выберем в кольце R над которым модуль максимальнй идеал m

M/mM это артинов модуль над R и следовательно над R/m, то есть это конечномерное векторное пространство

с другой стороны M/mM это тензорное произведение [над R] M на R/m, оно коммутирует с прямыми суммами, то есть получим суммы I и J копий конечномерного векторного пространства, которые изоморфны только когда у них одинаковая размерность, то есть когда I и J равномощны.

Кольцо R, над которым M является модулем, не подразумевается коммутативным.

заебал

ну максимальный идеал все равно должен же быть

Максимальный идеал есть, но фактор по нему --- не тело, а простое кольцо. Если оно не артиново, нам от этого ни холодно, ни жарко.

Скажем, если M --- ненулевой конечно порождённый модуль, а I --- бесконечное множество, то мощность I совпадает с минимальной мощностью множества образующих M^{\oplus I}, и всё ок.

А вот, скажем, если R --- ассоциативное унитальное кольцо, I --- бесконечное множество, V --- это R^{\oplus I}, а E --- это кольцо эндоморфизмов V как правого R-модуля, то E как левый E-модуль изоморфно V^{\times I}, а потому левые E-модули E и E \oplus E изоморфны. В частности, отсюда видно, что разные конечные прямые степени ненулевого конечно порождённого модуля могут быть изоморфны.

Есть ещё такой результат, что если модуль M артинов или нётеров, а I и J --- множества, такие что J конечно, а мощность I строго больше мощности J, то M^{\oplus I} и M^{\oplus J} не могут быть изоморфны.

Доказывается так. Если эти модули изоморфны, то мы получаем вложение с собственным образом модуля M^{\oplus J} в себя и сюръекцию с нетривиальным ядром из M^{\oplus J} в себя. Тогда образы итераций вложения --- это бесконечно убывающая цепочка подмодулей в M^{\oplus J}, а ядра итераций сюръекции --- это бесконечно возрастающая цепочка подмодулей в M^{\oplus J}.

Нётеровы модули конечно порождены.

Остаётся случай артинового модуля M и двух не равномощных бесконечных множеств I и J, таких что модуль M^{\oplus I} изоморфен модулю M^{\oplus J}, по поводу которого и был задан вопрос.

[к обсуждению]

почему артиновость нужна по тривиальной причине: возьмем векторное пространство с базисом мощности card больше континуума, I счетное а J мощности континуума: прямые суммы будут линейными пространствами с базисами мощности card.