| Равномерные пространства и топологические группы |
[Feb. 11th, 2022|09:50 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  working | ] |
| [ | Current Music |
| | Hidious of Strength | ] |
В своем изучении дескриптивной теории множеств я временно отступил на территорию топологических групп. Дело в том, что я уже изучал эту тему, но когда дошел до польских групп, то понял, что мои конспекты совсем в неудовлетворительном состоянии. И решил совершить регресс.
Равномерные пространства это такая штука, которую придумал Бурбаки, чтобы все ахуели прост. Потому что все раньше думали, что многие фундаментальные конструкции нуждается в метрики, а метрика нуждается в действительных числах. Поэтому казалось, что у действительных чисел особый универсальный статус. А Бурбаки предложил, такую структуру, обобщающую понятие метрики, но выраженная чисто в теоретико-множественном языке без каких-либо отсылок к действительным числам, но со всеми конструкциями. Основная польза от изучения этого это доступ более простом или интересному, кому как, подходу для работы с теми же самыми топологическими группами, векторными пространствами, алгебрами и так далее. Но в действительности от этого подхода всегда можно отойти по желанию. Те кому Бурбаки нравятся его юзает, а те кому не нравятся не юзают. Например Гротендик в своей книги про топологические векторные пространства — его юзает, а Понтрягин в книге Непрерывные Группы — не юзает. Если не изучать всю эту топологическую алгебру то особого смысла в нем и нет.
А зачем изучать всю это топологическую алгебру? Конечно, хорошее знание этой теории упрощает изучение групп и алгебр Ли, унтарных групп Гильбертовых пространств и баннаховых алгебр и других тем, где сами топологические группы появляются естественно, хотя и не являются объектами центрального интереса. Однако какие темы требуют углубленного изучения топологических групп? Изначально эта тема развивалась в контексте решения пятой проблемы Гильберта. Смотри работы того же Понтрягина. При решении этой проблемы развилась теория представления локально-компактных групп с помощью меры Хаара. Решать это проблему по еще одному кругу, наверное, не нужно, но из ее решения вышел абстрактный гармонический анализ. Пятая проблема утверждает, что любую конечномерную непрерывную топологическою группу можно исследовать как группу Ли. Поэтому более абстрактная теория может быть полезна в гармоническом анализе если использовать бесконечномерные или неархимедова группы, например. Не знаю, насколько эта тема сейчас актуальна для исследований. Еще люди изучают кардинальные функции и бесконечномерную динамику. Но, Меня лично в большей степени интересует инвариантная дескриптивная теория множеств, где активно используются польские группы, и грубая геометрия этих самых топологических групп.
Как базовую книжку, как и а прошлый раз, я использовал A. Willansky "Topology for Analysis". Она совсем простая и понятная и там много простых упражнений. Но многих более сложных и серьезных тем там нет. Поэтому я обратил внимание на книгу малоизвестного американского математика W. Page "Topological Uniform Structures". Написана она как раз с прицелом на абстрактный гармонический анализ, поэтому там много относительно интересных тем, включая теория представлений групп и свободные топологические группы. Однако написано она c большим количеством странных авторских обозначений, делающих изложение очень компактным, но требующего больших усилий для понимания. Противопоставить этой книге можно другую книгу с похожим названием Roelcke W. ; Dierolf S. "Uniform Structures on Topological Groups and their quuotients". Тут немцы постарались изложить все максимально понятно, но конечная цель этой книги, изучение почти метризуемых и полных по Чеху групп. А для меня это экзотика, экзотика. Однако на эту книгу стоит обратить внимание еще и вот почему. Судя по всему у Рёлке понимание смысла равномерности топологической группы значительно опережало современников, так как на его конструкции ссылаются и в современной книжке по грубой геометрии.
Можно обратиться и к классике, к Бурбакам, топология 1 у них, кажется, но я этого не делал. Если же вы ненавидите Бурбаков или читаете только по-русски, то можно взять русскоязычную книгу Понтрягина, там никаких равномерных пространств не будет. У Понтрягина книга написана довольно устаревшим языком, но при этом довольно понятная и хорошо читается. Крутится она вокруг пятой проблемы Гильберта, поэтому большое внимание там уделяется проблемам теории представлений и группам Ли. Есть еще энциклопедический труд Архангелского и Ткаченко, но он доступен только на английском и равномерности там все же есть. Поэтому полной победы НАШИХ над клятыми бурбакистами не получилось. Там много топологической экзотики, поэтому я его не читал.
А топологические группы это именно раздел не алгебры или топологии, а именно анализа.
Особо подробно рассказывать про результаты не буду. Но вот, например один, который меня заинтересовал. Это теорема Успенского про то, что любая польская группа изоморфна какой-то подгруппе группы гомеоморфизмов куба Гильберта. Эта теорема доказывается с ссылкой на теорему Келлера о том, что все компактные выпуклые тела в слабой топологии со звездочкой изоморфны кубу гильберта. Интересно, что в 1993 году Агеев опубликовал "топологическое" доказательство теоремы Келлера основанное на теории представлений унитарной группы гильбертова пространства или топологической группы похожей на нее. Отсюда идея придумать некий миникурс, который начинался бы с общей теории представлений топологических групп, потом переходил к представлению унитарной группы, оттуда шло доказательство Агеева теоремы Келлера (понадобиться еще выпуклая геометрия в бесконечномерье), и оттуда уже шла бы теорема Успенского, с возможными крутыми приложениями. Тут главный вопрос не возникнет ли при этом закольцованность аргументов? |
|
|
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}