>Наивные определения идут лесом.

Нэт! Мне нравится индуктивный подход, особенно в изучении.

>Ты сразу ушёл в неверном направлении: надо мучительно разбираться, почему
>квадрат любого бесконечного множества ему равномощен, а не баловаться с
>наивными примерами для мат. кружка 6-го класса.

Это я запостил в надежде, что кого-то красивая простая задача возбудит и стимулирует к дальнейшему изучению математики.

>Я рекомендую взять книжку Бурбаков "Теория множеств", читать её почти всю, а
>теоремы стараться доказывать самостоятельно до прочтения доказательств. Если легко осилишь,

Дело в том, что я, наверно, немного глуп в этом плане. Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать, но у меня не получилось особо продвинуться.

Но предложения зачитываются!

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Дело в том, что я, наверно, немного глуп в этом плане. Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать, но у меня не получилось особо продвинуться.
Ты, вероятно, более физик, чем математик.

Но многие математики на мат. логику и теорию множеств кладут, так как профессионально в рамках их области они не требуются, так что это, конечно, метафора, а не диагноз.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Ты, вероятно, более физик, чем математик

Я в большей степени программист (т.е. формалист), чем математик. В принципе, можно было бы влиться в какую-нибудь область на стыке CS и математики (automated reasoning etc.). Но т.к. формализм - это до некоторой степени таки диагноз, эту болезнь хорошо бы подлечить.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Срочный вопрос можно?

Тут тебя мы обсуждаем и толкуем (ты, кстати, в компании Кантора, например), про этот комментарий возникла идея: "… область на стыке CS и математики…"— и gastrit считает, что это "как раз всякие содержательно понимаемые иерархии Клини-Мостовского, а никак не АТМ."

Можешь разрешить толкование?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Прежде всего, я извиняюсь, что до сих пор не изучил вашу дискуссию и не вклинился в неё. Объективно смотря, ваш уровень владения обсуждаемыми вопросами выше чем мой, и я не уверен, что я могу сказать нечто апостериори содержательное. На следующей недели у меня будет время, надеюсь, прочесть весь диалог.

Опасаюсь я также делать любые обобщённые выводы касательно места формализаций и формального подхода в математике. Тем не менее, могу поделиться своими субъективными ощущениями в этом отношении. Если нужно будет раскрыть их в большей степени, скажите.

Как любой изучавший математику на (экс-)советском пространстве, я испытывал влияние как "бурбакистов", так и их ярых противников. Ещё до того, как прийти в университет, у меня был нескольколетний опыт программирования, и это сыграло, как я теперь понимаю, существенную роль в выборе симпатий.

Мне действительно нравился уровень формализации преподаваемого материала. Скажем так, там никто не употреблял до-бурбакистского $\subseteq$, но всегда $\subset$ в его значении. Более того, мне казался недостаточным и тот уровень формализации.

Опуская подробности скажу, что то ли я был ленив, то ли занимался кодингом вместо изучения математики, но в результате в изучении чистой математики я не особо продвинулся. Вторичную роль, как мне кажется, сыграл тот факт, что я хотел изучать её в высокой степени формализации - до мельчайших деталей. В моём случае это превратилось, мне кажется, в болезнь. В моём случае для продуктивных занятий математикой нужно подлечить эту склонность к формализации - результат занятий программированием (которое, по известному мнению, в гораздо большей степени строгий процесс, чем занятия математикой, требующий от мозга несколько иных качеств).

С другой стороны, можно принять слабость за силу, и развивать или смещать акцент деятельности в те области математики, которые требуют видоизменённых, но всё же схожих качеств от человека, и порой навыков программирования. Опуская за скобки прикладную математику (которой я и так занимаюсь) и алгоритмы, должен сказать, что я имел в виду примерно следующее. Логику и её приложения - AR (automated reasoning), включая ATP (automated theorem proving). Метаматематику, возможно, на стыке с формальными грамматиками, теорией типов и компиляции. CAS - computer algebra systems, символьные вычисления. И я не могу назвать чего-нибудь сверх этого, т.к. не обладаю знаниями, e.g. ни о иерархиях Клини-Мостовского, ни о специфических Тьюринг-машинах. Что касается теории множеств и её аксиоматики, не владею предметом пока, и к сожалению.

Возвращаясь к чистой математике вообще, можно утверждать, что формализация теорий, даже математики в целом - вопрос исключительной важности, недооцениваемый на данный момент. Мы давно подошли к черте ограниченных возможностей человеческого мозга, когда продвижение науки в силу этих ограничений замедлилось. Давно пора искать пути к тому, чтобы "научить роботов математике", что бы это ни значило: "усилители интеллекта" (зачаток которых - CAS) или "выращивание информации" по Лему (зачаток которых - AR). Так или иначе, сама сущность математики, как объекта, позволяет говорить, что математика формализуема.

Хорошо бы, конечно, осуществить шаг от возможности к реализации этого. Отчасти "бурбакизация", насколько я понимаю, ставила такую цель.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Некоторые пояснения на всякий случай.

Сам я формализацию (каким бы странным это ни показалось в свете обсуждаемой ветки) очень даже люблю. И ЭВМ в работе (в том числе при доказательстве математических утверждений) с удовольствием использую. И вопросы в стиле "напишите программу, делающую то-то и то-то" на экзаменах по матану и прочим непрограммистским формально предметам задаю регулярно (практика показывает, что мозги такая постановка весьма проясняет). Но есть одно маленькое «но»: формализация — это не более чем средство, причём далеко не универсальное. Исчерпывающим образом формализовать представление об истинности суждения нельзя даже в арифметике (теорема Гёделя). Кроме того (и это как раз главное) — любая задача ставится и решается потому, что это зачем-то нужно человеку. И вот это самое «зачем-то» — с которым в обязательном порядке будет потом связано и признание/непризнание предложенного решения правильным! — формализовано быть никак не может.

Если переоценить значение хорошей вещи, её можно превратить в плохую. Крайности-то сходятся.

> Давно пора искать пути к тому, чтобы "научить роботов
> математике", что бы это ни значило

ИМХО, это значит то же самое, что и "научить синхрофазотрон физике": робот — это машина, используемая человеком для экспериментальной проверки его математических представлений (как и синхрофазотрон — машина, используемая для экспериментальной проверки человеческих взглядов на физику). Изменения в используемой при научной работе технике, безусловно, не могут не сказаться на характере науки — но дело тут не в "исчерпании способностей мозга", а в изменении предмета исследования (были гирьки с верёвочками, стали синхрофазотроны; были счёты с логарифмическими линейками, стали роботы). Задачи-то роботу всё равно ставит человек, и проверку правильности решения (в форме доказательства корректности программы робота, например) делает тоже человек.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но есть одно маленькое «но»: формализация — это не более чем средство, причём
>далеко не универсальное.

Как средство действительно не универсальное, но с другой стороны, как объект-текст, математика приобретает свой "родной" облик только после формализации.

>Исчерпывающим образом формализовать представление об истинности суждения
>нельзя даже в арифметике (теорема Гёделя).

Для меня теорема Гёделя - оптимистичный результат, показывающий, что математикам всегда будет чем заняться. Тем более сейчас, когда есть угроза, что возможности экспериментальной физики будут вскоре исчерпаны.

>Кроме того (и это как раз главное) — любая задача ставится и решается потому, что
>это зачем-то нужно человеку.

Как платоник, я не поддерживаю эту точку зрения. Наоборот, по меткой метафоре Лема, сообщество математиков напоминают сумасшедшего портного, шьющего одежды для всевозможных, включая экзотических и не существующих, существ. К тому же, судя по словам Манина, осмысленно не пытаться решать всевозможные поставленные задачи, а развивать теории, и возможно, позже существующие задачи включатся в классы решаемых теориями задач.

>Задачи-то роботу всё равно ставит человек,

Компьютеры текущей архитектуры создавались свободными от целеполагания. Но даже для этих компьютеров можно написать программы, порождающие те или иные цели, не так ли? Т.е. робот может ставить задачи другому роботу, а генерировать их - да хотя бы и случайно.

>и проверку правильности решения (в форме доказательства корректности
>программы робота, например) делает тоже человек.

Ну почему же. Корректность часто проверяется программно, например, в компиляторах типизированных языков или в "контрактном программировании".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> как объект-текст, математика приобретает свой "родной" облик
> только после формализации.

Ничего не понял. Имеется в виду, что объектом рассмотрения в математике являются тексты (образующие "неинтересное" счётное множество, кстати), или что-то другое?

> Для меня теорема Гёделя - оптимистичный результат,
> показывающий, что математикам всегда будет чем заняться.

...без боязни конкуренции со стороны роботов. Я ровно об этом и говорил.

> Как платоник, я не поддерживаю эту точку зрения.
> Наоборот, по меткой метафоре Лема, сообщество математиков
> напоминают сумасшедшего портного,
> шьющего одежды для всевозможных, включая экзотических
> и не существующих, существ.

Будучи гнусным эпикурейцем, сразу задаю вопрос: а чем этот портной питается? Подозреваю, на существующих и платежеспособных существ он тоже всё-таки что-то шьёт :-) Это не говоря уже о том, что сам портной — тоже человек (и его внутренняя потребность сшить нечто, тем самым — тоже человеческая).

> Но даже для этих компьютеров можно написать программы,
> порождающие те или иные цели, не так ли?

Марионетка остаётся марионеткой независимо от длины верёвки, на коей она дёргается. В сколько итераций код не порождай — всё равно это будет алгорифмический процесс обработки некоторых внешних данных.

> Ну почему же. Корректность часто проверяется программно

Это опять же простое удлинение верёвки. Компилятор ведь не сам себя написал.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>> как объект-текст, математика приобретает свой "родной" облик
>> только после формализации.
>
>Ничего не понял. Имеется в виду, что объектом рассмотрения в математике являются
>тексты (образующие "неинтересное" счётное множество, кстати), или что-то
>другое?

Ну, текстов настоящих всегда конечное даже множество. Я подразумевал платоновский объект - условно говоря, всевозможные наборы аксиом и теории, из них порождаемые. При этом, имманентно представимое текстуально.

>> Для меня теорема Гёделя - оптимистичный результат,
>> показывающий, что математикам всегда будет чем заняться.
>
>...без боязни конкуренции со стороны роботов. Я ровно об этом и говорил.

На нашем веку роботов нечего бояться, а потом, возможно, они раскочегарятся.

>Будучи гнусным эпикурейцем, сразу задаю вопрос: а чем этот портной питается?

Известно, что учёные вообще, а математики - тем более - паразитируют на обществе, невесть каким образом заставляющие его кормить их, пока они удовлетворяют собственное любопытство.

>Подозреваю, на существующих и платежеспособных существ он тоже всё-таки что-то
>шьёт :-)

Иногда приходится, особенно прикладным математикам.

>сам портной — тоже человек (и его внутренняя потребность сшить нечто, тем самым —
>тоже человеческая).

Есть такая тенденция, и таких математиков можно условно назвать физиками. Есть и другая часть, шьющих одежды всяким бесконечноногим осьминогам и т.п.

>
>> Но даже для этих компьютеров можно написать программы,
>> порождающие те или иные цели, не так ли?
>
>Марионетка остаётся марионеткой независимо от длины верёвки, на коей она
>дёргается.

В таком случае задаю вопрос. Каким образом мы сможем понять, что марионетка перестала быть таковой и обрела собственную волю? В предположении, что это возможно, разумеется.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я подразумевал платоновский объект -
> условно говоря, всевозможные наборы аксиом и теории,
> из них порождаемые.

Рассматриваемые именно как объект, а не как средство? Вопрос крайне существенный; половина дискуссии с ppkk была как раз об этом: для него аксиоматики ни в коей степени не являются объектом (все мои попытки указать на такую возможность немедленно натыкаются на его вопрос "а что такое реальность"), они для него именно что средство изучения "свойств" неких платоновских "невидимых" (вроде рентгеновских лучей при флюорографии — там ведь они тоже есть средство, а не объект исследования).

> паразитируют на обществе, невесть каким образом
> заставляющие его кормить их, пока они
> удовлетворяют собственное любопытство.

Плох тот паразит, который не догадывается о наличии упаковки дуста в дальнем углу аптечки :-)

> Каким образом мы сможем понять,
> что марионетка перестала быть таковой
> и обрела собственную волю?

Тем же самым способом, каким выясняется наличие собственной воли у людей (особенно "низших"): через осуществление оной воли посредством гильотины. Вопросы признания/непризнания чьей-либо дееспособности в тиши тёплых кабинетов вообще никогда не решаются.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Рассматриваемые именно как объект, а не как средство?

Конечно, природа математики двояка, как минимум, это и объект, и средство (например, язык физики). Мне, однако, субъективно нравится рассматривать её как объект, самоценный в своей элегантности. Отсюда немедленно проистекает оправданность построений, не имеющих никаких применений. И если они обладают стройностью, красотой, то можно рассматривать их в т.ч. и по аналогии с произведениями искусства - самоценными культурными объектами.

>Тем же самым способом, каким выясняется наличие собственной воли у людей
>(особенно "низших"): через осуществление оной воли посредством гильотины.

Я не понял про гильотину, что это за метод такой?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> это и объект, и средство (например, язык физики).

Физика тоже и объект, и средство (для техники, к примеру). Я имел в виду несколько другое: когда у нас есть физический расчёт (скажем, энергетических уровней электрона в атоме водорода), то что является тут объектом математического исследования — свойства атома (тогда текст есть средство), или же правила проведения выкладки самой по себе, безотносительно к её связи с приложениями (и тогда текст есть объект)?

Вопрос не праздный, так как то обстоятельство, что текст и правила работы с ним могут быть самостоятельным объектом изучения, нередко вообще упускается из виду (к вопросу о крокодилах).

> Отсюда немедленно проистекает оправданность построений,
> не имеющих никаких применений.

Проблема в том, что эти построения можно трактовать по разному. Допустим, что мы осуществили некий вывод в некоей формальной теории (той же ZF). Итог этих действий можно подвести таким образом: «в рамках ZF выводима формула A» — это будет некое верное суждение о тексте как объекте. Но можно то же самое сформулировать и иначе: «множества обладают такими-то и такими-то свойствами» — здесь текст из объекта становится средством, под него подсовываются какие-то дополнительные сущности (причём связь между этими сущностями и теми текстами, с которыми на самом деле ведётся работа, не установлена в ходе какого-то исследования, а попросту постулирована — то есть, если называть вещи своими именами, высосана из пальца). Против первого подхода я ничего не имею (независимо от наличия/отсутствия приложений: хотите играть в игрушки — играйте), второй же мне представляется мошенничеством.

> Я не понял про гильотину, что это за метод такой?

Дано: французское дворянство, отрицающее "наличие собственной воли" у третьего сословия.
Построить: общество, в котором это "наличие" всеми признаётся.
Решение: мешающее дворянство в полном составе отправляется на гильотину.

Вненаучно, зато действенно. Собственно, на самом деле и в науке картинка примерно такая же: известна же фраза Планка, что новые истины побеждают не оттого, что их противников удаётся убедить, а оттого, что эти самые противники постепенно вымирают.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

В моём случае курс на изучение формальное изучение математики, если не ложен, то должен быть вторичен. Формализации (если речь о формализованных учебных текстах) обременены деталями настолько, что теряется суть и идея. Судя по опыту, мне, равно как и большой, если не большей, доли студентов, подходит индуктивный способ изучения материала. От простого к сложному, от наивной теории к обобщениям, от схем к деталям. Так появляется понимание или его иллюзия, невозможные при дедуктивном подходе, когда сначала изучается максимального уровня обобщение, а всё остальное как частные его случаи. Студент не видит связей и не улавливает идей доказательства (которые, возможно, можно понять, увидев их на простых случаях).

Мне иногда кажется, что математика, как платоновский объект, плохо совместима с человеческим разумом, и разум этот ищет наиболее подходящие ему представления математического объекта. Побочный вопрос, который меня занимает много лет - что значит понять ту или иную теорию? Что есть понимание?

(Reply to this) (Parent)

> Т.е. я пробовал брать эту книжку и так делать,
> но у меня не получилось особо продвинуться.

Тебе всерьёз кажется, что их книги можно использовать как учебники? Не верю.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А можно использовать книгу Ленга для изучения алгебры?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я не настолько хорошо знаю предмет, поэтому ничего не могу сказать.

Пока что мне кажется, что для знакомства с абстрактной алгеброй (если знакомиться сразу после школы) эта книга не подходит.

(Reply to this) (Parent)