О, интересно! Спасибо.

Математика -- великая наука!

Великая наука №1!

Мне еще про обезьян понравилось. Интересно, что больше изменит цивилизацию - геометрическая теория групп или язык обезьян.

Вообще, благодаря этим премиям "простые люди" могут узнать, что математика существует. Но, похоже, миллион баксов - это порог для масс-медиа. Меньше - не интересно.

Пункт 4: Теория Вселенной на языке обезьян.
Кому не посчастливилось быть обезьяной, ни слова не поймет.

Меньше миллиона не интересно, а больше вроде бы и не дают. Узковата щелка.

Дас ист фантастиш.

Если серьезно, реальная наука и общественные представления о науке до такой степени не имеют отношения одно к другому, что не по себе становится.

Не надо быть слишком суровым. :-) Музыканты играют как умеют. Сравните с открытиями десятилетия по версии канала Discovery (главный популяризатор науки в США): http://mathreader.livejournal.com/30190.html.

Я сравнил. И так плохо, и эдак еще хуже.

Кстати, и серьезные люди пишут такое, что иногда чувствуешь себя обезьяной: http://posic.livejournal.com/354799.html Словосочетание, которое я привык считать названием своей профессии, используется для обозначения чего-то совсем другого.

По линку разумное обсуждение. Включая Ваш коммент. У автора обычная аберрация близости - каждому кажется, что его область "в последние 40 лет переживает период бурного расцвета" (когда-то меня раздражали такие фразы в предисловиях, потом я перестал обращать на них внимание - но все же лучше, если такой фразы нет), или даже что она преобразила весь предмет.

Я думаю, что Виттену все-таки есть место в этом мире, как бы не называть то, чем он занимается. Тут какой-то организационно-терминологический парадокс: его деятельность выглядит более важной для математики, чем для физики, но классифицируется как физика. А Эйнштейн работал в School of Mathematics IAS. Симметрия восстановлена.

Я никоим образом не сомневаюсь, что Виттену есть место в этом мире, и, вероятно, это место существенно важнее, чем мое. Этот род деятельности, несомненно, наука (по крайней мере, в смысле scholarship - как и математика, как и философия, как и естествознание, как и лингвистика...). Но не следует называть физикой то, что вообще не является естествознанием. Мы много раз с Вами это обсуждали, математикой Вы это считать тоже не согласны. Пусть называется как-то еще.

Естественно, я тоже пристрастен. Есть "теоретики для теоретиков" и "теоретики для экспериментаторов". Мне кажется, вторых (т.е., нас) сейчас становится все меньше, а первых все больше. Пытаюсь в меру своих, почти несуществующих, возможностей способствовать восстановлению баланса.

Если эта деятельность выживет лет 100-200, она, наверное, приобретет адекватное название. Это действительно не вполне science, но я бы не сводил ее к уровню scholarship. Математика - не вполне наука, философия - на полпути от науки к религии, согласно Расселлу.

Хорошее описание этой деятельности есть в интервью Манина Троицкому Варианту 13N. Он относится к ней более чем восторженно, но при этом складывается такая картина: в основе этой деятельности лежит не "физичекая интуиция", а "интуиция фейнмановских интегралов"; результатом являются математические идеи, обычно довольно быстро доводимые до математических стандартов. Сам интеграл Фейнмана упорно не доводится, мешая превратить эту деятельность в просто математику. Мне кажется сомнительным, что деятельность, основанная на одном приеме, и, в сущности, определяемая как его применение, может существовать долго.

Это ужасно интересно -- до какой степени эта деятельность есть продолжение физики и до какой -- просто возня с функциональным интегралом. Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом? С другой стороны, если такой процесс производства математических идей упирается в фигуру Виттена, то нет ничего особенно удивительного, если один человек, пусть даже и выдающийся, построил свою карьеру на одном приеме. Который прием он освоил лучше всех остальных, и из которого он сам же и извлечет в основном все, что можно из него извлечь. Деятельность же в целом может быть при этом гораздо шире.

Это действительно интересно. Мне кажется, что только возня с интегралом Фейнмана. Реально, все интересное идет от Виттена, и это один этот прием. Конечно, мне не следует делать слишком категорические утверждения, я недостаточно хорошо знаю предмет. Но Манин, несомненно, знает очень хорошо.

"Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом?"

Возможно, проблема в коммуникации. Нет изложения, доступного математикам. Математик может жить без конструкции интеграла Фейнмана, если ему четко скажут, как с ним обращаться.

Другой вариант - никакого интеграла Фейнмана в природе нет, есть несколько разрозненных приемов его вычисления, и все аналогичные приемы скоро будут исчерпаны.

Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Вероято, так и есть. Отсюда и проблема коммуникации. С другой стороны, это просто другой (лучше, чем мой) способ сказать, что интеграла Фейнмана нет - есть разные ситуации, с разной скрытой физической информацией, которые в силу исторических обстоятельств доходят до нас (математиков) в этой упаковке.

Ну, Виттен -- далеко не единственный. Из тех, у кого всерьез получается делать математические предсказания. Выросло новое поколение полуфизиков-полуматематиков, Капустин, например. Про манипулирование с оным интегралом. Я думаю, пока что всё упирается в то, что в математике плохо разработана бесконечномерная геометрия, функциональный интеграл -- это подлежащая комбинаторика. Как мы с тобой уже обсуждали -- бесконечномерных пространств без структуры не сусществует. Соответственно, я бы ожидал, что Фейнмановский интеграл формализуется в тот момент, когда геометрия (а не топология) пространств путей и петель, да и вообще отображений, алгебраизуется в достаточной степени. Пока что, насколько я понимаю, даже в самых простых примерах (алгебро-геометрические аналоги пространства петель со значением в аффинном многообразии), геометрии, то есть теории пучков и пр., практически нет, то, что есть у Дениса в частных случаях -- это искусственные конструкции, использующие комплексню кривую, куда вложена окружность. А 20 лет назад не было и этого, и Б.Ф. рассуждал, что в аффинном пространстфе флагов есть клетки конечной размерности, есть клетки ко-конечной размерности, но есть еще и полубесконечные клетки. На самом деле, речь идет про три разных многообразия флагов.

Я, безусловно, имею довольно смутное представление о том, как работают математики. Но, насколько понимаю, длительные безуспешные попытки доказать какое-то утверждение и придать ему более строгий статус могут быть очень плодотворными. Нет ли каких-то глубоких математических причин, по которым фейнмановский интеграл упорно не доводится до математических стандартов?

Эйлер обращался с расходящимися рядами как повар с картошкой и не заботился о строгих определениях производной и интеграла (как понимаю, тогда сами стандарты строгости были совершенно другими). Потом во всем навели относительный порядок. Результат - более глубокое понимание анализа. Люди пытались доказать постулат о параллельных, потом поняли, что он независим от остальных. Результат - более глубокое понимание геометрии.

А были случаи, когда некий прием, пусть даже как личный прием великого человека, работал десятилетиями, наводя на новые осмысленные идеи, но в нормальную математику его включить так и не удалось?

Безуспешные попытки, в течение сотен лет, доказать некое утверждения бывали плодотворны. А вот наведение строгости - вряд ли есть такие примеры. Когда начинает ощущаться потребность в строгости, она сравнительно быстро наводится. Скажем, строгость в анализе появилась из-за нужд теории рядов Фурье. Причем результат - не радикально новые идеи, а аккуратная запись старых (теория вещественных чисел, окончательно оформившая "строгий" анализ - это не более чем вариант древнегреческой теории пропорций).

Определения производной и интеграла, которыми пользовался Эйлер, не хуже наших, а в чем-то и лучше (для преподавания, наверное, лучше). С расходящимися рядами Эйлер обращался очень аккуратно, прекрасно понимая, что результат типа 1+2+3+4+5+...=-1/12 - это следствие специального определения, данного левой части.

Аналогия с Эйлером не нова. Можно предположить, что физики угадывают формулы, подобные предыдущей, не умея сообщить математикам то специальное определение, которым они пользуются. С другой стороны, для той же суммы можно мотивировать и ответ 1/6 (не говоря уж о бесконечности). Так что у расходящегося ряда все-таки нет суммы без спецификации способа определения. Я бы предположил, что физики выбирают специфическое значение интеграла Фейнмана, исходя из физических соображений. Математики, узнав ответ, вроде бы всегда могут дать математическое определение, дающее тот же ответ. Речь идет не обязательно о числе; чаще о конструкции, обладающей определенными свойствами: физики отбирают свойства формул, важные в какой-то ситуации, математики стоят для данного случая объект с теми же свойствами.

Так что мне кажется, что никакого математического интеграла Фейнмана никогда не будет, как не будет и единого определения суммы расходящегося ряда.

Тогда, мне кажется, вопрос такой - являются ли размышления о том, чего не хватает в интуитивном физическом определении фейнмановского интеграла, плодотворным для математики? Единого определения суммы расходящегося ряда нет, но есть ведь достаточно богатая наука вокруг разных способов такого определения? Скажем, в физике часто используется суммирование по Борелю (поэтому я про него и знаю, даже сам пользовался однажды). Возможна ли в принципе такая же математическая надстройка над path integrals? Если да, тогда, казалось бы, это - раздел математики, только незавершенный. Математика в процессе становления. Нет?

Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.

Мне очень понравилась эта формулировка posic@lj выше. Я думаю, что эта более богатая информация каждый раз своя. А интеграл Фейнмана, красивая формула, ее маскирует.

Развивая аналогию с Эйлером, если мы хотим вычислить 1+2+3+4+5+..., то мы можем это сделать только имея более богатую информацию о том, зачем нам это надо (или что это такое). Некие "математические соображения". Формула 1+2+3+4+5+... маскирует их. Аналогично, я подозреваю, что формула Фейнмана маскирует физические соображения.

Некоторые статьи Виттена непосредственно доступны математикам, без переводчиков. Я читал немного. В них он не ограничивается формальным интегралом Фейнмана, а приводит и много других соображений, ведущих к его утверждениям.

Серьезная наука о суммировании расходящихся рядов была и потом потеряла актуальность. Эйлеру она была не нужна. Потом навели "строгость", и по новым опредeлениям всякие интересные ряды оказались просто расходящимися. Потребовалось время, чтобы заново научиться их интересно суммировать; суммирование по Борелю - один из методов. Уже давно в этом предмете нет никакой тайны, а в современной математике реально нет и разговора о суммировании расходящихся рядов - математики обсуждают непосредственно математические соображения, стоящие за суммой. Так что -1/12 - это ζ(-1), а не 1+2+3+4+5+... Здесь ζ(z) - это аналитическое продолжение тривиально суммируемого при Re z > 1 ряда, простейший пример L-функции, whatever this means.

Да, про дзета-функцию я знаю. И даже про L-функции слышал. Если продолжить аналогию, это означает, что существует другой математический объект (или класс объектов), несовершенным выражением которого являются нынешние фейнмановские интегралы. Являются ли размышления в этом направлении интересным и перспективным математическим занятием или нет? Мой вопрос был об этом. Сразу скажу - ответа на вопрос, являются ли они интересным и перспективным занятием для физики, я не знаю.

Математика (чистая), в определенном смысле, неактуальная наука. Ни в каком смысле, кроме карьерного для данного человека, неважно, когда решат ту или иную задачу. Поэтому если есть потециально интересный повод для размышлений, то почему бы и не поразмышлять? В худшем случае ничего не получится, но так это обычное состояние математика - задача не получается.

Насколько перспективны попытки найти структуру, стоящую за интегралом Фейнмана, мне сказать трудно. На самом деле, я главного не знаю: как обстоит дело в физике. Является ли интеграл Фейнмана воплощением одной физической идеи, или каждый раз другой? Если одной, то, наверное, рано или поздно математики ее поймут и превратят в нечто абстрактное. Если применение интеграла Фейнмана каждый раз требует дополнительных физических соображений, то, наверное, никакой особой структуры нет.

Наблюдая за математикой, я склоняюсь к второму варианту. Способы превратить "предсказанные" физиками утверждения в математические теоремы настолько разные, что трудно себе представить, что за ними стоит единый принцип.

По-моему, вы ревнуете и слегка придираетесь к терминологии. Ну не измеряют геометры Землю уже сколько-то там лет -- плохо ли это? По историческим причинам то, чем занимается Виттен, называется теорфизикой. Я совершенно уверен, что он сам (не скажу про людей, кормящихся грантами по всей этой деятлеьности) совершенно не претендует, что глубоко-глубоко, в самой сердцевине реального мира бегает самая основная Виттеновщина.

> По-моему, вы ревнуете

Не могли бы Вы уточнить, кого и к кому (я исхожу из того, что Вы меня, несомненно, знаете, и у Вас есть основания считать, что Вы понимаете мотивы моих действий - иначе это было бы просто неприлично)?

Может быть, я слишком эмоционально выразился. Я имел в виду то чувство, которое испытывает рыбак, вытягивающий сети на берегу, при виде кораблей на горизонте. Такая помесь томления, любопытства и раздражения. Тем более, что половина оных кораблей -- пустышка, оптичексий обман, мираж. В менее романтических терминах. Мне кажется, любая теоретическая дисциплина в некоторый момент своего развития формализуется и становится самодостаточной. Ей больше не требуются критерии осмысленности, отличные от внутренней стройности и красоты. С математикой такое произошло раньше, с теорфизикой позже, только и всего. И про приличия. Вы как сетевой персонаж идентичны буковкам, которые я читаю. В этом смысле я вас, несомненно, знаю.

Я, как сетевой персонаж, вот в этом вот наборе буковок: http://udod.livejournal.com/82442.html?thread=868362#t868362 сам написал о своей мотивации - озабоченность состоянием своей науки и стремление устранить не нравящиеся мне перекосы. Вы считаете, что сетевому персонажу hippie57 виднее, чем сетевому персонажу flying_bear - какие на самом деле мотивы человека, стоящего за сетевым персонажем flying_bear. Насколько понимаю, наборы буковок не ревнуют. На мой взгляд, это проявление несерьезности.

Вот в этой дискуссии (http://flying-bear.livejournal.com/889433.html) достаточно подробностей, на случай, если кто-то на самом деле хочет понять мою позицию.

Да, это я читал, спасибо.

Ну мы Дискавери спасибо не скажем. Этот петрушечный Огонек (странно уже что он жив) - это тень тени Дискавери