm
[info]svintusoid

Смотри, это связано не со свойствами чисел как таковых, внутренними, а с формой представления--поэтому сильно менее интересно.

Гематрия

Thu, Aug. 7th, 2008, 04:00 pm
[info]ash_rabbi

это связано не со свойствами чисел как таковых, внутренними, а с формой представления--поэтому сильно менее интересно.

Ты уверен, что это так?

Mon, Aug. 25th, 2008, 04:29 pm
[info]laplandian

С другой стороны, похоже, таким маразмом такой проблемой как вероятности возникновения каких-то цифр в десятичной (или какой-то ещё) записи числа даже математики не занимаются. По крайней мере я нигде не нашёл соответствующей математической теории. А зря, по-моему...

Математики этим очень даже занимаются. В частности, есть много исследований простых чисел-палиндромов и простых чисел, которые при некой цифровой модификации остаются простыми. Однако подобного рода проблемы весьма нетривиальны и часто приводят к удивительным результатам, поскольку последовательность простых чисел вовсе не случайна. К примеру, существует ровно 83 простых числа, которые дают простое число при удалении последней цифры в десятичной системе.

Сам я давно не занимаюсь теоретической математикой, но у меня много знакомых математиков, включая исследователей методов быстрого разложения чисел на простые делители. Однако ничем подобным вроде никто из них не занимался. Однако чем черт не шутит? Подумаю и попробую разузнать.

Tue, Aug. 26th, 2008, 10:14 am
[info]ash_rabbi

последовательность простых чисел вовсе не случайна
Вот и мне так же кажется...

Tue, Aug. 26th, 2008, 04:15 pm
[info]laplandian

Строго определенная математическая последовательность по определению не может быть случайной, хотя некоторые аспекты ее поведения могут соответствовать теории вероятностей. К примеру, в последовательности цифр числа Пи до сих пор не было обнаружено никаких закономерностей, однако она не является случайной, поскольку генерируется строго определенным образом. В частности, хотя анализ триллиона знаков десятичной записи Пи показывает, что цифры в ней распределены равномерно, никому пока не удалось строго доказать, что частота появления каждой цифры стремится к 0.1 .

Последовательность простых чисел совершенно не случайна и содержит массу всевозможных закономерностей, несмотря на свою хаотичность.

С другой стороны, цифры в чисто случайных последовательностях чисел тоже вовсе не обязательно равномерно распределены. К примеру, ты можешь обнаружить, что около трети номеров квартир твоих знакомых и многих других случайных списков чисел из реальной жизни, начинаются на единицу. Этот феномен связан с логарифмическим устройством самой десятичной системы счисления.

Mon, Aug. 25th, 2008, 04:40 pm
[info]laplandian

Если сегодня после работы останется время, напишу стохастическую программу и сообщу о результатах. Правда, я не уверен, что время найдется. Дело в том, что у меня в доме завелся черный кот. Молодой, по виду месяцев 9-10, веселый, пушистый. Он позавчера спрыгнул с какого-то дерева и увязался за мной.

Последние две ночи он мне не дал толком заснуть, требуя то хавки, то на улицу пописать. В результате, в шесть утра я его выставил за дверь, но все равно чувствую себя никаким: глаза застилает и мозги отшиблены напрочь. Если он сегодня вечером заявится ужинать, придется снова его пустить, хотя я уже начал искать, кому бы отдать это милое существо.

Mon, Aug. 25th, 2008, 06:53 pm
[info]laplandian

Соответствующая последовательность документирована вот тут:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A084317

Tue, Aug. 5th, 2008, 09:04 pm
[info]svintusoid

ну да.

Thu, Sep. 4th, 2008, 10:44 pm
[info]tiphareth

Не, не безнадежно, из равномерности
распределения простых чисел в арифметических
прогрессиях должно, наверно, следовать, что
равномерно, при стремлении 100 к бесконечности.
Вопрос, естественно, к [info]french_man@lj или
кого-то вроде. Но думаю, что делается (в асимптотике).