> Я всё больше убеждаюсь в том, что теоретико-множественный формализм
> топологических пространств — это исторический курьёз,
> и формализм локалей подходит для тех же целей гораздо лучше.

ВНЕЗАПНО, по мотивам рассуждений на эти темы, я несколько недель назад тоже решил, что курьёз. ) Но про локали знаю только поверхностно.

А про локали какие тексты, по-Вашему, лучше всего читать 1) тем, кто уже пришёл к выводу, что курьёз и 2) тем, кто ещё даже не знаком с теоретико-множественным формализмом?

> Как побочный эффект, отпадает всякая необходимость
> в аксиоме выбора, лемме Цорна и им подобных.

А вот если так, то это вообще очень круто. Но как-то не верится. Не может же потребность в аксиоме выбора уйти в никуда.

(Reply to this) (Thread)

С текстами как раз проблема — не зря ведь я включил в список общую топологию.
Но вообще есть книга Johnstone-а Stone Spaces,
и две его пропагандистских статьи
The point of pointless topology и ещё одна.

>Не может же потребность в аксиоме выбора уйти в никуда.

Она уходит в доказательство того, что многие локали
(например, компактные) являются spatial, то есть
приходят из обычных топологических пространств,
или, что тоже самое, имеют достаточно точек.
Но для приложений это совершенно неважно
и даже бесполезно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> С текстами как раз проблема — не зря ведь я включил в список общую топологию.

Ах, и правда, — по ссылке-то на MathOverflow я и не сходил.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ещё внизу справедливо упоминают третий том Borceux.
Я читал, хорошо написано, но мало.

(Reply to this) (Parent)

В третьем томе справочника по категорной алгебре вроде неплохо по локали, самая первая глава.
Еще про меру через модулярные алгебры Ямагами было бы очень интересно почитать, с операторными алгебрами не знаком (и скептиченпчему-то к ним, область обширная и эзотерическая, и привлекает одновременно).
И если есть интерес отвечать на такого сорта вопросы, может быть кратко изложите апологию операторных алгебр, почему Вы их изучаете и какие общематематические результаты (что бы это ни значило) они дали.
Потому что все мне известные вещи (многочлены Джонса, cyclic homology) хоть и вышли исторически из о.а., были потом изложены очень просто в других, более естественных контекстах, и вобщем ничего специфически операторноалгебраического не содержат.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про меру я уже написал на MathOverflow.


Современные теория операторных алгебр является
простейшим подходом к некоммутативной геометрии,
в частности, к некоммутативной топологии (C*-алгебры),
некоммутативной теории меры (алгебры фон Нойманна),
и особенно к некоммутативной дифференциальной геометрии
(спектральные тройки).
По-другому это пока и излагать не умеют.

Вообще приложений куча.
Например, некоммутативная геометрия
может нормально изучать факторпространства, которые
обычным способом изучить нельзя (например, тор,
профакторизованный по кривой с иррациональным наклоном).
А ещё есть приложения к ренормализации и стандартной модели в физике,
теории чисел и мотивам, и многие другие.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы считаете, что некоммутативные факторы реально полезны?:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Полезны для чего?
Они активно используются в физике,
в частности в квантовой теории поля.

Встречный вопрос: А мотивы — реально полезны?
Кстати, Connes некоммутативную геометрию и к мотивам активно применяет.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Про теорию поля не особо в курсе (хотя слышал, что ветер дует оттуда:)), спасибо. Вопрос в том - можно ли считать такие факторы полноценным расширением обычной алгебраической геометрии?:)

Мотивы якобы бывают интересны даже физикам.:) А так - они в последнее время стали языком, на котором имеет смысл говорить. Можно реально понимать какие-то новые вещи про разные когомологические теории.

(Reply to this) (Parent)

Малость слажал: скорее, некоммутативные факторы надо сравнивать с комплексной униформизацией абелевых многообразий.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Честно признаюсь, не могу понять, при чём здесь абелевы многообразия.
Нельзя ли поподробнее.
Фактор — это алгебра фон Нойманна с тривиальным центром,
в каком-то смысле это максимально некоммутативное
измеримое пространство.
Найти геометрические образы для фактора совсем не просто,
Конн в своей книге даёт примеры для слоений.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ну как, при чем - комплексный тор часто бывает абелевым многообразием.:)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А, понял, имеется ввиду фактор абелева многообразия по хитрому слоению.

(Reply to this) (Parent)