В прошлом математическом посте мы обсуждали общие понятия Гомологической Алгебры. Теперь я сосредоточился на на производных функторах и смежных понятиях. Как я писал раньше к гомологической алгебре есть три основных подхода. Изначальный подход Эйленберга-Маклейна (судя по всему он основан на использовании cимплициальных объектов), подход Гротендика «Тохоку», основанный на инъективных/проективных резольвентах. И наконец-то последний метод из диссертации Вердье созданный Вердье и Гротендиком, и использующий производные категории. Последний метод можно назвать самым продвинутым. И я до опять отмечу книгу Гельфанда и Манина «Методы Гомологической Алгебры» лучшей книгой по данной теме. Тем более она в сжатой форме покрывает все темы, которые меня интересовали. Но у нее есть и определенные недостатки. Например, читая ее я часто не мог почувствовать осязаемо, изучаемые там объекты. И я не сказал бы, что все доказательства там разбираются очень понятно. В моменты такой потери почвы под ногами, я брал Вейбеля, написанного в стиле «Тохоку». Там действительно много примеров и все написано очень подробно. Но он для меня даже слишком объемный. И у меня к сожалению не было сил и времени его целиком штудировать. Потому я разбирал там только отдельные главы. Еще один учебник, которые я хотел бы упоминать, это «Cердце Когомологии» японского математика Като Гoро. Он тоже написан с точки зрения производных категорий. Но я хотел скорее его поругать за ложную рекламу. Дело в том, что он преподносится как что-то очень доступное и дружелюбное для новичком. Но на практике это еще более сжатый учебник чем Гельфанд-Манин, практически технический мануал с доказательствами основных теорем. Может кому-то такое понравится. И я слышал, что японская версия этого учебника сильно отличается от англоязычных, и что вот она то действительно дружелюбная и хорошая. Также если искать информацию конкретно по «Производным категориям»p; то можно найти учебник израильского математика Амнона Йекутели с таким названием. Мне он показался крайне техническим и дотошным. Причем выстраивающим всю теорию с самых оснований. Что с одной стороны можно оценить как достоинство. Но для меня это все же перебор. В общем я не могу сказать, что я нашел идеальный учебник даже для себя. Поэтому другим я бы рекомендовал выбирать учебник в соответствии с их личным стилем обучения.

В чем идея производных функторов? Функционально идея в том, что можно взять хорошие, в смылсе точные слева или справа, функторы между абелевыми категориями и расширить их до функторов между цепными комплексами на этих категориях. С другой стороны об этой операции можно думать как об устраниния дефекта неточности с одной стороны путем перехода к категории более больших объектов, а именно цепных комплексов. Причем этот производный функтор можно представлять как функтор из категории коротких точных последовательностей на первой категории в категорию длинных точных последовательностей на второй определенным естественным образом. Также этот новый производный функтор должен быть универсальным среди всех обладающих этим свойством. Что можно понимать так, что этот функтор определяется своим значением на нулевом уровне комплекса. Откуда берутся эти производные функторы? В подходе «Тохоку» обычно берутся проективные (инъективные) резольвенты объкетов, к которым он применяется, и его энные компоненты равны энным гомологиям (когомологиям) соответствующих резольвент, и так получаются правые (левые) производные функторы. Вообще в этой конструкции нет ничего геометрического или топологического. Про резольвенты можно думать как про абстракции решения очень сложной системы уравнений в элементарной алгебре, когда вначале берутся отношения между переменными, собственно система уравнений, потом берутся отношения между уравнениями, потом отношения между отношениями между уравнениями и так далее. Может для тех кто много решал сложные уравнения такие конструкции кажутся естественным. Но не для меня. Можно показать, что если в категории достаточно много проективные (инъективных) объектов, то такие резольвенты всегда существуют. Среди Модулей над кольцом проективные модули всегда будут плоскими, но не все плоские модули будут проективные. Можно думать о плоских модулях них как о модулях обладающих базисом в некотором своем расширение. Но это расширение не должно быть «слишком большим» По теореме Серра-Свана векторные поля на многообразии будут проективным модулем над гладкими функциями. Но в то же время функции зануляющиеся в окрестности какой-то точки не будут. Про инъективные модули можно думать как про модули с абсолютной делимостью. Например, рациональные и действительные числа будут инъективными над целыми, а сами целые над собой не будут. Самые известные примеры производных функторов это Тор и Экст.

Но интересность того подхода, который развивает Гельфанд-Манин заключается в двух идеях. Во первых, значения производных функторов зависят от выбранных резольвент, которые не единственны. Но можно доказать, что у любой такой конструкции будут изоморфные (ко)гомологии и между ними будет существовать квази-изоморфизм. Поэтому имеет смысл говорить не о дельта-функторах, а о функторах между классами эквивалентности цепных комплексов. Категория таких классов эквивалентности и называется производной категорией. Эта новая эквивалентность слабея гомотопической эквивалентности между комлексами. Производные категории можно строить путем «локализации» по квази-изоморфизмам, что похоэе на локализацию колец. Это интуитивно ясная конструкция, но не очень корректна технически. Поэтому Гельфанд-Манин описывает еще одну конструкцию, в котором морфизмы, заменяются на специальные пары морфизмов или крыши. Она очень не интуитивная, но не вызывает вопрос с точки зрения оснований математики. Из теории производных категорий теория производных функторов выводится довольно играючи, хотя она и ощущается как нечто эфемерное. Но другое важно замечание из Манина-Гальфанда заключается в том, что класс объектов, который можно использовать для построения резольвент у каждого точного функтора может больше чем класс проективных (инъективных) объектов. Такие классы Гельфанд-Манин называет адаптированными. Подобный расширенный взгляд и адаптированные классы становится не заменим при обсуждении производных функторов пучков. Например, при работе с функтором глобальных сечений можно использовать подвижные (flabby) пучки. Подвижными называются такие пучки на топологических пространствах, ограничения которых всегда являются сюръекциями. Пучков непрерывных функций в общем случае не подвижный, но подмножествах пространства могут быть определены стремящаяся к бесконечности функции, которые нельзя расширить на все пространство. А каноническим примером подвижного пучка является пучок-небоскреб. И используя пучки-небоскребы можно построить подвижную резольвенту любого пучка. Правый производный функтор от функтора глобальных сечений называется когомологиями пучка. И кажется, что именно эту конструкцию Гротендик называл «гомологической теорией». И в общем случае «гомологическая теория» э тоже самое что и производный функтор.

В целом мне очень понравилось, что Гельфанд-Манин не остановился тут и в значительной степени удовлетворил мое любопытство касательно гомологической алгебры пучков. Этот учебник не останавливается на когомологиях пучков и пучках-небоскребах. Этот учебник показывает что также плоские пучки являются адаптированными к тензорному произведению с фиксированным пучком-модулем. А плоским является пучок, ростки которого являются плоскими в обычном смысле, и определить их не так сложно. Это позволяет определить функторы Тор для пучков. С помошью тензорного произведения можно определить функтор прообраза для любого непрерывного отображения. И поэтому левый производный функтор прообраза выражается через Тор. Для хороших пространств (локльно компатных и первых счетных) можно определить функтор глобальных сечений с компактным носителем. Пучки адаптированные к этому функтору называется мягкими. Любой подвижный пучок мягкий но обратное неверно. Есть очевидная конструкция позволяющая строить мягкие разложения произвольных пучков. Поэтому мы можем определить когомологии с компактным носителем пучка. Если у всех пучков на каком-то хорошем пространсве когомологии с компактным носителем у любого пучка всегда зануляются для какого-то эн, то можно сказать что компактная когомологическая размерность этого пространства не больше эн. Хорошее пространство с конечной компактной размерностью будем называть квази-многообразием. В этом контексте существует функтор прямого отображения с компактным носителем. Причем глобальные сечения с компактным носителем это тоже прямое отображение с компактным носителем, а именно в точку. В общем случае у отображения с компактным носителем нет сопряженного справа. Но он всегда есть у его производного функтора прямого отображения с компактными носителями если наше пространство квазимногообразие. Этот функтор называется обратным отображением с компактными носителями. Если применить обратное отображению в точку с компактными носителями к базовому кольцу, понимаемому как компклекс с одним ненулевым членом, то получится объект в производной категории известный как дуализирующий комплекс. Дуалищирующий комплекс позволяет определить вариант двойственности Пуанкаре для пучков и их производной категории. Эта двойственность также известна как двойственность Вердье. Причем, если наше пространство настоящее топологическое многообразие с краем, причем окальцованное, то можно определить дуализирующий пучок как двойственный к последней ненулевой когмологии с компактными носителями соответствующего кольца. В этом случае единственный ненулевой элемент дуализирующего комплекса будет дуализирующим пучком. Дальше, если многообразие гладкое, то дуализирующий пучок будет устроен как пучок ориентаций на нем, то есть внешняя степень «дифференциальных форм» на нем равная размерности пространства. Если пространство ориентируема то эта конструкция будет одномерным пространством натянутым на «детерминант». Если подставить дуализирующий пучок в формулу формулу двойственности Пуанкаре, ты мы можем найти особый элемент в двойственном пространстве, соответствующий единице. В случае гладкого ориентируемого многообразия с краем это будет интеграл Стокса! Напоминаю, что в конце прошлого нырка в алгебраическую геометрию, мы тоже обнаружили подобие интеграла Стокса для дериваций из алгебры в модуль. Интересно увидем ли мы этот алгебраический «интеграл Стоткса» если применим похожую конструкцию с производными функторами к достаточно хорошему алгебраическому многообразию и этальной когомологии? Но во всяком случае на достатоточно большом классе квазимногообразий мы можем применять производный интеграл Стокса в производной категории.

Одна из тем о которой я не буду много рассказывать это спектральные последовательности. Основная идея спектральных последовательностей заключается в том, чтобы заменить один сложный условно одномерный комплекс на простую условно трехмерную конструкцию, где стрелки на каждом этаже представляют собой «ход конем» соответствующей длины. Это довольно полезная конструкция в изложенном применение гомологической алгебры к пучкам мне пригодилась «Cпектральная последовательность Гротендика», которая позволяет считать производный функтор композиции. Но в математике существует и много других полезных спектральных последовательностей. Я не буду писать об этом, потому что о них довольно сложно писать текстом без опоры на коммутативные диаграммы. И в целом это тема довольно техническая связанная напрямую с вычислением сложных (ко)гомологий. А это все же немного вне моих интересов. Но для тех кому интересны спектральные последовательности есть отдельная книга МакКлири « A User's guide to Spectral Sequence».

Интересный вопрос, что происходит с гомологической алгебры если перейти от пучков на многообразии к пучкам н произвольных топосах Гротендика или даже элементарных топосах. Для каждой такой категории мы вполне можем определить внутренние кольца и абелевы группы. И это приведет к появлению абелевых категорий. И тогда вполне законным становится вопрос, что происходит с подвижными, плоскими и мягкими пучками в этом контексте? Можем ли мы использовать точки, понимаемые как геометрические морфизмы с топосом множеств для решения задач гомологической алгебры также как мы использовали ростки?

В учебнике Гельфанда-Манина есть еще одна довольно необычная глава про триангулированные категории и гомотопическую алгебру. Но напрямую туда я переходить не буду, потому что эта тема тоже не в фокусе моих интересов. Вместо этого я постараюсь перейти к окольцованным пространствам и этальной когомологии. Но вначале я расскажу вам про проективные алгебраические многообразия и начала теории пересечений.