Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет ПК ([info]p_k) в [info]ljr_math
@ 2018-01-03 21:13:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Плюккерово вложение и рациональные линейные подпространства
Рассмотрим Плюккерово вложение Грассманиана Gr(n, k) в проективное пространство k-ой внешней степени C^n. В этом проективном пространстве рассмотрим рациональные подпространства размерности достаточно малой, чтобы их пересечение с вложенным Грассманианом имело размерность ноль. Точки пересечения не обязательно рациональны, но всегда алгебраичны.

Вопрос такой - что можно сказать про степень расширения Q, в котором лежат координаты точек пересечения? Я знаю ответ в паре частных случаев (например, при n=4, k=2 это всегда будет квадратичное расширение). И что читать, чтобы научиться такое решать?


(Добавить комментарий)


[info]kaledin
2018-01-03 23:41 (ссылка)
Соотношения Плюккера разве не квадратичные?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]p_k
2018-01-04 00:05 (ссылка)
Сами соотношения да, именно поэтому в случае 4-2 получается квадратичное расширение (там вложение коразмерности 1). Но вообще говоря пересечение определяется системой уравнений 2-го порядка; в случае 6-2, например решение системы дает кубическое уравнение на координаты точек пересечения.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-01-04 02:54 (ссылка)
пересечением квадрик можно получить что угодно
https://mathoverflow.net/questions/11488/varieties-cut-by-quadrics
я так подозреваю, что и тут можно любое поле получить

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]p_k
2018-01-04 08:59 (ссылка)
Но если пересечение имеет размерность ноль, то поле функций на нем должно быть конечным расширением Q, так? Вопрос собственно про верхнюю границу степени этого расширения.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-01-04 15:23 (ссылка)
она равна степени многообразия
то есть, видимо, лçбое поле можно реализовать

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_k
2018-01-04 15:42 (ссылка)
Ну то есть вот при данных конечных n и k так-таки может быть любая степень? В вопросе на mathoverflow не было ограничения на число пересекающихся квадрик, но тут-то оно есть - число соотношений Плюккера конечно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-01-04 16:43 (ссылка)
Т.е., вопрос про степень вложения Плюкера?
Ну это-то наверняка известно (duckduckgo в помощь, самому влом).

Более тонкий вопрос, какие именно поля могут возникнуть, очень интересный, но вряд ли легкий.

Кстати, поле ведь зависит от выбора рационального линейного подпространства.
Иногда это поле просто Q.
Это значит, что правильнее видеть ситуацию как семейство схем размерности 0 (и вместо Q выше должна возникнуть прямая сумма Q...) параметризованное открытым куском грассманиана (не все рациональные линейные подпространсва "понятной" размерности пересекают Плюкера по конечному числу точек).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_k
2018-01-04 17:29 (ссылка)
Т.е., вопрос про степень вложения Плюкера?

О! Спасибо, как раз этого мне и не хватало, чтобы понять вопрос. Вот уже нашел очень педагогический текст на тему: https://arxiv.org/pdf/1508.03010.pdf

Действительно, степень растет быстро (двойной факториал), как Миша и обещал ниже.

не все рациональные линейные подпространсва "понятной" размерности пересекают Плюкера по конечному числу точек

То есть просто условия равенства размерности и коразмерности недостаточно? А как это понять?

И что почитать для самообразования?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]sasha_a
2018-01-04 17:42 (ссылка)
что почитать
Ой, тут не буду (боюсь) советовать. (Чукча не читатель...)
Правильнее всего спросить Сашу Кузнецова.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2018-01-04 18:06 (ссылка)
просто условия равенства размерности и коразмерности недостаточно?
Степень = количество пересечений с _общим_ линейным подпространством "понятной" размерности.
Необщее может пересекаться по схеме размерности >0.
(Например, если подпространство содержит v\wedge W при dim W>1 и k=2.
Вообще, видимо полезно изучить подробней случай k=2).

(Ответить) (Уровень выше)


[info]sasha_a
2018-01-04 17:31 (ссылка)
Может конечно случиться, что в общей точке упомянутого семейства степень поля не совпадает со размерностью алгебры 0-мерной схемы (равной степени Плюккера).
Если понимаю правильно, это эквивалентно в точности приводимости семейства.
Тогда, да, надо считать количество компонент, но неприводимость все же весьма вероятна.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-01-04 17:00 (ссылка)
нет, при данных конечных n и k она, конечно, ограничена степеньç гиперплоских сечений
но может быть довольно большая

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]p_k
2018-01-04 17:31 (ссылка)
Вот выше [info]sasha_a все пояснил¸ и да, степень бысро растет с n и k.

(Ответить) (Уровень выше)