Ну, основная идея в том, что в математике оков нет. Я неоднократно встречал высказывание, что определить предмет математики нельзя - это почти всё, чем занимаются математики :-).

Это в физике, в биологии есть ограничения. А в математике есть наоборот нечто шизоидное - люди придумывают миры, совершенно непохожие на наш, устанавливают свои правила-оковы и исследуют эти миры. Единственное ограничение - абсолютная рациональность. Ну иначе совсем шизофрения получается :-).

И чем проще изначальные условия такого математического мира и чем он более разнообразен, тем круче математик, его придумавший :-). Вот, возьми теорию групп или топологию - это натурально полёт фантазии.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Математика просто не является наукой. Но оков у неё полно.

Единственное ограничение - абсолютная рациональность.
Внутренняя целостность скорее: если установил правило, то, не отменив его, нарушить не можешь.

Вот, возьми теорию групп или топологию - это натурально полёт фантазии.
Не замечал.
Большой монстр, например,— это засада, а не полёт фантазии. http://ru.wikipedia.org/wiki/Классификация_простых_конечных_групп
Прикладная теория групп или доказательства интересных теорем требуют дикой сосредоточенности и могут быть ужасно однообразными. Чтобы хоть как-то почувствовать этот "полёт фантазии", надо свыкнуться с тем, что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы.
По отношению к школьному образованию не до полёта фантазии… Хотя интересного и простого хватает, конечно, для вполне приличных курсов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Математика просто не является наукой.

Если не заниматься Попперовским онанизмом, а пользоваться общеупотребительными терминами, то является (я только что посмотрел в БЭС и БСЭ).

> Чтобы хоть как-то почувствовать этот "полёт фантазии", надо свыкнуться с тем, что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы.

Да нет, конечно. Нужно несколько свыкнуться с правилами манипулирования объектами. Вот скажи мне, какие жуткие манипуляции с формулами нужны для осознания того, что сферич. гармоники - это базисные функции неприводимых представлений группы вращений? Да никаких.

А задачи про спички, козу и капусту и т.д.? Там вообще формул нет - удобнее совершенно другой тип записи. А тем не менее, это математика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

(я только что посмотрел в БЭС и БСЭ).
"наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира"— не могу согласиться с этим определением.
Ты выше писал: "А в математике есть наоборот нечто шизоидное - люди придумывают миры, совершенно непохожие на наш,"— я так понимаю, что ты тоже с ним не должен соглашаться.

Нужно несколько свыкнуться с правилами манипулирования объектами.
свыкнуться с тем, что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы
Я именно это и имел в виду.

какие жуткие манипуляции с формулами нужны для осознания того, что сферич. гармоники - это базисные функции неприводимых представлений группы вращений?
Давай спросим у случайных восьмиклассников из случайных школ, раз уж мы о школьном образовании?

А задачи про спички, козу и капусту и т.д.? Там вообще формул нет - удобнее совершенно другой тип записи. А тем не менее, это математика.
Согласен. Это важные и полезные задачи. Локхард на этом внимания не заострял.
Формулы появляются при усложнении задач. Как и в задачах о рыцарях и лжецах: поначалу решаешь в уме, потом что-то пишешь словами, потом либо не решаешь, либо какие-то таблицы рисуешь если не хуже.
Я утверждаю, что многими уже школьными теориями на практике не воспользоваться без натаскивания, а значит и для изучения основой является натаскивание.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> что ты можешь с удовольствием фигачить и фигачить длинные сложные формулы

Нет, я не могу с удовольствием фигачить формулы. Наоборот, я считаю это довольно занудным делом. Вот понять, как берётся нетривиальный интеграл интересно, а делать муторные алгебраические преобразования - нет.

> Формулы появляются при усложнении задач.

Но это не обязательно вещественные числа, не обязательно алгебраические формулы! Это может быть геометрия или ещё что.

Даже в алгебраическом случае можно иногда решать задачи геометрически. Классический пример - сумма ряда (0.5)^n.

> Я утверждаю, что многими уже школьными теориями на практике не воспользоваться без натаскивания, а значит и для изучения основой является натаскивание.

Вот главная точка преткновения - я не считаю, что основа - натаскивание. Натаскивание - это необходимая штука, но не основная, так, для лучшего запоминания.

А основная - это обучение пониманию структур, взаимосвязей, так чтобы человек мог сам что-то доказывать. Пусть, не очень строго.

Для этого, само собой, ему нужен некоторый базис. Однако этот базис - не формалистика.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Наоборот, я считаю это довольно занудным делом.
Кто ж не считает. Но почему-то когда увлечённо занимаются чем-то "незанудным", листочки с выкладками плодятся.

Даже в алгебраическом случае можно иногда решать задачи геометрически.
Я целую книжку читал о том, как упростить усвоение курса линейной алгебры за счёт геометрии. Кто ж спорит.
Но если человек не владеет геометрией, если он не натаскан на опознание софизмов (Локхард пишет о контрпримерах, я на уроках изучал со школьниками примеры из книжки "Контрпримеры в анализе", сам школьником изучал софизмы: это может быть похоже на игру, но игру против интуиции и фантазии, игру по заковыванию себя и натаскиванию), то это ему вряд ли поможет.

это необходимая штука, но не основная
Ну, если есть согласие, что необходимая, то порядок. А вот "понимание структур, взаимосвязей, так чтобы человек мог сам что-то доказывать" — это не необходимое. Потому что необходимый минимум относится к математике-науке, которая о действительном мире, и надо хотя бы формулы уметь применять для общепринятых математических моделей реального мира.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Я целую книжку читал о том, как упростить усвоение курса линейной алгебры за счёт геометрии.

Какую?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Это не особо важно. Я тогда даже педагогом не был: дома валялась, вот и почитал: Артин Э. Геометрическая алгебра Наука 1969. Легко находится в интернете.

Кстати, у Рыжика на первый взгляд — обычные педагогические рассуждения, которые интересны деталями, но типичны. То есть: это я хорошо отозвался. Например, в "Науке и жизни", кажется, он ЕГЭ ругал — мне очень не понравилось.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо.

Т.е. типична ругань "логического" подхода и призывы на переход к "историческому"?

Мне кажется, что Локхард и Рыжик серьёзно перекликаются. С другой стороны, Рыжик очень сильно драл уши за формалистику - "грязный" рисунок и орфографические ошибки. По крайней мере, с 5 можно было легко попасть на 4.

С третьей стороны, у него курс состоял из задач. А задачи были интересные и разные. Т.е. метода преподавания такая - дома читаем параграф, обязательно несколько раз, затем в классе вопросы по нему и решения задач у доски (по домашним)/в классе (новые). Иногда проверочные.

Рассказать задачу у доски - привилегия.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Почему "логический" подход работает хреново, в общем-то понятно - наши мозги прекрасно воспринимают информацию, когда она специальным образом ассоциирована. Когда есть много чётких связей, много побочной доп. информации, желательно эмоциональной.

А вот беспорядочный набор информации или логически сухой запомнить тяжело.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Для чего работают?

И не лучше ли "исторический" подход делать с выдуманной "историей", например? И чем он тогда будет отличаться от "логического"?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Для чего работают?

Для запоминания.

> И чем он тогда будет отличаться от "логического"?

Постановкой проблем, решая которые, ученики должны частично формулировать сами правила общения с объектами. Т.е. учитель должен не выдавать решение сразу, а заставлять его найти, естественно, подправляя направление мысли ученика. Это у Рыжика скрыто, но это тем не менее, подразумевается под "историческим подходом" - см. вопросы ученику курсивом.

И это как раз полностью совпадает с Локхардом, который как раз и упирает на то, что оригинальные задачи у учеников отбираются, а вместо этого им даются уже составленные алгоритмы.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

полностью совпадает с Локхардом
Локхард крайне неконкретен, с ним если и может что-то пересекаться, то не "совпадать", тем более "полностью".

а вместо этого им даются уже составленные алгоритмы
Уточню. Настоящая история, по-моему, никого не волнует в этих вопросах.
Можно давать разные упражнения и при "логическом" подходе, так что по сути будут повторены преимущества "исторического" подхода. Это вопрос наличия времени, важности "понимания", интереса учеников и т.п. Это вопрос педагогических изысков. И Рыжик в заметке стремится к мифическому "пониманию", а не запоминанию.

должен не выдавать решение сразу, а заставлять его найти, естественно, подправляя направление мысли ученика
Это да, только это не особенность Рыжика или Локхарда: упражнения дают практически везде.
Когда доказательств теорем не изучают вообще (а у меня и на мат.-мехе была пара случаев, когда пользовались теоремами, которые никогда не доказывали: ни на этом, ни на базовых курсах), то упражнения носят один характер.
Когда изучают доказательства теорем, когда готовят математиков, то, например, натаскивают уже не на работу с комплексными числами, а на доказательство теорем. Тогда и упражнения другие. И они быстро перестают быть оригинальными, даже если когда-то были такими.

Если есть время и пр., то Рыжик может изучать историю и развитие науки на примере комплексных чисел, упирая на важность "сути" каких-то понятий для чего-то важного только для тех, кто не только в школе будет математику изучать ("забывая" о треугольниках, когда изучается тригонометрия).
Но время есть не у всех. Время обычно есть в спец. школах, куда не всех берут.

что оригинальные задачи у учеников отбираются
Локхард показывает, что ему важна не оригинальность самих упражнений (см. задачу про прямоугольность вписанного треугольника со стороной-диаметром), а какая-то "свобода" изложения. Цель-то у него — искусство, а не "понимание" или "запоминание".

К моей позиции…
Про "понимание" — с продвинутыми школьниками, которые легко натаскиваются на обращение с новыми объектами, можно больше работать над "пониманием": связями с другими областями математики, историей и т.п. Я скорее вижу в этом не самоцель, а попытку усиления мотивированности занятиями математикой.
Про "искусство" — то же самое.

И то, и другое не имеют значения, если школьники не могут оперировать изучаемыми математическими объектами. "Понимание" становится "пониманием" устройства бластеров в фантастическом произведении, а в "искусстве" появляются оковы, но какие-то рыхлые и непостоянные.

И попытка ставить во главу "понимание" при снижении уровня школьников сразу приводит к проблемам, например, с устными экзаменами. В некоторых известных мне случаях экзамен фактически проводили письменно, задавая лишь вопросы в духе: "Что обозначает эта буква?"— для того, чтобы убедиться, что это не бездумно переписанный откуда-то текст.

При повышении уровня школьников (или оторванности от жизни не слишком глупого учителя) та же программа, конечно, может начинать казаться более тупой. Возможно, это приведёт и к "пониманию", и к "искусству", если часов хватает. Но только в этих темах, которые легко доступны (то есть: они почти сходу научились оперировать изучаемыми объектами) этим школьникам, а не во всех подряд.

(Reply to this) (Parent)

Т.е. типична ругань "логического" подхода и призывы на переход к "историческому"?
Конечно. Это же педагогика: надо, чтобы учащиеся усвоили материал, получили "понимание", чтобы это ни значило. Локхард не об этом пишет. А Рыжик нормально пишет заметку о педагогике, причём касательно вполне определённых тенденций, условий, а не вообще. И не о математике самой по себе.

Проблемы выглядят знакомо, я потому написал о типичности.

Рыжик пишет скорее о продвинутых учениках, так что даже если он чем-то может быть похожим на Локхарда, моё недовольство Локхардом прямо на него не перенести.
Даже только одна эта фраза: "Я заметил, что проблема понимания для «продвинутых» учеников не менее остра, чем в массовой школе, хотя и другого характера,"— лишает меня возможностей проводить параллели с Локхардом.

a*b**i
Я в этом смысле больше люблю интуитивное понимание и непонимание "бесконечных сумм". Тем более, что сам специализировался на локальных полях.

От того, что ученики прорешают, к примеру, десятки уравнений про синус и косинус ничуть не углубится их понимание тригонометрических функций. Другое дело—периодические процессы, гармонические колебания, я уже не говорю о ряде Фурье.
Честно говоря, до решения уравнений мат. физики я особой потребности в алгебраической тригонометрии (с преобразованиями и кучей формул) не испытывал. Но Рыжик лукавит: о том, что он считает "пониманием" тригонометрических функций, можно только догадываться. Полагаю, что он схожие с моими потребности имеет в виду. Это не для всех подряд школьников.

В них принят онтодидактический подход.
Не совсем по теме он это заметил. Иначе сразу же изучали бы комплексные числа, а остальные называли бы частными случаями.

здесь я нашел поддержку у Поппера
Несмотря на твоё предположение, я Попперя люто ненавижу. Читал и очень не понравилось (про "Открытое общество" и какой-то бред про теорию относительности: полагаю, что то, что вошло в курс философии, разумнее, но я ему доверять не могу).

Но ведь в школьном курсе математики делается не так, а потому теория комплексных чисел как пар вещественных валится на головы учеников как снег среди ясного неба.
Потому что надо быть весьма продвинутыми школьниками, чтобы одолеть скрупулёзные построения всего от натуральных чисел. Для мат. кружков-то это не редкость.
Но "концентрический" метод в школе остаётся: сложение натуральных чисел изучают раньше сложения комплексных.

Очищенный от случайного, генетический подход погружает ученика в процесс поиска истины, формирующий понимание. (Известно—именно такой подход и есть логический.)
А-А-А!!! Говорить о понимании "понимания" не приходится: партизан Рыжик своего понимания "понимания" не выдаст, уязвлённые вольным обращением с этим словом других ("И абсолютно неясно, что стоит за оборотом: «ученик должен понимать», уже встретившимся в проектах нормативных документов.").

И вот тут-то нашей прыти действовать по аналогии заметно поубавится.
Да, это важный момент. Потому хитрые педагоги и лишают людей понимания ради обучения тому, понимание чего сложно: называют не бяками и люди готовы верить, что что-то понимают.
Некоторые граждане не замечают (или делают вид, что не замечают) компромисса и в довесок требуют "понимания".

В "Проблемной ситуации №7" я уже перестал "понимать" суть заметки и не могу с ней согласиться.

"Если сделать хотя бы это (а есть еще много чего интересного), то можно рассчитывать на куда более полное их понимание"
Среди продвинутых мат. школьников.

Именно ввиду «характерности и мучительности» я полагаю необходимым изучение комплексных чисел в средней школе, причем не только в математической, но и во всякой прочей, а особенно в гуманитарной (в последней—хотя бы знакомство с ними).
И где аргументация? Почему не ограничиться целыми числами как развитием натуральных (для натуральных ab>=a, для целых не обязательно)? Гуманитарная-то школа причём тут?

Статья оказалась слабее, чем мне показалось. Связи с Локхардом не вижу совсем.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Проблемы выглядят знакомо, я потому написал о типичности.

Можешь ли ещё подкинуть литературы на эту тему?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Нескоро: сейчас не до того (хотя и нашёл немало времени прочитать заметки и переписываться…).

Типичность Рыжика на первый мой взгляд — он напомнил семинар по педагогике (и нестандартному анализу; я делал доклад по случайной книжке, она скорее про преподавание для тупых была, там много тонкостей понимания рассматривалось) и рассусоливания преподавателя экстремальных задач (про "глубину" в классической теории вероятностей: какие примеры не надо приводить [тоже тупым студентам], чтобы не делали безумных обобщений).

Систематического педагогического образования я так и не получил (курс собственно педагогики был бредом), а пока работал учителем читал доступные на паре полок с методической литературой (почти всё по математике) книжки, и этой возможности более не имею.

Тему правильного понимания в смысле маловероятности шальных нелепых обобщений я и сам считаю важной, а достаточно конкретные заметки будут полны примеров, чем-то похожих на начало статьи Рыжика.

Сейчас в интернете не нашёл особо интересного из того, что сам раньше читал. Ну, то есть, можно много что читать, и Фройденталя (на "колхозе" есть), например: интересно пишет местами и полемично.

Хотелось бы подытожить так: не исключено, что при сравнении нескольких курсов в деталях, и я, и (ну, гипотетические скорее) Рыжик, и Локхард предпочли бы один и тот же. Причём я бы сказал, что он более сосредоточен на натаскивании, Рыжик — что способствует "пониманию", а Локхард — что подаёт математику как "искусство". А курс не подошёл бы, ибо учащиеся оказались бы не такими, как ожидалось.

(Reply to this) (Parent)

> требуют дикой сосредоточенности и могут быть ужасно однообразными.

Ну это при занятии проф. деятельностью. Опять-таки, дикая сосредоточенность - это прекрасно, а однообразие обычно идёт из-за излишней формализации на начальном этапе док-ва.

Я не знаю, как у тебя, а у меня на лекциях по матану любимым развлечением было "предугадывание" лектора. Поскольку он тормозил, док-ва 3/4 теорем я вписывал в тетрадь раньше, чем он напишет на доске. Доказательства там довольно простые.

Но вот при разработке доказательства я совершенно не рассуждал так формально, как потом было записано в тетради. Наоборот, делалась аналогия или какое-то визуальное представление объектов, а уж потом шла формализация.

А если начинать сразу с формализации, то нихрена бы не вышло. Или вышло с совершенно другими трудозатратами.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

а однообразие обычно идёт из-за излишней формализации на начальном этапе док-ва
Пример: расписывание группы преобразований кубика Рубика.

Я не знаю, как у тебя, а у меня на лекциях по матану любимым развлечением было "предугадывание" лектора. Поскольку он тормозил, док-ва 3/4 теорем я вписывал в тетрадь раньше, чем он напишет на доске. Доказательства там довольно простые.
Я на лекции плохо ходил. На каких-то лекциях такие развлечения были.

я совершенно не рассуждал так формально, как потом было записано в тетради. Наоборот, делалась аналогия или какое-то визуальное представление объектов, а уж потом шла формализация
Ну, если ты систематически тратил на занятия тормозными лекциями время, да ещё и старался, то неудивительно, что натаскался в этой области достаточно, чтобы пользоваться аналогиями и воображением.

А если начинать сразу с формализации, то нихрена бы не вышло. Или вышло с совершенно другими трудозатратами.
Я Локхарда понял так, что, проводя аналогию с тобой, он ожидает аналогий, воображения и "вписывания в тетрадь раньше" вместо хождения на "тормозные лекции".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Пример: расписывание группы преобразований кубика Рубика.

Это отдельная задача на любителя. Тем более, что сейчас можно сделать программу, выписывающую все эти преобразования и таблицу умножения.

> На каких-то лекциях такие развлечения были.

ОК.

> Ну, если ты систематически тратил на занятия тормозными лекциями время, да ещё и старался, то неудивительно, что натаскался в этой области достаточно, чтобы пользоваться аналогиями и воображением.

Я бы не сказал, что аналогия деревянной линейкой с распушёнными концами интервала, а железной линейкой - отрезка в лемме "О покрытии отрезка интервалами" это что-то требующее серьёзных хождений на лекции. :-)

> Я Локхарда понял так, что, проводя аналогию с тобой, он ожидает аналогий, воображения и "вписывания в тетрадь раньше" вместо хождения на "тормозные лекции".

Локхард - радикал, поэтому, естественно, он не прав. Но, в действительности, мне кажется, познание математики без самостоятельного доказательства теорем и фактов невозможно.

А лекции нужны - ведь доказать теорему фигня, вот её придумать, сформулировать, это действительно сложно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Но, в действительности, мне кажется, познание математики без самостоятельного доказательства теорем и фактов невозможно.
Чтобы стать математиком (но не, например, инженером или программистом) — ясное дело. Но к обычному школьному образованию это имеет сложное отношение.

ведь доказать теорему фигня, вот её придумать, сформулировать, это действительно сложно.
Нерешённых важных проблем куча. В одной теории чисел их уже немерянно. Хватает и тех, за которые награды объявлены. Но где батальоны Перельманов-Уайлсов?
Концепция развития математики сейчас (ну, сужу скорее по профессорским байкам: сам-то я что об этом могу знать…), по-моему, слишком "Локхардовская": доказывать не то, что нужно, а то, что легче. И придумывать тогда (то, что будет легко доказывать, да и чтобы солидно выглядело) — да, самое важное.

Я бы не сказал, что аналогия деревянной линейкой…
Может быть, мы не слишком конкретно обсуждаем теоремы.
У меня идеологическое восприятие померкло только курсу к четвёртому. До этого хватало натасканности и способностей перемалывать формулы, чтобы я этой натасканности особо не замечал.

Это отдельная задача на любителя.
Это достаточно типичная, хоть и сложная, прикладная задача на теорию групп. Возня с порождающими соотношениями, перечисление смежных классов и т.п. — типичная прикладная деятельность. Конечно, компьютеры для этого можно нынче использовать, есть и спец. пакеты, но я не пользовался.
А какие ещё тебе в голову приходят задачи на теорию групп?
В топологии прикладное что-нибудь тоже вполне может свестись к муторной возне с какими-нибудь группами.
Фантазия и воображение, конечно, пригодятся для понимания, с какой группой имеешь дело, но сосредоточенность будет также необходима.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Но к обычному школьному образованию это имеет сложное отношение.

Ну, примерно в этом и состоит главный вопрос - какая цель в результате?

> Концепция развития математики сейчас (ну, сужу скорее по профессорским байкам: сам-то я что об этом могу знать…), по-моему, слишком "Локхардовская": доказывать не то, что нужно, а то, что легче.

Если в этом нет идиотизма, то подход очень правильный. Ибо чаще всего нужно целиком истоптать окружающие сложную проблему вопросы, чтобы потом можно было решить саму проблему. В общем, без чёткого понимания того, что происходит, я не готов впрягаться в критику.

> Может быть, мы не слишком конкретно обсуждаем теоремы.

Да не сказал бы. Я просто другие теоремы не помню, как доказывал. Но вот бурбакийской последовательности символов никогда не использовал. У нас мозги не так работают, как Бурбаки определяют математику.

> А какие ещё тебе в голову приходят задачи на теорию групп?

Меня, честно говоря, больше всего интересует ТГ в применении к квантам. В частности, я совершенно не могу запомнить все эти адские "разрешённые" и "запрещённые" переходы без ТГ. Или вопрос о спине.

А если я держу в голове дерево ТГ со связями, всё становится элементарно и, главное, запоминаемо. И эти жуткие Клебш-Горданы, которые для многих физиков - вещь в себе, становятся понятны. И вообще, картина мира становится более цельной.

И для этого не нужно никаких формул - максимум 2 леммы Шура. То, что я держу в голове - это более-менее абстрактные "ортогональности", "представления" и т.д. Я даже закон умножения матриц могу забыть и ничего не сломать :-).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ибо чаще всего нужно целиком истоптать окружающие сложную проблему вопросы, чтобы потом можно было решить саму проблему.
Это противопоставляется "истаптыванию целиком": сложные места не истаптываются, а обходятся. В итоге вытоптанной поляны, чтобы фундамент поставить, нет, только масса лесных тропинок, по которым кто-то убежал на много километров и забыл, с чего всё начиналось и зачем.

Ну, примерно в этом и состоит главный вопрос - какая цель в результате?
Это большая тема. Элементарные логические рассуждения и умение подставлять в формулы — это, видимо, необходимо. Какое-то представление о математике-науке (в узком смысле).

Я просто другие теоремы не помню, как доказывал.
Я вспоминаю теоремы из весьма формальной аксиоматической теории множеств.

И вообще, картина мира становится более цельной.
Да, это очень далеко от общеобразовательной школы.

(Reply to this) (Parent)