В той статье 1971 года первая мотивация Сигала - теорема, нестабильный случай которой был недавно доказан через операды.

Категория \Gamma сродни категории \Delta. Симплициальное множество - это фундаментальное понятие или дурацкое?

Про \Delta и \Gamma частичный ответ такой.

Есть функтор Т:операды->категории. Точнее - по операде в категории V функтор Т строит категорию internal to V. Далее операды - в категории множеств. Планарный вариант T из терминальной планарной операды uAs_p строит \Delta. T(uCom)=\Gamma, где uCom - терминальная симметрическая операда. T(uAs) эквивалентна \Delta, где uAs - симметризация uAs_p, то есть uAs(n)=S_n.

Пример, где эта конструкция неявно встречается - http://imperium.lenin.ru/~kaledin/math/pira1.pdf
Для любой операды P определен функтор T(P)\to U(P), где U - некоторая известная конструкция. Функтор \hat{C}^{op} из 1.4 - это функтор T(uAs)\to U(uAs). Вся часть 1.4 получается сама собой при правильном взгляде на T.

Конструкция T была обнаружена двумя независимыми путями: при попытке понять как построить \Delta и более сложные категории по соответствующим операдам, и как обобщение известной конструкции из теории категорий на операды.

У конструкции T, как для операд, так и для категорий, есть два естественных источника/определения. Первый - конструкция U. Второй - в каком-то смысле сама конструкция T. У конструкций U и T есть простой некомбинаторный смысл, который без операд не сформулировать.

> теорема
Барратта-Придди-Квиллена, естественный взгляд на которую как раз дан в Categories and cohomology theories. Но тут я перепутал. В недавней статье доказывают некую теорему-1, для чего доказывают теорему-2, уточнение теоремы Б-П-К. Теперь же теорема-1 сама собой получается как следствие из правильного взгляда на то, про что написано выше. Не знаю, получается ли из этого Б-П-К.

Категория - это хороший предпучок над T(uAs). Бесконечность-категории и параметризированные связные спектры - это хорошие симплициальные предпучки над T(uAs) и T(uCom). Можно брать другие операды и получать аналогичные понятия. Например, из операды моноидов-со-следом получается категория, содержащая Delta, Connes cyclic Lambda, и еще что-то. Хороший предпучок на этой категории - это категория, циклический нерв этой категории, и аналог следа.

То есть из трех типов "алгебр", ассоциативной / ассоциативной и коммутативной / ассоциативной со следом, получаются три набора классических понятий. Сейчас соответствие 'тип алгебры -> набор понятий' использует именно операды. Другие способы кодировать типы алгебр не факт, что вообще работают, в любом случае сложнее, и интуитивно должны давать другие категории.

Сначала вы ссылаетесь на идею Сигала, а теперь вас не устраивает ровно та же самая идея Сигала-Гротендика. Оно и понятно. Если исходить из того, что 'кольцо - это дурацкий технический гаджет на абелевой группе', то и идея уровня 'абелевы группы - это Z-модули' будет выглядеть дико.

Какую именно идею Гротендика не усвоили американские топологи? Предпучки Сигала / нерв категории придуманы Гротендиком.

Американцы могли бы чаще применять другую идею Гротендика - искать правильный контекст вещей. Такой контекст может изначально показаться "идиотским бредом". Но похожая идея смотреть на абелевы группы как на Z-модули не является идиотской.

Является ли идиотской идея смотреть на (связные) спектры как на предпучки на Gamma со значениями в "пространствах"?

Популярная идея смотреть на бесконечность-категории как на предпучки на Delta со значениями в категории множеств плоха уже тем, что нет настоящего понимания, почему эта идея работает. Но плоха ли идея смотреть на бесконечность-категории как на предпучки на Delta со значениями в "пространствах"?

Является ли идиотской следующая аналогия?
(параметризированные связные) спектры <-> коммутативные моноиды
бесконечность категории <-> моноиды

Кажется, понял, что вы хотите сказать. В введении к вашей статье про склейку производных категорий сформулированы вопросы про симплициальные множества. Про это напишу в конце.

Подход, про который я писал выше, на ваши вопросы почти ничего не отвечает, а отвечает на вопрос, которым впервые всерьез занимался Том Лейнстер - вопрос, что такое нерв, у чего вообще бывает нерв, и как из понятия категории получается Delta. Развитие идей Лейнстера - Monads with arities and their associated theories. В качестве примера там разобрано, что такое нерв группоида, и показано, что возникает там не Delta, а Delta_sym.

На вопрос Лейнстера есть другой ответ, более простой. В общем случае этот ответ дает другие категории, и есть примеры, где новые категории - правильные. Более же ценно то, что этот ответ существует не сам по себе, а в контексте.

Этот контекст неявно есть в машине Сигала. Реально категория Gamma там - это локализация другой категории. Как известно, на самом деле локализация категории - это бесконечность-категория. Но для Gamma получается обычная категория. Поэтому машина Сигала и работает.

Категории подобные Gamma - тоже обычные категории. А вот какая категория вместо Delta_sym должна быть для группоидов, и категория ли вообще, - это пока не известно. То же самое не известно в случае "локализации категорий" вместо "группоида".

---
Теперь к вопросам из вашей статьи. Если что, я от бесконечность-науки очень далек, и просто когда-то пытался ее понять.

Симплициальные предпучки естественно возникают из локализации.
https://mathoverflow.net/a/58597
https://golem.ph.utexas.edu/category/2010/03/a_perspective_on_higher_catego.html#c032227

Что же до расслоений Гротендика, то сейчас даже аналог соответствия дискретные расслоения <-> предпучки - это что-то нетривиальное. В недавней книге Cisinski это соответствие вроде бы сделано на языке квази-категорий, без ссылок на другие модели, и это соответствие там - один из главных результатов (стр. xii-xiii). Есть ли от этого хоть какая-то польза - не знаю.

Да пошел ты нахуй.