tiphareth: сообщение для связи

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

oort
2011-11-04 13:05 (ссылка)

>типа длина неуплотняемого ряда подпространств, но ценность подобных обобщений сомнительна

вы только что дали определние длины модуля (в случае векторных пространств оно совпадает с обычной размерностью) - максимальная длина цепочки несобственно вложенных подмодулей. отличное определение как раз.

> Поле, наверное, алг. замкнутое. Совершенное -- это где корни любой степени есть? Этого мало, чтобы спектр любого оператора там лежал.

совершенное - это когда любая алгебра над полем сепарабельна (то есть для любого расширения поля расширение скаляров алгебры дает полупростую алгебру, то есть это такие "геометрически" полупростые алгебры как-бы). сепарабельные алгебры классифицируются - это произведения конечного числа матричных алгебр над телами, центры которых - конечномерные сепарабельные расширения базового поля. в случае совершенного поля это приводит к тому, что любая алгебра это конечное произведение матричных алгебр над телами с центром - конечным расширением поля.

я не возьмусь сказать сейчас, насколько это утвердение эквивалентно существованию жорданова разложения, но подозреваю что это одно и то же. надо это выяснить, на самом деле. я сам узнал что такое жорданова форма и разложение месяц назад, к стыду своему. теперь пытаяюсь понять, что же это все-таки такое.

а обычная жорданово разложение работает для совершенных полей, надо просто доказать что любое пространство разлагается в прямую сумму _корневых_ подпространств (вектор v корневой, если (A- \lambda v)^n=0, для каких-то \lambda и n. Все корневые вектора, соответсвующие лямбде какой-то образуют корневое подпространство). это более слабое свойство, чем собственное подпространство, и совершенности поля достаточно для существования "корневого спектра" (или как его назвать?)
корневые подпространства инвариантны.

(опять же аргумент в пользу того, почему не всегда полезно думать об векторах, спектрах и тд, можно упустить обобщение нужное).
хотя понятно что возможны разные обобщения. "категорный" подход элиминирует из рассуждений понятие линейной зависимости и тд (явно по крайней мере), а теория моделей наоборот например предлагает широкое обобщение самого понятия "зависимости" (линейной, алгебраической и тд), в том числе и нестандартные, которые раньше не знали, и пляшет от этого.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-04 13:11 (ссылка)

>а обычная жорданово разложение работает для совершенных полей

там я дальше чушь полную написал, конечно, к тому же про нормальную форму, а не разложение. R совершенно, а нормальной формы может не быть. разложение говорят все таки есть, но я не знаю как это доказать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri83
2011-11-04 19:22 (ссылка)

всё нормально, как раз разложение (в сумму полупростого и нильпотентного) есть над совершенным.

а нормальная форма (матрица) есть только над алгебраически замкнутым

на самом деле "координатные манипуляции" тут заметены под ковёр, в определение совершенности. потому как чтобы доказать, что какое-то поле (скажем конечное, или характеристики 0) - совершенно, надо будет брать в руки алгебру и разваливать её в прямую сумму матричных какими-то чисто конкретными методами.

но это не страшно. главное, применение гауссовых преобразований огорожено и помечено знаком "не влезай, убьёт"

(Ответить) (Уровень выше)

	dmitri83 2011-11-04 19:29 (ссылка)
	..и алсо, по-моему категории этому всему перпендикулярны просто безкоординатная алгебра (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-04 21:00 (ссылка)

плупростой объект, тензорное произведенеие прямое произведение - это "категорные" понятия? вроде во всех определениях использовалось только это.

я кстати не понимаю что имеют ввиду под тру "категорным" изложением линейной алгебры.
ведь нельзя сказать, что категория векторных пространств над полем это категория векторных пространств над полем. нужно же ее задать аксиоматически, как единственную абелевую категорию, с тензорным произведением, нулевыми объектами, суммой, обратными пределами и тд (как кстати однозначно задать? я не знаю, как категории векторных пространств выделяются в моноидальных категориях), причем нельзя обогатить (enrich) множества морфизмов структурой векторного пространства, потому что замкнутый круг как бы, там должна быть еще какая-то структура отражающая базовое поле как-то и тд.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

dmitri83
2011-11-04 22:08 (ссылка)

не знаю, а что, "категорные"? как назовёшь

мне казалось под "тру" категорным изложением понимается такое, в котором элементы _вообще_ не упоминаются, а только стрелки. что конечно всегда можно сделать, только зачем. вернее, хочется сказать: а что, кто-то пытался? и у него получилось?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

oort
2011-11-04 23:07 (ссылка)

категорные это я думаю когда мы делаем высказывание и в нем фигурируют только объекты и морфизмы, и вещи, определенные через это. ну когда на множествах морфизмов есть структура абелевой группы то наверно тоже, хотя труъ-адептъ скажет что нужно говорить что категория обогощена надкатегорией абелевых групп.

вобще в определении категории объекты излишни, так что их упоминание это фигура речи (можно сказать что это класс стрелок, некоторые из которых можно складывать, со всеми аксиомами, а объекты понимать как тождественные стрелки. ну еще добавить что для двух тождественных стрелок подкласс стрелок складывающихся справа с первой и слева со второй - множество (чтобы Mor(A,B) были множествами))

но вообще да, религию делать из этого не надо. это просто алгебраическая структура, типа обобщение группы, техническая и нефундаментальная в перспективе вещь, хехе.
жив же гармонический анализ без категорий, и даже если все там переформулировать в них, то ничего передоказать особенно не получится, вроде как.
кстати похоже что-то подобное имеем с полугруппами в тдс, то есть она определяется, но реально никак не используется (именно полугруппа как алг. структура), а используются методы анализа там, теории меры и тд.
или топология зарисского - ну топология и топология, но топологические ее свойства никак не используются, насколько знаю, нужны совсем другие методы.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	dmitri83 2011-11-04 23:51 (ссылка)
	я как-то тиэйил у чувака - специалиста по полугруппам, хихи. более того, по истории теории полугрупп (имеются статьи по теме)! (Ответить) (Уровень выше)

	(Анонимно) 2011-11-04 23:27 (ссылка)
	Я попытаюсь. И у меня получится. (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -