lim можно вносить под все операции здесь, кроме sin. lim sin(1/x) для x-->0 равен 1 (если я ничего не путаю, один из замечательных пределов, главное что предел есть); arctg x даёт 0, остаётся ln 2.

Увы, lim sin(1/x)при x->0 просто не существует. Ничего замечательного:)

Несуществует, это точно...
Однако Maple тоже говорит о логарифме двух. :)

А кто это Maple? Он что, типа Фихтенгольца?

Неужели не знаете? :)
http://www.maplesoft.com/products/maple/index.aspx
адвансед математикс софтвере, короче. :))

Я на русском языке учился и работаю на нём. Фихтенгольц авторитетнее Мапла Вашего будет. Предела-то нет, всё-таки. Никаких ln2.

:)

Не спорю, да и сам мапль признается, что предела от синуса нету... :)
Но скажите, неужели вы все проектирование дпла с помощью фихтенгольцев делаете? :)

>...все проектирование дпла с помощью фихтенгольцев

Конечно же, нет:). Но фихтенгольцы очень помогают.

:)

Зачем нам предел от синуса? Нам достаточно, что синус - ограниченный.
А предел у арктангенса.

Синус там ещё знак меняет. А корень определён только для неотрицательных чисел. Предела нет, по крайней мере, по классическому определению.

надо там предел брать предел справа

\lim_{x \to 0+} ...

дайте людям шанс предел посчитать :)

...иначе непонятно, выражение "под знаком предла" некорректно определено.

Важно не то что не существует, а то что ограничен, а уж arctg x стремится к 0, когда x стремится к 0. Отсюда их произведение 0.


Вот инженеры :-))))

Да, действительно, произведение arctg(x)*sin(1/x) -->0 при x --> 0.
Но КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ из arctg(x)*sin(1/x) не имеет предела в классическом смысле при x-->0, потому что ни в какой сколь угодно малой окрестности нуля не существует сплошной области определения этой функции. А классическое определение предела начинается словами: "Пусть в некоторой окрестности x0 определена функция...!

Эх, молодёжь... Я уже забыл матанализ, когда Вы ещё и не родились:)

{+}

Я уже забыл матанализ

Это и видно :-))

Функция определена в окресности 0, я не понимаю в чем могут возникнуть тут проблемы. Существование предела можно доказать через эпсилон-дельту формализм, если вам так хочется :-))

Эх, товарищ главный конструктор! Все Вы нас радуете - то теорией относительности, то матанализом!

Вы не знали этого? Рад помочь!

Кстати, "Главный конструктор" на нашей фирме пишется с большой буквы. Утверждён ЦК КПСС в 1987 году.

Так-то.

Если ограничиваться только вещественными числами,
выражение не определено (при малых x то что под корнем
многократно осциллирует, меняя знак). Если допустить
комплексные числа, то что под корнем стремится к нулю,
и предел вообще говоря ln(2). Правда, для комплексных
чисел надо указать, какую ветвь логарифма вы используете,
так что ответ в общем случае: ln(2)+2*pi*n*i,
(pi это пи, i-мнимая единица, n-целое).
Игорь

Если ограничиваться только вещественными числами,
выражение не определено (при малых x то что под корнем
стремится к нулю по величине, многократно осциллируя и меняя знак)
Если допустить комплексные числа, то что под корнем стремится к нулю,
и предел вообще говоря ln(2). Правда, для комплексных
чисел надо указать, какую ветвь логарифма вы используете,
так что ответ в общем случае: ln(2)+2*pi*n*i,
(pi это пи, i-мнимая единица, n-целое).
Игорь

Видимо, Вы правы. Мне тоже так кажется. Весь пример -- покупка невнимательных студентов:).

Че то, от лукавого это все - предел просто log(2). Хоть синус и осциллирует бешено, и предела у него не существует - он ограничен по величине - и домножается на ноль. В данном случае, никакой мистики :-)

Ещё одна жертва невнимательности. Первое условие существования предела -- определённость функции в окрестности Х0. Оно не выполнено, значит, предела не существует.

у вашей российской суперпередовой техники нет аналогов, потому что все западные аналоги в большинстве случаев уже на помойке.
но ваши амбиции впечатляют и нет им аналогоффф)))

Дурачок.

| sin (1/x) | <= 1
arctg x = x + O(1) -> 0

следовательно, arctg x * sin(1/x) -> 0
следовательно, предел равен ln 2


Вы лучше найдите предел при x -> 0

(sin(tg x) - tg(sin x)) / (arcsin(arctg x) - arctg(arcsin x))

во второй строчке опечатка, простите

arctg x = x + O(x^2)

В Вашем примере предел, видимо, равен 1. Навскидку:)

Предела, тем не менее, не существует. Возьмите любой учебник по матанализу. Первое требование в определении предела -- определённость функции "в окрестности". В примере это не выполняется, так как sin(1/x) постоянно меняет знак при стремлении х к нулю. Корень из отрицательного числа не определён. Да.

О, это интересное возражение - неопределенность корня я проигнорировал на автомате. Тем не менее, функция sqrt(x*sin(1/x)) сходится к 0 на своей области определения (не будем кривляться с арктангенсом, просто х тоже сгодится :-) ). Там где она неопределена - ее просто нету, тут не о чем говорить. А она определена на множестве точек (мощности континуум) в любой сколь угодно малой окрестности нуля (это замкнутые отрезки 1/((2*n+1)*pi)<= |x| <= 1/(2*n*pi)). Оперделенность в самой точке 0 для существования предела, очевидно, не требуется.
Но вообще корень - это хорошая подлянка :-))

>...она определена на множестве точек (мощности континуум) в любой сколь угодно малой окрестности нуля

Точно так же она неопределена на множестве точек (мощности континуум) в любой сколь угодно малой окрестности нуля. А требуется, чтобы была определена, да. По определению предела.
Подлянка, конечно:)

Не-не-не, это инсинуации :-) Функция существует на своей области определения и больше нигде. Любая окрестность нуля содержит точки этой области (бесконечно много, но это даже не важно !). На области определения функция стремится к 0, при х стремящемя к нулю.

Наверняка этот пример в какой-нибудь олимпиаде бывал или учебнике, но уж больно лень поисковик мучать :-) А вспоминать формальные доказательства - АААА ! 8-[ ]

Да, на области определения функция стремится к нулю. Но определение предела начинается словами: "Пусть в некоторой окрестности точки X0 определена функция...". Этого нету. Ведь в матанализе всё формально. Берём, обращаем (только правильно) определение предела и получаем, что предела нет. Особенно это очевидно, если взять не определение по Коши, а определение по Гейне, где говорится о "любой последовательности X1, X2.. XN..., стремящейся к X0...".

Минимальное требование к тому, чтобы понятие предела функции в точке имело смысл, следующее. Пусть функция f определена на некотором подмножестве M числовой прямой. Пусть x0 - точка прикосновения множества M (т.е. любая окрестность точки x0 имеет непустое пересечение с M). Тогда имеет смысл говорить о пределе функции f(x) при x стремящемся к x0.

Источник - "Математическая Энциклопедия", т.4, стр.158 (год издания - 1984).

В ряде учебников, особенно втузовских, для упрощения изложения налагают более сильное требование, а именно, определённость функции в ПРОКОЛОТОЙ окрестности точки x0 (т.е. в некоторой окрестности точки x0, исключая саму эту точку).

Если в обсуждаемом примере принять за M область определения функции, то ясно, что точка x0=0 будет для M точкой прикосновения. При таком подходе следует считать, что предел существует и равен ln(2).

(Что касается предела по Гейне, то и здесь берутся только такие последовательности x_n, стремящиеся к x0, для которых все члены принимают значения во множестве M.)

Я к Вам тоже присоединяюсь. Но Ваше определение предела -- неклассическое.

Большинство современных математических понятий претерпели значительные изменения со времён классиков. Это вполне естественно, так как классики занимались прежде всего получением новых содержательных результатов. А шлифовка определений, их модификация - это прерогатива скорее специалистов по методике преподавания математики (а также авторов учебников). При этом часто возникает не один, а несколько стандартов: стандарт школьной программы, стандарт вузовского курса (в разных вузах - разный), стандарт научной публикации и т.д. Даже в разных странах есть совершенно разные стандарты!

Разночтения в определениях столь широки, что даже понятие натурального числа имеет две версии. В школьной программе и в теории чисел натуральный ряд начинается с единицы, а в математической логике - с нуля! Примеров подобного рода - десятки, если не сотни.

Определение предела, о котором я говорю, является совершенно естественным в рамках общей топологии. Я не думаю, что обычный курс математики для инженеров должен базироваться на столь абстрактных вещах, поэтому, если бы я читал такой курс и вводил определение предела, то использовал бы упрощённую версию. Точно так же, понятие определённого интеграла в такого рода курсах проще всего вводить для непрерывной функции, а далее распространять его при необходимости и на более сложные случаи.

Угу. Кстати, Ваше "неклассическое" определение предела интуитивно понятно большинству участников дискуссии, они им пользуются и получают "ответ" -- ln2. За такой ответ мне бы в МЭИ в 1972 году поставили бы "двойку", не рассуждая. Если Вы думаете, что РТФ МЭИ -- "втуз", то Вы ошибаетесь:) Матанализ нам читал С.М.Похожаев, ныне академик, по "толстому", университетскому Фихтенгольцу (3 тома). Определения для меня святы. В данной задачке, конечно, вся фабула держится именно на знании определения, и ответ имеет смысл только с явным указаниям определения, по которому он даётся. Кстати, в этой же дискуссии "аноним" Игорь рассмотрел решение задачки и для комплексных функций.

{+}

Интересно, что я некоторое время подрабатывал в МЭИ почасовиком. Это было примерно в 1986-ом году, когда я учился в аспирантуре МГУ.

Я считаю, что в большинстве хороших московских вузов преподавание математики происходило на весьма высоком уровне, но тут есть одно "но": как правило, внимание было сосредоточено на содержательном математическом аппарате, т.е. изучалась классическая математика в духе XIX века. Это безусловно хорошо для тех, кто применяет математику как аппарат.

Я учился в школе по "колмогоровским" учебникам. Для меня очень важны вопросы оснований математики; я являюсь поборником строгого теоретико-множественного подхода, который в "классической" версии, как правило, не наличествует. Математические курсы в МГУ были построены как раз на новых принципах, с уклоном в "бурбакизм". Для тех, кто занимается чистой, а не прикладной математикой, это является преимуществом. Моя деятельность связана с алгеброй (с некоторым уклоном в математическую логику). Аналитического характера задачи иногда тоже возникают, но редко.

Я считаю вполне правомерным деление математики на "классическую" и "современную". В этом смысле мне, конечно, неизмеримо ближе современная.

Спасибо за разъяснение. Не хочу возбуждать агрессии с Вашей стороны, но я не приемлю "колмогоровского" подхода, хотя знаком с ним поверхностно по сравнению с Вами. Помню, когда моя дочка ещё училась в школе, я познакомился с колмогоровским учебником геометрии и пришёл в ярость. Ещё нам читали теорию вероятностей с колмогоровским подходом (теоретико-множественным). Если бы не широкое применение теории вероятностей в радиотехнических курсах, мы бы не знали по ней ничего. А так, всё-таки, уклониться не удалось:).
Мне по душе классический подход к методике, примерно повторяющий в процессе обучения путь познания той или иной теории человечеством.

{+}

С моей стороны не может быть агрессии: я очень терпимо отношусь к людям практически любых взглядов. (Нетерпимость может возникнуть только из-за поступков.)

"Новой" или "колмогоровской" программе я многим обязан. Именно она предопределила мой выбор заниматься математикой. Старые учебники у меня не возбуждали аппетита.

Я хорошо помню разговор со своим отцом перед тем, как идти в 6-й класс и начать заниматься по новому учебнику геометрии. Я открыл книгу, прочитал то, что там написано в первом параграфе и малость "прибалдел". Помню как сейчас: там было определение окружности, определение круга и определение геометрической фигуры вообще. Моё недоумение было легко развеяно после того, как отец ответил мне на несколько вопросов. С этого самого момента я, видимо, уловил общий замысел, и у меня более никогда не возникало ощущения противоестественности "новой" программы. Напротив, моё увлечение математикой как раз даже началось с геометрии, когда в 8-м классе я взял и начал по собственной инициативе решать из школьного учебника "дополнительные" задачи (те, к которым не было приведено ни ответов, ни указаний). Решение каждой из задач я аккуратно записывал. Такого рода "терапия" сыграла свою роль: к концу 9-го класса я изучил все школьные математические учебники до конца, и на уроках мне разрешали просто присутствовать, занимаясь чем угодно (я при этом решал олимпиадные задачи).

Замечу, что никаких особых способностей я за собой не могу отметить. Напротив: у меня отсутствует "смекалка", я часто довольно медленно воспринимаю новые для меня вещи. Но "колмогоровская" программа просто дала мне "ключ" сразу ко многим вещам. Когда я сейчас вижу, например, старые, "допотопные" определения функции (какие-то там "зависимости" между "величинами"), то мне становится очень грустно.

Может быть, я просто не так точно как Вы понимаю, что является колмогоровским, а что нет, в массиве моих представлений о математике. Давайте, я изложу определение функции в своём понимании, а Вы ответите, колмогоровское ли оно, хорошо?
______________________
Функцией f(x) -- называется любой способ, по которому каждому элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из некоторого множества Y. При этом множество X называют областью определения, а множество Y -- областью значений функции.
_____________________

Правильно это по-Вашему?

{+}

Да, правильно. Это фактически и есть школьное определение. Не прибегая к теоретико-множественной терминологии, сотоятельное определение дать затруднительно. Это определение является вполне понятным и удовлетворительным для школьных нужд. Есть только один маленький нюанс. Со строго формальной точки зрения не вполне ясно, что такое "способ". Поэтому формальное определение следующее (я использую сокращение \in для слова "принадлежит"). Функцией (отображением) из X в Y называется множество f, состоящее из упорядоченных пар вида (x,y), где x \in X, у \in Y, причём для каждого x \in X существует в точности один элемент y \in Y такой, что пара (x,y) принадлежит f. (Такой элемент однозначно зависит от x, и именно его далее разрешается обозначать через f(x).)

При таком подходе функция фактически отождествляется с её графиком. Преимуществом такого подхода является то, что вся математика строится на базе всего двух неопределяемых понятий - "множество" и "принадлежать". Но далее все без исключениями математические объекты совершенно строго определяются как те или иные множества. В этом и состоит основной замысел.

Вы могли заметить, что я использовал понятие упорядоченной пары. Оно тоже имеет строгое теоретико-множественное определение, но додуматься до него сходу очень непросто.

Я при изложении материала студентам обычно сочетаю обычный подход с формальным. То есть сначала даю "понятное" определение, а потом показываю, как от него можно перейти к строгому. В этом смысле я придерживаюсь того подхода, что надо знать обе вещи и уметь легко переводить с одного языка на другой.

Спасибо. Это действительно оригинально саму функцию выставить множеством (упорядоченных пар)! Мне понравилось. Но начинать надо с понятных вещей, а уже потом обобщать, формализовывать, минимизировать круг понятий... Например, держа в уме скалярное произведение обычных векторов, можно и в функциональном анализе ориентироваться:). Правда.
Мне кажется, что нужно эдакое "печёночное" понимание вещей, которое позднее можно облекать в изящные формулировки, типа приведённой Вами. А если сразу на ребёнка (студента) вывалить формализм, то он, скорее всего, отшатнётся, ощутит себя тупым и не полюбит математики. Ваш случай прихода к математике, по-моему, всё-таки особый:).

{+}

Присоединяюсь к предыдущему оратору (falcao@lj) :-)

Строго говоря, функция даже определена в самом нуле - это 0. Хотя нам этого и не нужно особо.

А это фигушки. В нуле не определена. 1/0 -- неопределено.

О, да, тут я погорячился. Меньше надо было 8-ое марта отмечать :-)
Ну, к счастью, оно нам и не надо.

Вы правы. Позор мне =)

см. тут же не классическое, но вполне осмысленное более слабое определение предела. Вы им интуитивно пользовались:
http://www.livejournal.com/users/chistyakov/84152.html?thread=1164728#t1164728

(с надеждой): ++++++++++++ и ххххххххххххх?

Увы, предела не существует:). То правило применимо, но не здесь:)

Правльный ответ - БЕСПРЕДЕЛ!

Верно:)

Вчера ЖЖ рассматривало меня как робота - пришлось ввести ответ.

Предполагаю, что на ввод предложенного примера мне бы пришлось затратить намного больше времени, нежели на его решение :-)

Ну, и каково же Ваше мнение по правильному ответу?

ответ таков: ставьте мне двойку, не задумываясь
при всем богатстве выбора - ln2 (sin 1/x - смотрю на эту функцию и сердце не замирает)
но диалог с falcao впечатлил

З.Ы. я ведь не математик, твердо стоящий на ногах, я только скромный юзверь, взывающий к науке: научите меня вводить подобные примеры с клавиатуры :-))

>...я ведь не математик, твердо стоящий на ногах, я только скромный юзверь, взывающий к науке: научите меня вводить подобные примеры с клавиатуры

А я вообще лузер. Инженер. Их теперь не любят, наравне с бомжами:) Конечно, если манагером назовёшься, то другое дело. Но мне это не дано, всё равно не поверят, так как рожа красная.

А с клавиатуры вводите по-простому, как в Алголе/Паскале/Фортране:

lim(2+sqrt(arctg(x)*sin(1/x)))

если не напутал чего, ибо писал не глядя.

Захаживайте ко мне почаще. Вы весёлая дама:)

{+}

Спасибо , преприятно!

Допускаете, что Х в праве стермиться к чему угодно, в том числе и к 0 :)

Вопрос в другом: {+} - зачет?

>...Допускаете, что Х в праве стермиться к чему угодно, в том числе и к 0 :)

Надо приписать: "при x -->0" и всё. Я ещё и ln забыл, кажись.

{+} означает "с Богом".

:)

:-) передумали?
лучше Акунина читать , нежели смотреть Файзиева -))

http://exler.ru/films/09-03-2005.htm

Спецэффекты. С ними пару раз за фильм было хорошо: стреляли, взрывали, разлетались как кегли, бой в Крыму, все в дыму. Достойно спецэффекчено, не спорю. Но - пару раз. Все остальное - какие-то жуткие потуги изобразить на компьютере полет мысли внутри шмеля, который для этого совершенно не предназначен. Компьютерные спецэффекты ради спецэффектов, которые ни в склад ни в лад, поцелуй кошку в голову, - вот что это такое. И это изрядно портило впечатление, потому что смотрелось все так, как будто съемочная группа дорвалась до компьютера с трехмерной графикой и за бутылочкой цимлянского долго думала, что бы на нем сотворить такого эдакого, чтобы ух как прикольно...

Согласен с Вами на все 100%. Полная утрата целостного видения за дурацкими спецэффектами. Кстати, я впервые в жизни видел спецэффекты, так как в кино не хожу. И, видимо, правильно делаю:)

Вы правильно поступите, если снова пойдете в кино -)
Я почему-то очень люблю широкий экран, даже если там показывают киножурнал "хочу все знать" -))