tiphareth: верхний пост

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

tiphareth
2016-10-28 21:07 (ссылка)

https://www.amazon.com/Axiom-Choice-Dover-Books-Mathematics/dp/0486466248
Comprehensive in its selection of topics and results, this self-contained text examines the relative strengths and consequences of the axiom of choice. Each chapter contains several problems, graded according to difficulty, and concludes with some historical remarks.
An introduction to the use of the axiom of choice is followed by explorations of consistency, permutation models, and independence. Subsequent chapters examine embedding theorems, models with finite supports, weaker versions of the axiom, and nontransferable statements. The final sections consider mathematics without choice, cardinal numbers in set theory without choice, and properties that contradict the axiom of choice, including the axiom of determinacy and related topics

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	vhaeraun 2016-10-28 21:09 (ссылка)
	Спасибо. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

sasha_a
2016-10-28 22:45 (ссылка)

Не знаете ли Вы какого-нибудь человеческого доказательства упомянутого существования?
Стандартное, приведенное в книжке цитированной Мишей и совпадающее по сути с доказательством из (старой) книжки Ленга, оставляет у студентов неприятные ощущения.
Доказательство использующее ультрафильтры наверное более разумно, но для начинающего тяжеловато.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-10-29 00:43 (ссылка)

Для совсем слабых студентов (типа вот этих моих из ULB) достаточно
вложить все в \C и воспользоваться "основной теоремой алгебры"

но вообще, есть теорема о компактности, которую вполне
можно на первом курсе усвоить (хотя трудно), это наверное самое простое

https://en.wikipedia.org/wiki/Compactness_theorem

в Вышке ее давали на первом курсе, но ни один из студентов
ничего не понял, другое дело, что лектор небось и сам мышей не ловил

(Ответить) (Уровень выше)

vhaeraun
2016-10-29 01:11 (ссылка)

Не знаю; но я сам студент, и вряд ли я что-то осмысленное могу вам сейчас про эти вещи сказать. Могу лишь сообщить, что у меня неприятных ощущений не было, наоборот, рассуждение Ленга показалось довольно внятным. Может, это потому, что я перед ним ван дер Вардена читал. Извините. Может быть, через несколько лет отвечу лучше.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

wieiner_
2016-10-29 08:21 (ссылка)

сравнивая Ленга и ван дер Вардена я сделал выбор в пользу последнего и тут же попалась вполне альтернативная книжка Э.Б.Винберга "Курс алгебры", да еще и со звиздой на обложке (правда достаточно корявой)!

(Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2016-10-29 08:30 (ссылка)
	(в Винберге много чего нет, конечно же.) (Ответить) (Уровень выше)

	wieiner_ 2016-10-29 16:05 (ссылка)
	добавлю Вас в друзья! (на всякий случай!) :) (Ответить) (Уровень выше)

	topos 2016-10-29 16:36 (ссылка)
	Упражнение номер 13 к первой главе Атьи-Макдональда — это стандартное (думаю, что да)? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	sasha_a 2016-10-29 19:05 (ссылка)
	Ага. Более коцептуальное, с ултрафильтрами, указано Мишей выше. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

tiphareth
2016-10-30 00:14 (ссылка)

ну, компактность можно и без ультрафильтров доказывать
если мы объяснили студентам теорему Мура, что булевы алгебры суть
то же самое, что непрерывные функции на вполне несвязных
компактных хаусдорфовых пространствах, то компактность
становится тавтологией (то есть та компактность и эта
компактность это одна и та же компактность: нам нужно
существование общей точки в наборе замкнутых множеств,
любой конечный поднабор которого имеет общую точку).
Для теорему Мура ультрафильтры не вредны, но можно без них
на самом деле, правильно, видимо, наоборот: определять
ультрафильтры как дополнения к максимальным идеалам
в булевой алгебре.

А теорему Мура на первом курсе в общем можно объяснить,
хотя студентам будет трудно, а на втором так просто нужно, думаю,
потому что с ней много вещей делаются сильно проще.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	sasha_a 2016-10-30 02:44 (ссылка)
	Здорово! (Утащил к себе.) (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

topos
2016-10-30 11:23 (ссылка)

Это круто, но, по-моему, компактность сама по себе тавтологична и "очевидна" (в формулировке "множество формул первого порядка имеет модель тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество имеет модель"). Но для этого нужно понимать про логику первого порядка, модели, формальные доказательства, теорему о полноте, вот это всё — те вещи, которые обычно рассказывают на первом курсе, и которые благополучно забываются. Думаю, там самое сложное — это понять, в чём содержательный смысл.

Я сам это выучил по современному учебнику Marker, "Model Theory: An Introduction" (Springer GTM 217), где это кратко объяснено на первых страницах, но в предположении, что читатель уже знаком с формальными доказательствами и теоремой о полноте. Там же есть вещи вроде "теоретико-модельного доказательства Nullstellensatz".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

apkallatu
2016-10-31 16:32 (ссылка)

это всё какой-то обидный оверкилл, если кому-то интересно моё мнение

формальные доказательства компактности перпендикулярны, что видно
даже и по формулировке, а доказательство через "конструкции Хенкина"
по-моему никто, кроме логиков, читать не будет (да и сами они,
если честно, не очень читают)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	topos 2016-11-01 03:21 (ссылка)
	Ну мне показалось понятным доказательство через полноту, которое там идет прямо после формулировки теоремы, без всякого Хенкина. Как можно проще и правильнее? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

apkallatu
2016-11-01 20:02 (ссылка)

если обращаться к полноте, это неявно тоже синтаксическое
доказательство. доказательство полноты так или иначе использует
что-то типа конструкции Хенкина.

проще всего через ультрапроизведения, как по мне. для утверждения
такой общности явного доказательства всё равно не будет, уж лучше
по максимуму запихнуть неявность в одну какую-то короткую конструкцию.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	topos 2016-11-03 13:07 (ссылка)
	Понятно, спасибо! (Ответить) (Уровень выше)

sasha_a
2016-11-02 04:38 (ссылка)

Мой вопрос был как излагать для (не жутко способных) первокурсников, желательно без использования слова ультрафильтр, но так, чтобы не заметать мусор под ковер.
Мишино предложение продолжает казаться разумным.

(Ответить) (Уровень выше)

	sasha_a 2016-10-31 23:35 (ссылка)
	Да, любопытная книжка. Спасибо. (Ответить) (Уровень выше)

apkallatu
2016-10-31 16:23 (ссылка)

что за Мур? Moore? утверждение вроде бы ровно теорема Стоуна.

ультрафильтры как раз вещь простая, это ультрапроизведения
объяснять некомфортно, как мне кажется, хотя из них компактность
следует мгновенно (из теоремы \Lo\'s-а)

(Ответить) (Уровень выше)

	topos 2016-10-30 02:07 (ссылка)
	Ну да, вот тут оно изложено, вроде: http://mathoverflow.net/questions/46566/is-the-statement-that-every-field-has-an-algebraic-closure-known-to-be-equivalent (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -