Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2018-03-08 01:03:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sleepy
Музыка:Мельница -- Кицунэ
Entry tags:геометрия, геометрия/исключительные голономии, лытдыбр

Хитчин и его алгебраическое данное
Мою guilty pleasure, браузерную версию freeciv, которая была по адресу play.freeciv.org, выпилили. Думал, что поэтому больше не буду заниматься ерундой, а буду тем, чем положено, но какое там -- вместо этого играю во вторую цивилизацию в браузерном эмуляторе DOS (меньше извращаться не выходит, потому что на компьютер у себя в офисе ничего не могу поставить, а просить сисадмина поставить игрушку совсем уж стыдно). Вчера, играя за Троцкого в стандартном сценарии ко второй цивилизации, разгромил нацизм во Второй мировой войне, в союзе с маршалом Петэном покорив Испанию по Танжер. Сидел над этим занятием в офисе до четырёх часов ночи, приехал домой в пять с чем-то, и заснул, почти не раздеваясь. Проснулся примерно в 9-40, а в 11 намечался семинар, где говорили (как не хватает в русском языке будущего-в-прошедшем) что-то про G_2, и очень хотелось мыться и есть. Решил не мучать себя, помылся и поел, и в итоге опоздал всего минут на 20, которые докладчик по американской традиции давал определение того, что такое G_2-голономия. Дальше, впрочем, был тёмный лес -- строились конические метрики с голономией то Spin(7), то G_2, у которых линк также был особым, я конечно ничего не понял, зачем.

А меня занимает такой вопрос. Гипотеза, приписываемая Яу, утверждает, что всякое почти комплексное многообразие комплексной размерности более двух допускает комплексную структуру. Тиан предложил решать это, запуская некоторый поток, который к чему-то такую структуру да сведёт (или же наоборот -- из монотонности каких-то гипотетических инвариантов можно было бы заключить, что не допускает комплексной структуры, скажем, шестимерная сфера). Потоки у него зависят от выбора метрики.

Мы же понимаем, что за уравнением к примеру потока Риччи стоит не метрика, а её связность Леви-Чивиты. Она конечно единственна, и по ней восстанавливается обратно метрика, поэтому вопрос о первенстве тут сродни вопросу о кукушке и яйце. Но в случае, когда никакой естественной метрики не имеется, мне кажется, скорее правильно думать о связности (связности проще метрик, самый простой объект дифференциальной геометрии вообще). Как построить каноническую связность по почти комплексной структуре? Да никак. Можно потребовать, помимо параллельности почти комплексной структуры, чтобы кручение равнялось тензору Нейенхёйса. Такие связности, как доказал Лихнерович, существуют, они составляют аффинное пространство над пространством сечений расслоения \Sym^2_{\C}(T^*) \o_{\C} T. Если комплексная размерность нашего многообразия равняется n, то это расслоение имеет вещественный ранг n^3 + n^2. В частности, при n = 3 это число равняется 36, что совпадает с квадратом вещественной размерности -- вещественным рангом расслоения T \o_{\R} T^*. Таким образом, есть надежда, что для довольно общего эндоморфизма касательного расслоения имеется единственная связность Лихнеровича, для которой оно параллельно. По эндоморфизму можно построить форму объёма, если так окажется, что она параллельна (а как может быть иначе? но полной уверенности у меня нет, там же надо квадратный корень извлекать), то кривизна Риччи этой связности будет симметрична (поскольку её кручение равно тензору Нейенхёйса, выражающемуся через параллельный оператор почти комплексной структуры, и тем самым параллельно, а если связность с параллельным кручением допускает параллельную форму объёма, то его кривизна Риччи симметрична).

А вообще-то мне кажется, что правильный тензор, который можно пытаться требовать иметь параллельным -- это тензор \eta : T --> \Lambda^5(T^*). Хитчин описал \SU(3)-структуры в терминах двух форм, 2-формы и 3-формы, и оператор x \mapsto \iota_x(\psi) \wedge \psi, где \psi -- пресловутая 3-форма, играет у него важную роль. Именно, поскольку \Lambda^5(T^*) \o T^* --> K, где K := \Lambda^6(T^*), -- невырожденное спаривание, имеет место канонический изоморфизм \Lambda^5(T^*) = T \o K, откуда \eta можно воспринять как отображение T --> T \o K. Его определитель есть изоморфизм линейных расслоений K^* --> K^* \o K^{\o 6}. Сокращая K^* с обеих сторон, получаем сечение K^{\otimes 6}. Поскольку всё над \R, а многообразие ориентируемо, то это сечение определяет также форму объёма. Всё то же самое можно проделать для любого тензора \eta : T --> \Lambda^5(T^*), не обязательно приходящим из 3-формы. Но почему-то полной уверенности, что он будет параллелен, у меня нет -- час уже поздний. Вроде не должно быть -- стабилизатор вектора из K^{\o 6} есть группа матриц с определителем \pm 1, и если многообразие ориентировано, то голономия лежит в \SL, откуда получается параллельная форма объёма. Но, опять-таки, возможность извлечь корень 6-й степени из параллельного тензора и получить параллельный тензор меня очень смущает.

В любом случае, что дальше, как писать хоть какой-нибудь поток -- непонятно.

Сегодня должен был полететь к [info]azrt, но у меня нету паспорта, понеже британцы, каким я отправил его в консульство, его зажали, и я не полетел. Я очень надеялся, что рейс отменят, и я смогу получить за него свои деньги -- сегодня был по местным меркам сильный буран (по русским нормальный, за вычетом того, что он ужасно мокрый), и вчера писали, что рейс должны отменить -- но не отменили, и Никон Курносов им улетел. Во время бурана вид был довольно открыточный -- вход в Курант я даже положил у себя в инстаграме, а наряднее всего был вид на Стонвольский памятник, но объектив постоянно залепляло снегом, и я не уверен, что хоть какие-то фотографии получились. Вместо того, чтобы скрипеть, снег на земле таял и хлюпал под ногами, как кишки на поле битвы, и это -- вместе с тем, что я оделся не по погоде и быстро промок -- сильно подмораживало всякую радость. Сейчас наконец-то пообсох, и могу попробовать ехать домой, а то совсем уж засиделся.



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2018-03-08 10:12 (ссылка)
У Родиона оказывается есть инстограмм, лол.
А смешно там у тебя получилось: на одном снимке бюст Джона Парроя Митчела с сосулькой пол носом, а на следующем в окружении икон как бы подпись "Сапля".

(Ответить)


[info]tiphareth
2018-03-08 12:38 (ссылка)
>Как построить каноническую связность по почти комплексной структуре?

Если есть дополнительное условие кососимметричности тензора Ниенхойса, см.
https://arxiv.org/abs/math/0507179
предложение 1.5. Там восстанавливается конформный класс метрики и связность,
но когда Ниенхойс невырожден, на многообразии есть каноническая форма объема, значит есть
и каноническая метрика. Все это в размерности 3. В качестве приложения,
получается, что любое псевдоголоморфное отображение nearly kahler
многообразий -- изометрия. Если отбросить условие кососимметричности,
метрик получается много, и я не знаю, какая из них интересна (для
кососимметричного кручения интересная метрика - та, которая становится
nearly kahler для подходящей почти комплексной структуры)

В размерности >3 аналогичные конструкции никто не рассматривал, но
неинтегрируемая почти комплексная структура - настолько богатый объект,
что и там можно настроить естественных метрик и связностей большую пачку.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-03-08 20:03 (ссылка)
> и там можно настроить
Сомневаюсь -- размерность три особая из-за существования там понятия невырожденной 3-формы.

Но я даже такую простую вещь не понимаю: есть ли у почти комплексных структур инварианты,
кроме тензора Нейенхёйса? То есть Нейенхёйс это типа кручение, а бывает ли кривизна?
Из того, что ты говоришь, следует, что должны бы быть, но вроде бы не бывают (не знаю,
как это доказывать).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-03-08 21:06 (ссылка)
У каждой геометрической структуры есть "intrinsic torsion",
оно лежит в фактор-расслоении всех тензоров кручения $\Lambda^2(M)\otimes TM$
по образу линеаризованного кручения пространства
всех связностей, сохраняющих структуру.

Для почти комплексных структур, "intrinsic torsion" это Ниенхойс.
"intrinsic torsion" есть инвариант первого порядка, отличающий
структуру от (локально) тривиализуемой. Для каких-то геометрических
структур он вообще всегда нулевой (риманова метрика), для других
довольно простой (почти симплектическая структура). Из зануления
кручения тривиализация геометрической структуры следует в
конечном числе случаев, который выписан Картаном и (более явно)
в диссертации Гийемина: комплексные структуры, симплектические,
контактные, локально конформно симплектические, локально конформно
контактные, ну и еще пара пунктов (тривиальных, типа ковекторов
и косимплектической структуры).

Вопрос про
"инварианты кроме" двусмысленный: ты собираешься пользоваться
лично тензором Ниенхойса и полиномиальными выражениями от него?
частными производными? Но в любом случае, для общей комплексной
структуры в размерности > 4 (вещественной) у тебя нет никаких
диффеоморфизмов, сохраняющих Ниенхойса, как следует из статьи,
которую я процитировал, и любой диффеоморфизм, переводящий
ниенхойса одной комплексной структуры в ниенхойса другой
переводит друг в друга и комплексные структуры (это я не
доказал, но вроде так).

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-03-08 21:35 (ссылка)
> инвариант первого порядка, отличающий
> структуру от (локально) тривиализуемой

Формально -- в первом (или втором) порядке.

> любой диффеоморфизм, переводящий
> ниенхойса одной комплексной структуры в ниенхойса другой
> переводит друг в друга и комплексные структуры

Это неверно -- любой диффеоморфизм комплексных многообразий
сохраняет Нейенхёйса, потому что он нулевой. Надо, во всяком
случае, требовать какой-то невырожденности, если это вообще
правда.

В любом случае, почти наверняка поток, который я хочу,
не будет сохранять свойство Нейенхёйса быть вполне
кососимметрическим. Но спасибо, что напомнил про эту статью.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-03-09 13:10 (ссылка)
>Надо, во всяком случае, требовать какой-то невырожденности

само собой

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2018-03-09 00:42 (ссылка)
>и любой диффеоморфизм, переводящий ниенхойса одной комплексной структуры в ниенхойса другой
переводит друг в друга и комплексные структуры (это я не доказал, но вроде так).

Т.е. если они интегрируемые, то вообще любой диффеоморфизм?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-03-09 01:15 (ссылка)
В случае по ссылке они невырожденные. В то, что невырожденные
в каком-либо смысле тензоры определяют канонические координаты,
ещё можно поверить.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-03-09 13:09 (ссылка)
угу: метрика определена тензором, а изометрий общего многообразия не бывает

(Ответить) (Уровень выше)


[info]grigori
2018-03-11 00:53 (ссылка)
вообще вопрос "есть g-структура плоская до k порядка, плоская ли она в k+1 порядке?" решают когомологии спенсера
http://www.ams.org/journals/tran/1965-116-00/S0002-9947-1965-0203626-7/S0002-9947-1965-0203626-7.pdf
для gl(n, C) они все нулевые, кроме тех, в котором живут ниенхойсы. это такой изысканный способ доказать ньюлендера-ниренберга (правда, в формальном сеттинге, в гладком оно совсем не работает).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]deevrod
2018-03-11 01:15 (ссылка)
Ага, спасибо! Кажется, это ответ на то, что я хотел спросить.

(Ответить) (Уровень выше)