Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth) в [info]ljr_math
@ 2007-05-17 04:05:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
спектр суммы эрмитовых матриц (Клячко)
Замечательная статья Александра Клячко
"Stable bundles, representation theory and Hermitian operators".

Используя теорему Дональдсона-Уленбек-Яу о
метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении,
Клячко описывает множество всех спектров эрмитовых
матриц, которые могут быть получены как сумма
двух эрмитовых матриц с заданными спектрами.

Если кто забыл, спектром оператора (или матрицы)
называется множество корней его характеристического
полинома. Для эрмитовой матрицы, корни вещественные,
и их можно упорядочить по убыванию. Поэтому спектр
есть подмножество R^n.

В ответе получается многогранник, заданный
простыми неравенствами, которые описаны в терминах
мультипликативной структуры на алгебре когомологий
грассманиана. Феноменально красивый результат!

Ссылка для подписчиков либо платная; забесплатно этой
статьи в сети я не нашел, но усеченная версия есть в архиве
http://arxiv.org/abs/math/0304325
(без доказательств).

А теперь вопрос. Пусть есть две матрицы с
заданными собственными значениями. Известно
ли, какие собственные значения могут быть у суммы?
Хочется ответа в духе полученного Клячко. Хотя
бы в простых случаях.

Привет

(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2007-05-17 07:18 (ссылка)
A. Knutson and T. Tao, “The honeycomb model of gln(ℂ) tensor products. I. Proof of the saturation conjecture,” Journal of the American Mathematical Society, vol. 12, no. 4, pp. 1055–1090, 1999.

A. Knutson, T. Tao, and C. Woodward, “The honeycomb model of gln(ℂ) tensor products. II. Puzzles determine facets of the Littlewood-Richardson cone,” Journal of the American Mathematical Society, vol. 17, no. 1, pp. 19–48, 2004.

see refernces there inside

(Ответить)


[info]kaledin
2007-05-17 07:28 (ссылка)
Конечно известно. Кажется самим Клячко и получено, тогда же. Эта вся деятельность (начатая Клячко, но были и неглупые продолжатели) была популярна лет 10-15 назад, сейчас оно немного подзабылось. Но ссылку сходу не дам. Я в основном при это все узнал из доклада Данилова на семинаре Шафаревича, несколько лет назад.

(Ответить)


[info]kaledin
2007-05-17 07:48 (ссылка)
Это все еще вот где я видел. Года четыре назад Этингоф интересовался определением orbifold cohomology и придумал сравнительно простое доказательство того, что age(ab) \leq age(a)+age(b) для любых унитарных матриц a,b. А потом выяснил, что оно сто лет как известно, методами Клячко, и есть в статье alg-geom/9712013 (это тот же Chris Woodward, на которого указывают выше, с соавтором). Посмотри типа, и references therein.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-24 20:43 (ссылка)
Мне нужно то же, но в симплектической ситуации
(для матриц, которые, как я выяснил, называются
антигамильтоновыми). У тебя нет ли соображений?

Приложения понятные - HKT-метрики на гиперкэлеровом
многообразии задаются \partial-замкнутыми симплектическими формами,
если ж мы забудем про кватернионное действие, у нас
получится много замкнутых симплектических форм. Хотелось
бы иметь какой-то контроль над особенностями и те пе.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2007-05-25 19:33 (ссылка)
Ya kstati kogda otvechal, tolkom ne prochital -- ya dumal, tam est' pro proizvedenie tebe nuzhno pro summu; sorry.

A tak -- nu, mne bez kakoj-nibud' kompaktnosti vse ehto somnitel'no (po toj prichine, kotoruyu nizhe privel [info]southwest@lj. No mozhno podumat' pri sluchae. Chto-to vrode neehrmitivogo Yang-Mills'a na P^1...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-25 20:10 (ссылка)
Ну, след-таки сохраняется. Я подозреваю, что
над половиной собственных значений есть контроль.
Жалко студентов нет, идеальная, в принципе, задача
для аспиранта первого-второго года (причем нерешенная,
я сделал поиск). И имеющая прикладные приложения
("уравнение Риккати" решать)

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2007-05-25 20:57 (ссылка)
>Жалко студентов нет, идеальная, в принципе, задача для аспиранта первого-второго года

Esli reshaemaya. A tam uzhe mnogo kopalis'.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-26 02:20 (ссылка)
Не, совершенно не копались. Я перекопал math.sci.net
на предмет (анти)гамильтоновых матриц целиком. Там статей
может 300 в общей сложности, из них 90% на тему
уравнения Риккати. Содержательная, кажется, одна

William C. Waterhouse, The structure of
alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its
Applications, Volume 396, 1 February 2005, Pages 385-390

При этом "Linear Algebra and its Applications" готова, похоже,
публиковать любую статью, где в названии есть
гамильтоновы матрицы.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2007-05-25 21:04 (ссылка)
Beresh' matricu (a&0\\c&b) i pribavlyaesh' (-a&d\\0&-b).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-26 02:17 (ссылка)
Для матриц 2 на 2, контроль над половиной собственных
значений и контроль над следом это одно и то же

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2007-05-26 02:22 (ссылка)

Уточню, что я имел в виду: если матрицы
антигамильтоновы и с положительными вещественными
собственными значениями, то их сумма имеет
половину собственных значений с положительной
вещественной частью.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2007-05-26 09:38 (ссылка)
Nu a kakaya raznica, kazalos' by -- lyubaya matrica s polozhitel'nymi/otricatel'nymi/lyubymi sobstvennymi snacheniyami daet antigamil'tonovu s polozhitel'nymi/otricatel'nymi/lyubymi sobstvennymi znacheniyami putem udvoeniya.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]oort
2017-11-12 19:38 (ссылка)
я что-то туплю

антигамильтоновых матриц довольно много:
любая блочно-диагональная (A, A^t) годится, (и Ватерхаус показывает, что любая антигамильтонова приводится к такому виду симплектической заменой координат)
то есть даже если рассматривать только а.г. матрицы такого вида (то есть которые приводятся к такому виду в одном базисе), то это задача по сути о спектре суммы двух любых матриц , уже никаких ограничений нет
(кроме суммы следов и знания, что собственные значения идут парами)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2018-01-17 14:10 (ссылка)
вопрос был, какой может быть спектр суммы, если
известны спектры слагаемых

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2018-01-17 14:36 (ссылка)
(причем одна из них фиксирована)

может, твой ответ и единственно возможный, надо подумать

(Ответить) (Уровень выше)


[info]southwest.livejournal.com
2007-05-17 10:51 (ссылка)
для эрмитовых матриц, и их обобщения на симметрические пространства ответы уже давно получены (см. обзорную статью Фултона http://arxiv.org/abs/math.AG/9908012 и и новые статьи Kapovich-Millson-Leeb
http://xxx.lanl.gov/abs/math/0210256 and a few new developments)

сейчас я дам одну простую причину почему для матриц в большей общности такая задача не имеет большого смысла: если А просто матрица, и N - нильпотентая матрица, то спектр A+N достаточно произволен, хотя у N собственные числа все нули ...

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-20 19:44 (ссылка)
Спасибо!
Меня интересует вполне конкретная ситуация -
есть такое понятие "гамильтонова матрица", это оператор
A на симплектическом пространстве $(V, \Omega)$,
который удовлетворяет $\Omega(A(x), y) = \Omega(x, A(y))$.
Хочется знать спектр суммы гамильтоновых матриц с известным спектром.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]southwest.livejournal.com
2007-05-20 23:06 (ссылка)
насколько я понимаю
http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_matrix
то что называется гамильтоновыми матрицами есть ничто иное как алгебра Ли sp(n, R) ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-23 21:19 (ссылка)
Не, Sp(n) это симплектическая матрица: экспонента
матрицы, которая удовлетворяет
$\Omega(A(x), y) = -\Omega(x, A(y))$.

Гамильтонова есть симплектический аналог эрмитовой,
симплектическая - унитарной.

Фигню эту в Википедии надо поправить.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2007-05-26 09:39 (ссылка)
>Фигню эту в Википедии надо поправить.

Kakuyu fignyu -- chto gamil'tonovy matricy obrazuyut *algebru* Lie sp(n)?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-26 23:07 (ссылка)

Не, это как раз правда (и много где написано). Там было написано,
что произведение гамильтоновых матриц гамильтоново,
если они коммутируют. Очевидно, люди спутали их с антигамильтоновыми
(как и я поначалу)

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2007-05-26 23:08 (ссылка)
про алгебру это собственно я добавил уже

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2007-05-27 00:08 (ссылка)
A, ok. Sejchas vrode vse pravil'no.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2007-05-23 21:37 (ссылка)
Пардон. Я наврал:
гамильтоновы матрицы суть матрицы, удовлетворяющие
$\Omega(A(x), y) = - \Omega(x, A(y))$,
а те, которые мне нужны, называются косо-гамильтоновы,
и удовлетворяют
$\Omega(A(x), y) = \Omega(x, A(y))$.

Вот про них внятная статья

http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0024379504004410

The structure of alternating-Hamiltonian matrices
William C. Waterhouse
Linear Algebra and its Applications
Volume 396, 1 February 2005, Pages 385-390

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2007-05-23 22:36 (ссылка)
Вот оно
http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-Hamiltonian_matrix

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2007-05-17 11:51 (ссылка)
Eigenvalues, singular values, and Littlewood-Richardson coefficients
Authors: Sergey Fomin, William Fulton, Chi-Kwong Li, Yiu-Tung Poon
http://xxx.lanl.gov/abs/math.AG/0301307

(Ответить)


[info]udod
2007-05-17 12:04 (ссылка)
Обалдеть!

(Ответить)


[info]markvs.livejournal.com
2007-05-17 15:55 (ссылка)
Sm. stat'ji Mishi Kapovicha i dr. (v Publ. IHES).

(Ответить)


[info]do_
2007-05-17 16:01 (ссылка)
Хм, а чем последнее отличается от первого? Тем, что матрицвы могут быть не только эрмитовы?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2007-05-20 19:42 (ссылка)
Угу

(Ответить) (Уровень выше)

спектр суммы эрмитовых матриц (Клячко)
(Анонимно)
2007-05-27 14:56 (ссылка)
Очень интересно. Спасибо!!! Давно искал эту тему.
-------
freeboard.com.ua - Бесплатная доска объявлений

(Ответить)