| [ | Current Mood |
| |  cold | ] |
| [ | Current Music |
| | The plastic cloud-The plastic cloud | ] |
Учебники
Итак, недавно я вернулся к работе с Норткоттом. Несколько следующих глав были посвящены дифференциальным структурам аффинных алгебраических множеств. Концепция для определения этих конструкций – вывод. Выводы – это линейные отображения из алгебры L в L-модули, такие, что выполняется тождество Лейбница. Типичным примером выводов является модуль, порождённый частными производными по многочленам от некоторых переменных. Эти выводы очень полезны при изучении расширений полей. Поскольку их можно использовать для изучения того, являются ли определённые конечно порождённые расширения сепарабельными или нет. Тогда касательное пространство алгебраического множества в точке p определяется как множество выводов из соответствующей аффинной алгебры в основное поле, причём модульная структура над основным полем определяется отображением вычисления. Можно показать, что это множество выводов изоморфно как векторное пространство факторпространству максимального идеала, соответствующего точке, факторизованного на его квадрат. Эта конструкция полезна, поскольку позволяет вычислить размерность алгебраического многообразия, вычислив ранг якобиана набора многочленов, порождающих соответствующий простой идеал. Точки с размерностью касательных пространств, равной размерности алгебраических множеств, называются простыми точками. Простые точки образуют открытое множество. Кроме того, Норткотт использует дифференцирования для изучения алгебр Ли, связанных с аффинными алгебраическими группами.
По-видимому, аналогом дифференциальных 1-форм для алгебраических множеств являются кэлеровы дифференциалы. Норткотт не пишет о кэлеровских дифференциалах. Но есть отдельная книга о кэлеровских дифференциалах, написанная Э. Кунцом. Кэлеровы дифференциалы можно определить с помощью универсального свойства, аналогичного свойству тензорных произведений для билинейных, но для дифференцирований. Их также можно определить как факторы ядра отображений умножений в соответствующей алгебре. Это универсальное свойство приводит к тому, что функтор аргументнозначных дифференцирований на алгебре L представим кэлеровыми дифференциалами на L. Это приводит к своего рода «интегрированию по векторному полю», определяемому как билинейное отображение дифференцирований и кэлерова дифференциала. В книге Кунца приведены дальнейшие результаты, показывающие, что для произвольной алгебры по её кэлерову дифференциалу можно построить универсальную дифференциальную алгебру, подобную целой алгебре дифференциальных форм на многообразии. Тем не менее, эти конструкции не несут аналитической или геометрической информации. И это раздел коммутативной алгебры на самом деле.
Следующие главы в книге Норткотта посвящены алгебраическим группам и их теории представлений. Основными примерами диссертаций являются GL, SL, O, SO и другие вариации классических линейных групп. Есть некоторые результаты, касающиеся их алгебр Ли, как я уже упоминал ранее. Сюда входят представления элементов в алгебрах Ли в виде рядов. Взгляд на теорию представлений у Норткотта довольно глубокий. А меня не особо интересует теория представлений алгебраических групп. Поэтому я прочитал эти главы, но решил не плотно как обычно их не разбирать. Я решил, что будет полезнее дальше сосредоточиться на гомологической алгебре или проективной алгебраической геометрии. |