Равенства в математике
Не так давно я стал записывать своё доказательство Двойственности Пуанкаре для жёстко-аналитических пространств. Я пытался всё сделать максимально строго, чтобы быть уверенным, что там точно нет никаких ошибок и что я понимаю каждый шаг доказательства. Это оказалось очень времязатратно, и я решил что несколько фактов я всё-таки приму на веру, но если у утверждения нет записанного доказательства, то я буду писать строгое полное доказательство.

Я быстро столкнулся с проблемами, которые сразу же привели к вопросам "оснований" математики, которые я не понимаю. Я попробую ниже быстро сформулировать контекст, это не очень важно для остального поста, но я хочу объяснить свою мотивацию.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

У меня есть некоторое гладкое жёстко-аналитическое многообразие Х над алгебраически-замкнутым неархимедовым полем С с формальной моделью \X над \O_C. Главный шаг в аргументе -- определить определить морфизм m_C\otimes R\mu_* \O^+_X -->\omega^\bullet_\X(-d)[-2d], где \mu есть морфизм (X_\proet, \O_^+) --> (\X_\Zar, \O_\X), а \omega^\bullet_\X относительный дуализирующий комплекс на \X (его ещё надо определить, тут две проблема:\X это формальная схема, а не схема и \O_C-ненётерово). Аргумент строится таким образом, комплекс m_C\otimes R\mu_* \O^+_X живёт в степенях [0, d] (неверно если не умножать на максимальный идеал!), а комплекс omega^\bullet_\X(-d)[-2d] в степенях [d, 2d], поэтому достаточно определить морфизм R^d\mu_* \O^+_X --> \omega_\X(-d), где omega_\X=H^{-d}(omega^\bullet_\X) есть дуализирующий модуль на \X. Из работы Бхатт-Морроу-Шольце легко построить морфизм \Omega^d_\X{-d} --> R^d\mu_* \O^+_X, где Omega^d_\X{-d} есть старшие дифференциальные формы, подкрученные по Брёлю-Кисину на -d. Этот морфизм имеет два недостатка: он бьёт в неправильную сторону и из неправильного объекта. Однако можно проверить, что этот морфизм изоморфизм на общем слое (в смысле Рэйно) и на гладком локусе этот морфизм есть изоморфизм на (\zeta_p-1)^d R^d\mu_* \O^+_X. Поэтому на общем слое и на замкнутом слое мы можем 'поделить' этот морфизм на (\zeta_p-1)^d и 'обратить' (перед этим отфакторизовав всё про (\zeta_p-1)-кручению). Теперь 'общая теория' двойственности Гротендика показывает, что на гладком локусе omega_\X "канонически" (это слово не имеет никакого смысла без уточнения точного значения) изоморфно \Omega^d_\X, и можно проверить, что на общем слое имеется изоморфизм (\omega_\X)_C\cong \Omega^d_X. Это несколько сложнее, так как общий слой есть жёстко-аналитическое многообразие, и там нет никакой общей теории функтора f^!. Далее вопрос как это продолжить с общего слоя+гладкого локуса на всю модель. Оказывается, что если замкнутый слой геометрически приведён, то дуализирующий \omega_\X рефлексифен (аналогично факту, что на нормальной нётеровой схеме дуализирующий модуль рефлексивен) и равен "пересечению" (\omega_\X)_C \cap j_*\omega_\X^{\sm}, где X^\sm -- гладкий локус. Дальше теорема о приведённом слое/теореме Герритзена-Грауэрта говорит, что всегда есть конечный морфизм, который изоморфизм на общем слое, f:\X'--> \X с X' имеющей (геометрически) приведённый замкнутый слой. Тогда на общей модели \X мы определяем морфизм сверху на \X', берём пушфорвард и компонируем со следом в двойственности Гротендика Rf_* \omega^\bullet_\X'(-d)[-2d]--> \omega^\bullet_\X(-d)[-2d]. Более точно определение такое

1) В случае (геом) приведённого замкнутого слоя морфизм определяется так

\m\otimes R\mu_*\O^+_X --> \m \otimes R^d\mu_*\O^+_X --> \omega_\X(-d)[-2d] --> \omega^\bullet_\X(-d)[-2d], где первый морфизм это проекция на старшие когомологии в комплекс, а последний морфизм "вложение" младших когомологий комплекса. Морфизм посредине приходит из рефлексивности omega_\X(-d)[-2d] плюс на общем и гладком локусе это обратный к поделённому морфизму из BMS прокомпонированному с изоморфизмами \omega_{\X^\sm}\cong \Omega^d_{\X^\sm}
и (\omega_\X)_C \cong \Omega^d_X

2) В общем случае мы выбираем конечный морфизм, который изоморфизм на общем слое, X'-->X и определяем как композицию

\m\otimes R\mu_*\O^+_X --> \m\otimes (Rf_*R\circ \mu'_*\O^+_X) --> Rf_*(\m\otimes R\mu'_* \O^+_X ) --> Rf_*(\omega^\bullet_{\X'}(-d)[-2d]) --> \omega^\bullet_\X(-d)[-2d]. Теперь я должен пояснить все отображения в этой композиции: первое отображение каноническое отождествление R\mu_* с Rf_*R\circ \mu'_*, которое приходит из коммутативной диаграммы

X-\mu'-> \X' -f-> \X и композиция \mu,

второе отображение -- отображение "проекции" (определяется как здесь https://stacks.math.columbia.edu/tag/0B53), третье отображение -- это Rf_* применённое к морфизму сверху. И последний морфизм -- это след в двойственности Гротендика.


------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Теперь возникает вопрос, насколько этот морфизм "не зависит от выбора модели". Например, верно ли что если есть морфизм моделей \X' --> \X, то морфизм снизу есть "пушфорвард" морфизма снизу (этому легко придать строгий смысл по аналогии с пунктом 2 сверху). Второй вопрос является ли этот морфизм морфизмом Галуа-эквивариантных пучков, если само многообразие X определено не над алгебраически замкнутым полем С, а над каким-то, например, конечным расширением Q_p. Главная сложность в этих примерах заключается в том, что мы хотим равенства(!) морфизмов, настоящего равенства, а не равенства с точностью до блаблабла.

Эти вопросы довольно быстро требуют хотя бы умения отвечать на два более простых вопроса:

1) Пусть есть два собственных морфизма (формальных) схем \X'' -g-> \X' -f-> \X, верно ли что след

R(f\circ g)_* \omega^\bullet_{\X''} -{ Tr_{f\circ g} }-> \omega^\bullet_{\X} совпадает с композицией

Rf_*(Rg_* \omega^\bullet_{\X''} ) -{ Rf_*(Tr_g) }-> Rf_*(omega^\bullet_{\X'}) -{ Tr_f }->\omega^\bullet_X.

2) Верно ли что если есть коммутативный квадрат

\X' --> \X
| |
S' --> S c гладкими вертикальными морфизмами, то замена базы

\O_S' \otimes^L \omega^\bullet_{\X/S} \to \omega^\bullet_{\X'/S'}

после отождествления \omega^\bullet_{\X/S} c \Omega^d_{\X/S} (и тоже самое для \X'/S') совпадает со стандартным морфизмом

\Omega^d_{\X/S}\otimes \O_{S'} --> \Omega^d_{\X'/S'}


Теперь нужно понять что всё это значит. Чтобы первый вопрос имел смысл нужно выбрать изоморфизм функторов R(f\circ g)_* c Rf_*\circ Rg_*. Во втором случае объект omega^\bullet_{\X/S} определяется как f^!(\O_S), где f^! левый сопряжённый к Rf_*, но левый сопряжённый функтор не единственный, а единственный с точностью до изоморфизма, поэтому утверждение должно быть скорее для каждого выбора функтора f^!. Но проблемы начинаются раньше, функтор Rf_* тоже не вполне определён, как оказывается. Обычно в менее строгих книжках/лекциях говорят, что функтор Rf_* (на D^+) определяется так: выбираем инъективную резольвенту у объекта K и применяем к ней f_*, ответ не зависит от выбора резольвенты. Но это, конечно, полная чушь и бред, ответ, конечно, зависит от выбора резольвенты, он не зависит с точностью до изоморфизма, единственного с точностью до гомотопии. Поэтому это никакой не функтор, функтор обязан сопоставлять каждому объекту один объект, а не класс изоморфизма(!) объектов. А нужно делать как в более строгих книжках: выбрать обратный морфизм к эквивалентности K^+(Inj)--> D^+ и определять Rf_* на K^+(Inj) как f_* почленно. Конкретно это значит, что мы у каждого объекта выбираем инъективную резольвенту насильно с помощью которой считаем f_*. То есть ответ зависит от выбора резольвенты с точностью до канонического изоморфизма. Но тогда если мы хотим определить Rf_* для всех схем, то нам нужно выбрать резольвенты для всех (ограниченных снизу) производных категорий всех схем, но категория схем не малая, объекты не образуют множество, а только класс. Я не знаю почему там одновременно можно выбрать резольвенты везде, но допустим мы ограничились какой-нибудь малой подкатегорией схем, чтобы она была (существенно) малой в техническом смысле. Тогда в любом случае Rf_*\circ Rg_* и R(f\circ g)_* не равны (как часто пишут на стэкспроджекте!), а только 'канонически' (опять же слово бессмысленное, пока человек точно не сказал что имеет в виду) изоморфны! Изоморфизм приходит из того, что f_* от инъективного пучка (абелевых групп) есть инъективный пучок, поэтому если K-->I^* инъективная резольвента, то f_*(I) есть инъективная резольвента объекта Rf_*(K).

Теперь изоморфизм любых двух выборов Rf_* определяет (по сопряжённости) изоморфизм любых двух функторов f^! вместе с данным сопряжённости! Затем если расписать, что значит коммутативность диаграммы (1), то она идейно сведётся к тому, что сопряжённый к композиции функторов есть ``композиция сопряжённых''. Но тут, строго говоря, всё-таки ни одна из стрёлок не определена "канонически", а зависит от выборов хотя и с точностью до "канонического изоморфизма", и реальное утверждение заключается в том, что при любом согласованном(!) выборе для Rf_*, f^!, Tr_f, Rg_*, g^!, Tr_g диаграмма будет коммутировать.

Но теперь вспомнив, что определение моего морфизма m_C\otimes R\mu_* \O^+_X -->\omega^\bullet_\X(-d)[-2d] требует огромного числа отождествлений, становится понятно, что если мы хотим абсолютно строго доказывать равенства разных морфизмов, полученных из этого морфизма, то это становится полным кошмаром. Всегда когда у меня есть композиция двух производных функторов, то становится необходимо помнить все отождествления и проверять, что эти отождествления согласованны правильным образом. На практике можно придать смысл коммутативности почти любой нужной мне диаграммы, и даже проверить строго эту коммутативность, запоминая выборы, но это быстро выходит из под контроля.

Далее я понял, что дела обстоят ещё значительно хуже. На самом деле проблемы начинаются гораздо раньше, ну или вообще в самом начале. Функтор f^* не вполне определён, а даже если и определён, то нет никакого равенства g^*\circ f^*=(f\circ g)^*, а только изоморфизм g^*\circ f^*\cong (f\circ g)^*. Это, конечно, часто пишут в книжках по стэкам, но я никогда этому не придавал большого внимания (Мне объяснили, что и проблемы выше связанные с производными категориями тоже обычно аккуратно объясняют в книжках, но я никогда не понимал настоящей цели). Но хуже того, нет даже равенства (AxB)xC с Ax(BxC) в множествах, а только выбранный изоморфизм. Поэтому, если мы хотим делать всё абсолютно строго, то нужно все эти изоморфизмы повсюду таскать за собой как только они встречаются.

Поняв, что я не в состоянии доказать строго равенство никаких двух морфизмов, я решил открыть лекции Воеводского по его унивалентным основаниям. Тогда я понял, что вообще дела обстоят во много раз хуже, чем я мог бы об этом думать. Он приводит такой пример, который меня абсолютно шокировал:

Пусть C категория, которая состоит из двух объектов X и Y, между X и Y морфизмов нет ни в одну сторону, а Mor(X, X)=Mor(Y,Y)=:A есть непустое множество. Равенство морфизмов тут есть равенство множеств, не изоморфизм, а точное равенство. Тогда утверждается, что нельзя построить "глобальное" множество морфизмов Mor с двумя функциями source и target: Mor --> Ob(C), что Mor(X, X)={f\in Mor | source(f)=target(f)=X} и Mor(Y, Y)={f\in Mor | source(f)=target(f)=Y}, где = подразумевается как настоящее равенство, а не изоморфизм. Действительно, пусть f\in Mor(X, X)=Mor(Y,Y), тогда с одной стороны source(f)=X, с другой стороны source(f)=Y, противоречие. Не то, чтобы я когда-либо использовал существование такого множества и функций source и target, но это имхо показывает, что в математике на каждом шагу происходят отождествления, за которыми мы не в состоянии следить, и которые, видимо, иногда просто не имеют строго смысла.

Теперь я не понимаю как можно быть уверенным в верности хотя бы одного утверждения в математике. Я бы никогда в жизни не смог бы найти ошибку как выше.