Теорема Хана-Банаха прекрасно доказывается без аксиомы
выбора для сепарабельных пространств. Собственно,
в таком виде она и используется. Я как-то не могу
припомнить, чтобы Хана-Банаха использовали
для получения чего-то интересного, что не является
контрпримером.

Собственно говоря, такая же ситуация наблюдается
и с другими теоремами, использующими аксиому выбора.
Например, теорему о существовании максимального
идеала достаточно применять к нётеровым кольцам.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

с другими теоремами, использующими аксиому выбора.

Аксиома выбора для несчетных множеств подразумевается?

Axiom of countable choice представляется много где необходимой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я как-то просматривал книжку, посвящённую аксиоме выбора.
В ней было приведена куча теорем, и для каждой
написано, какой форме аксиомы выбора она эквивалентна.
В частности, у меня создалось впечатление,
что несчётная аксиома выбора вообще не нужна.

Что касается счётной, здесь я уже не так уверен.
В принципе, я допускаю, что она используется в каком-то
содержательном примере. Надо только найти пример.
Секвенциальная непрерывность особого интереса не представляет, равно как и тот факт, что счётное
объединение любого семейства нульмерных множеств
нульмерно, так как в интегрировании мне кажется
более естественным подход Даниеля. Интересно,
кстати, насколько он зависит от счётной аксиомы выбора.
Надо сказать, что для любого счётного
семейства нульмерных множеств, которое мы в состоянии
предъявить, нульмерность их объединения легко
доказывается без аксиомы выбора. То есть
здесь тоже действует тезис, неявно высказанный
ранее: из любого более-менее содержательного утверждения
аксиома выбора легко устраняется.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Материал первого курса: эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне. Висит в точности на счётной аксиоме выбора (и в конструктивной математике опровергается на примерах). Эта эквивалентность содержательна?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)

Пропустил при первом чтении упоминание "секвенциальной непрерывности" :-( Тем не менее: она была отметена только по причине малоинтересности (что субъективно), или есть какие-то более глубокие соображения?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Она отметена по причине отсутствия применений на практике (что объективно).
Обычная непрерывность проще и удобнее в обращении.
Секвенциальная непрерывность — это архаизм,
идущий к нам из 19 века, когда люди не умели
толком обращаться со множествами и язык последовательностей,
состоящих из отдельных элементов, казался
проще, чем язык открытых множеств.
Кроме того, для общих топологических пространств
(без локальной счётной базы) понятия секвенциальной
непрерывности и непрерывности различаются, и используется
именно непрерывность, а не секвенциальная непрерывность.
Можно, конечно, решить эту проблему путём замены
последовательностей на направленности, но это
ещё тоскливее.
Не случайно общая топология излагается на
языке открытых множеств, а не на языке направленностей
— первый попроще будет.
Вообще, меня удивляет математическая отсталость
преподавателей анализа — его преподавание
не изменилось по сравнению с 19 веком.
С тех пор появилось несколько дисциплин, упрощающих
изложение (и понимание!) курса анализа и дающих
более концептуальные и понятные объяснения старых фактов.
Общая топология позволяет навсегда избавиться
от последовательностой и языка эпсилон-дельта
(за эпсилон-дельта я бы вообще убивал, это
просто ужас какой-то), но нет, аналитики считают,
что они умнее, и лучше преподавать по-старому.
Гладкие многообразия полностью перевернули
«многомерный анализ» и сделали
ненужным многократно дублирующее
само себя изложение (например, в виде формул
Грина, криволинейного интеграла,
Гаусса-Остроградского, Стокса, теоремы о градиенте,
а также формулы Ньютона-Лейбница —
вместо одной теоремы рассказывают шесть!),
они также позволили чрезвычайно компактно переписать
громоздкие формулы (с определителями и без)
и придать им интуитивный геометрический смысл
(что крайне важно для понимания).
Но нет, говорят аналитики, мы умнее, мы будем
всё преподавать по-старому.
Аппарат топологических векторных пространств
очень хорошо подходит для изложения интегрирования,
но только не для аналитиков —
они будут продолжать мучать бедных студентов чудовищным
изложением на сигма-алгебрах множеств.
Группы Ли преобразили гармонический анализ
— аналитики будут по-прежнему мучать
студентов идиотским изложением на уровне
девятнадцатого века.
По-моему, дисциплину «математический
анализ» надо запретить как исключительно
вредную для студентов (боюсь, что у многих
студентов после изучения «математического анализа» пропадает желание заниматься математикой)
и вместо неё ввести нормальные курсы общей топологии,
гладких многообразий, гармонического анализа
(в современном изложении) и теории интегрирования
(на основе топологических векторных пространств,
изученных в курсе функционального анализа).

Для представителей второй культуры можно
ввести факультативный курс методов классического анализа,
на котором изучать немногочисленные остатки
(в основном это будут признаки сходимости рядов,
впрочем, мне кажется, что на практике можно
всегда обойтись обобщённым логарифмическим признаком),
а также методы вычисления пределов, производных, а
также интегралов (в основном, видимо, с помощью
рядов Тейлора), в частности, их асимптотической оценки.
Впрочем, это скорее получается не теоретический,
а практический курс.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Вообще, меня удивляет математическая отсталость
> преподавателей анализа — его преподавание
> не изменилось по сравнению с 19 веком.
> С тех пор появилось несколько дисциплин, упрощающих
> изложение (и понимание!) курса анализа и дающих
> более концептуальные и понятные объяснения старых фактов.

А вот теперь вспоминаем, с чего начиналась ветка. А начиналась она с расписывания в красках ситуации, когда студент знает о векторном пространстве только то, что оно — частный случай модуля. Известны также случаи, когда студенты, гордо выучившие на первом курсе определение предела фильтра, не умели найти предел последовательности \(\{1/n\}_{n=0}^{\infty}\).

Что понимается под словом "понимание"? Формальное вызубривание теорем и доказательств? Или умение применить теорию к конкретному расчёту? Когда "язык гладких многообразий" позволяет делать последнее, к нему нет никаких нареканий. А вот когда студенты в итоге формулу Стокса для форм радостно выписывают, а сосчитать на её основе ни одного конкретного интеграла не могут — вот тогда Учёные Советы с деканатами испытывают глубокия нравственныя страдания. Вы полагаете, что они в этом неправы?

> Общая топология позволяет навсегда избавиться
> от последовательностой и языка эпсилон-дельта
> (за эпсилон-дельта я бы вообще убивал, это
> просто ужас какой-то), но нет, аналитики считают,
> что они умнее, и лучше преподавать по-старому.

Тут аналитики, имхо, правы, ибо на практике неметризуемые пространства не особо встретишь. А основные свойства метрических связаны именно с эпсилон-дельтами (примеры обратного приведёте?).

> и придать им интуитивный геометрический смысл
> (что крайне важно для понимания).

Для понимания, повторяю, важно, чтобы человек умел формулу применять в расчёте, а не растекаться мыслию по древу на предмет её красот и интуитивной ясности. Для любителей чистого словоблудия есть философские факультеты, и дублировать то же самое на математических едва ли имеет смысл.

С чем согласен безусловно — это с интегрированием. Разумеется, интеграл — это функционал на алгебре, и пытаться вывернуться наизнанку, доказывая, что элементы этой алгебры суть именно функции, есть несусветная глупость. Но глупость эта, кстати, целиком лежит на совести любимой Вами "классической" математики — в конструктивной она невозможна в принципе :-)

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

К слову, хорошее краткое пояснение того, что значит студент понимает :

4-я степень (у с п е х и х о р о ш и е). Ученик отлично знает преподанное учение; он умеет изъяснить все части из начал, постигает вэаимную связь их и легко применяет усвоенное истины к обыкновенным случаям. Тут действующий разум ученика не уступает памяти, и он почитает невозможным выучить что-либо не понимая. Один недостаток прилежания и упражнения препятствует таковому ученику подяться выше. С другой стороны, и то правда, что самомышление в каждом человеке имеет известную степень силы, за которую черту при всех напряжениях перейти невозможно.


Тут аналитики, имхо, правы, ибо на практике неметризуемые пространства не особо встретишь. А основные свойства метрических связаны именно с эпсилон-дельтами (примеры обратного приведёте?).

Компактность?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Компактность можно определить через существование эпсилон-сети.
Я предлагаю связность.

(Reply to this) (Parent)

А где эффективная процедура выбора конечного подпокрытия? Где эффективная процедура распознавания свойства системы окрестностей быть покрытием? Что вообще можно реально (помимо высоконаучного чесания языком) сделать с "топологическим" определением компактности?

А вот \(\varepsilon\)-сети вполне себе конструктивны. Так что пример, имхо, мимо цели.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не вижу, чем эпсилон-сети более конструктивны,
чем открытые покрытия.
Что мешает по открытому покрытию эффективно
строить его конечное подпокрытие?

Мой пример со связностью, как я вижу,
вы проигнорировали.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Что мешает по открытому покрытию эффективно
> строить его конечное подпокрытие?

Как минимум, отсутствие эффективной процедуры распознавания покрытий среди систем открытых множеств. И это едва ли лечится: для конструктивного отрезка \([0,1]\) (который с "классической" точки зрения дырявый) заведомо имеются интервальные покрытия, из которых конечное подпокрытие не выделяется (т.н. сингулярные покрытия — наверняка слышали, если уж про неподвижные точки квадрата в курсе). Следовательно, такие покрытия мы считать "настоящими" не можем. Какие можем — непонятно. Можно, конечно, изначально потребовать для "настоящих" покрытий наличия конечного подпокрытия — но тогда само понятие компактности обессмысливается, превращаясь в тавтологию.

Что же касается сетей, то написать программу, перерабатывающую получаемое на входе натуральное число \(n\) в список рациональных чисел, образующих \(2^{-n}\)-сеть для отрезка \([0,1]\), я предоставляю Вам в качестве лёгкого упражнения :-)

> Мой пример со связностью, как я вижу,
> вы проигнорировали

Вы настаиваете, чтобы я признал, что фраза «любое непрерывное отображение пространства \(X\) в двухточечное пространство имеет одноточечный образ» не содержит слова "эпсилон"? Признаю, не содержит. Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

Для метрических пространств — да.
Для топологических — нет.
К тому же топологию на метрическом пространстве можно
определить многими способами. Например, как
слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> К тому же топологию на метрическом пространстве можно
> определить многими способами. Например, как
> слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
> по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

Интересно только, как на основе такого определения получить хоть один мало-мальски содержательный результат про метрические пространства, предварительно не доказав, что эта слабейшая — та самая, что вводится через эпсилоны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не вижу смысла доказывать что-то про метрические
пространства, если можно сразу доказать тоже самое
утверждение в общей топологии на более простом
и понятном языке открытых множеств.
Зачем самому создавать себе трудности?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А зачем объяснять простые вещи через сложные? Эпсилон — это число, т.е. объект весьма простой природы. А открытое множество (когда пытаешься начать работать с ним по-настоящему, а не языком) — вещь зело нетривиальная. Попробуйте-ка задать сходу тип данных "открытое множество" в каком-нибудь языке программирования.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Попробуйте-ка задать сходу тип данных "открытое множество" в каком-нибудь языке программирования.

Простота задания какого-либо объекта в программировании
никак не кореллирует с его простотой в математике.
Это и понятно, потому что математика — не программирование.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> математика — не программирование.

Разумеется, математика — это не программирование, а наука о программировании и связанных с ним закономерностях. Но я абсолютно не вижу, что эта поправка меняет в рассматриваемом контексте.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Наука о программировании и связанных с ним закономерностях — это computer science.

На примере теоремы Лефшеца я уже продемонстрировал,
что содержательная математика ею не исчёрпывается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Простите меня, убогого, но в моей слабой голове не укладывается, как может быть "содержательной" теорема, опровергнутая на контрпримере.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Контрпример, который я привёл, опровергает
конструктивный вариант теоремы Лефшеца.
Обычная теорема Лефшеца, конечно, остаётся верной,
более того, находит содержательные применения в физике
конденсированных сред.

(Reply to this) (Parent)

>А вот теперь вспоминаем, с чего начиналась ветка. А начиналась она с расписывания в красках ситуации, когда студент знает о векторном пространстве только то, что оно — частный случай модуля. Известны также случаи, когда студенты, гордо выучившие на первом курсе определение предела фильтра, не умели найти предел последовательности \(\{1/n\}_{n=0}^{\infty}\).

Интересно, как вы сумели вывести из того, что соответствующие
дисциплины надо преподавать на концептуальном современном уровне,
что студенты не должны уметь решать элементарные задачи?
Я имел ввиду как раз обратное.

>Что понимается под словом "понимание"? Формальное вызубривание теорем и доказательств? Или умение применить теорию к конкретному расчёту?

Очевидно, ни то, ни другое. Хотя последнее, видимо, входит
(если расчёты не очень технические).
bbixob@lj ниже написал, что такое понимание,
я более-менее согласен. Там ещё есть для пятёрки описание,
тоже хорошее.

>Когда "язык гладких многообразий" позволяет делать последнее, к нему нет никаких нареканий. А вот когда студенты в итоге формулу Стокса для форм радостно выписывают, а сосчитать на её основе ни одного конкретного интеграла не могут — вот тогда Учёные Советы с деканатами испытывают глубокия нравственныя страдания. Вы полагаете, что они в этом неправы?

Если студент не в состоянии применить теорему Стокса в случае
малых размерностей, это означает, что они не понимают
формулу Стокса. Умение провести нетехнический расчёт
с помощью формулы Стокса есть необходимое, но не достаточное
условие понимания.

>Тут аналитики, имхо, правы, ибо на практике неметризуемые пространства не особо встретишь.

Многие важные топологические векторные пространства
в функциональном анализе не метризуемы.

>А основные свойства метрических связаны именно с эпсилон-дельтами (примеры обратного приведёте?).

Сколько угодно. Например, связность.
Кроме того, я уже говорил, что даже если свойство
можно выразить на языке метрики, это не значит, что так
надо делать. Определение непрерывности как прообраз
открытого открыт куда проще для понимания, чем чудовищное эпсилон-дельта
определение.

>Для понимания, повторяю, важно, чтобы человек умел формулу применять в расчёте, а не растекаться мыслию по древу на предмет её красот и интуитивной ясности. Для любителей чистого словоблудия есть философские факультеты, и дублировать то же самое на математических едва ли имеет смысл.

Как я уже говорил, умение применить знание для нетехнического
расчёта есть необходимое, но не достаточное условие понимания.
Да и расчёты — это скорее для инженеров.
Математики особо расчётами не занимаются (кроме некоторых
областей вроме анализа), а когда занимаются, то предпочитают
использовать компьютер. Что не отменяет, конечно,
необходимости понимать суть происходящего и умения
провести вычисление самостоятельно в элементарном случае.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Интересно, как вы сумели вывести из того, что соответствующие
> дисциплины надо преподавать на концептуальном современном уровне,
> что студенты не должны уметь решать элементарные задачи?
> Я имел ввиду как раз обратное.

В идеале — разумеется. Настоящее "концептуальное осовременивание" — это когда новые методы позволяют решать те же задачи, что и старые (причём проще), а заодно и ряд других. Но вот всегда ли попытки осовременивания программы дают именно такой идеальный результат? Не вырождается ли время от времени такое осовременивание в вызубривание модных словечек, годных лишь на то, что по их употреблению в речи Приобщённые К Тайнам могут отличать друг друга от прочей подлой публики?

> Там ещё есть для пятёрки описание, тоже хорошее.

Это, часом, не тот самый документ, про который соавтор rus4@lj (со значками сущий) говаривал, что стремится к тому, чтобы его пятёрка хотя бы отдалённо напоминала тамошнюю тройку? :-)

> Многие важные топологические векторные пространства
> в функциональном анализе не метризуемы.

Ой, ну какие? Соболевские? Шварца? Бесова? Или речь про непришейкобылехвостное \(D'\), для которого я не знаю ни одного действительно разумного применения?

> Определение непрерывности как прообраз открытого открыт
> куда проще для понимания, чем чудовищное эпсилон-дельта
> определение.

Для запоминания, а не для понимания. Если начать пытаться понять, что Ваша фраза действительно означает, то всё равно вернёшься к эпсилонам (или к базе топологии, что для метрических пространств суть те же эпсилоны).

> то предпочитают использовать компьютер.

Когда я говорю про расчёты, то имею в виду именно расчёты на ЭВМ. При работе с которой (обычно как раз в задачах из анализа, с алгеброй в этом плане проблем меньше) нередко возникает ситуация, когда математик совершенно не понимает, что в этой самой ЭВМ на деле происходит (например, не ощущает разницы между объектами типа double и вещественными числами из Фихтенгольца). Вас это не смущает? Меня — да.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Не вырождается ли время от времени такое осовременивание в вызубривание модных словечек, годных лишь на то, что по их употреблению в речи Приобщённые К Тайнам могут отличать друг друга от прочей подлой публики?

Наличие или отсутствие вызубривания в программе
никак не соотносится с её современностью или
отсталостью, а зависит лишь от преподавателей.
Так что это не аргумент.

>Это, часом, не тот самый документ, про который соавтор rus4 (со значками сущий) говаривал, что стремится к тому, чтобы его пятёрка хотя бы отдалённо напоминала тамошнюю тройку? :-)

Я не помню, чей это пост, но вроде бы да.
Вот полная версия.

>Ой, ну какие? Соболевские? Шварца? Бесова? Или речь про непришейкобылехвостное \(D'\), для которого я не знаю ни одного действительно разумного применения?

Вот, первый попавшийся пример:
http://arxiv.org/abs/math-ph/0507011v2
Результат имеет применения в квантовой теории поля.
В статье используются неметризуемые ТВП.

>Для запоминания, а не для понимания. Если начать пытаться понять, что Ваша фраза действительно означает, то всё равно вернёшься к эпсилонам (или к базе топологии, что для метрических пространств суть те же эпсилоны).
Понимать это следует так: если x — фиксированная
точка пространства, то для всех точек y близких к x
f(y) будет близко к f(x), что в свою очередь следует
из того, что открытое множество — это
такое множество, которое для каждой своей точки содержит
также все близкие к ней точки.
Кстати, если пытаться понять, что означает
эпсилон-дельта определение, то приходишь к тому же самому.
Само по себе эпсилон-дельта опредление
ничуть не более понятно, чем определение
через открытые множества.

>Когда я говорю про расчёты, то имею в виду именно расчёты на ЭВМ. При работе с которой (обычно как раз в задачах из анализа, с алгеброй в этом плане проблем меньше) нередко возникает ситуация, когда математик совершенно не понимает, что в этой самой ЭВМ на деле происходит (например, не ощущает разницы между объектами типа double и вещественными числами из Фихтенгольца). Вас это не смущает? Меня — да.

Путать double и вещественные числа действительно смешно,
особенно если учесть, что в double представимо только
подмножество рациональных чисел.

>Для понимания, повторяю, важно, чтобы человек умел формулу применять в расчёте, а не растекаться мыслию по древу на предмет её красот и интуитивной ясности.

Школьники доставляют отличный пример:
большинство из них умеют решать задачи, но гораздо
меньше понимают, что при этом происходит.
Этакие биологические компьютеры.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

То, о чем вы говорите, формулируется так: отображение замыкания множества A является подмножеством замыкания отображения A.
Но из этого настолько легко вытекает частный случай дельта-эпсилонов, что вопрос учить их или нет мне кажется дурацким.

Формулировка через открытые множества, не смотря на всю свою теоретическую важность, не настолько очевидна, что очень обидно. Хоть и выводится из предыдущей за один шаг.

А про топологические векторные пространства я так и не понял. У меня есть книжка по ТВП и обобщенным функциям Хорвата (а также Рудин), но я там не заметил особого языка или особых интегралов. Что имеется в виду?
Или речь о теореме Рисса?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>То, о чем вы говорите, формулируется так: отображение замыкания множества A является подмножеством замыкания отображения A.

По-моему, это совсем другое. При чём здесь замыкания?

Ещё раз: непрерывное отоброжение — это отображение, обладающее следующим интуитивным свойством: для любой точки x и для любой точки y достаточно близкой к x мы имеем, что f(y) сколь угодно близко к f(x).
Формализация понятия множества точек, близких к x —
это окрестность точки x. Поэтому интуитивное свойство
переформулируется так: прообраз окрестности точки f(x)
есть окрестность точки x. Что такое открытое множество?
Это множество, которое является окрестностью каждой
своей точки. Поэтому предыдущее определение
можно освободить от упоминания точки x и сказать,
что прообраз открытого открыт.
Из определения через окрестности можно получить
эпсилон-дельта определения. Окрестность меняется
на открытый шар. Но здесь есть тонкость:
открытые шары всего лишь образуют базу,
поэтому следует сказать, что прообраз открытого
шара с центром в точке f(x) содержит в себе
открытый шар с центром в x.
Это определение менее понятно.
А если учесть, что аналитики не упоминают
открытые шары, а вместо этого всё раскрывают,
то вообще ужасно.

>Но из этого настолько легко вытекает частный случай дельта-эпсилонов, что вопрос учить их или нет мне кажется дурацким.
Проблема заключается не в этом определении,
а в том, что всё дальнейшее изложение анализа
тоже ведётся на языке эпсилон-дельта.

>Хоть и выводится из предыдущей за один шаг.
Как и формулировка с эпсилон-дельта.

>Что имеется в виду?
Имеется ввиду, что теорию меры следует преподавать
с привлечением аппарата функционального анализа по схеме Даниэля,
без использования архаичных теоретико-множественных конструкций.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Если выкинуть начало вашего рассуждения, которое является формулировкой дельта-эпсилона, то у вас остается:

Поэтому интуитивное свойство
переформулируется так: прообраз окрестности точки f(x)
есть окрестность точки x. Что такое открытое множество?
Это множество, которое является окрестностью каждой
своей точки. Поэтому предыдущее определение
можно освободить от упоминания точки x и сказать,
что прообраз открытого открыт.
Громоздко; чтобы понять приходится действовать от противного, воображать в прообразе точки без окрестности и посылать это все опять через функцию. Это не так элементарно как дельта-эпсилон.

Я же имел в виду:
А замыкание множества А - это точки предельно близкие к множеству А, они отображаются в замыкание отображения А, т.е. никуда не удаляются.
А отсюда уже главное определение элементарно выводится. По сути, разделяет понимание на две части. (Я знаю, как определяется замыкание, но так понимать новичкам удобней).


Весь анализ излагать дельта-эпсилоном - конечно маразм, но и забывать их не стоит, разрабатывает технику, они ведь и нужны бывают. В конце концов если студент на своем 30ом доказательстве не может самостоятельно заменить одно на другое где это возможно, это его проблемы.

Я тоже два года назад удивлялся глупости вводных курсов по различным предметам, но это признак хорошей математики, она так аккуратно укладывается в голове, что потом поражаешься: "ЧТО я мог с таким усердием учить весь прошлый год, все ведь очевидно!" Но потом я стал внимательнее следить за учебным процессом и пришел к выводу, что не все, что кажется избыточным сейчас, стоило исключать с самого начала. Кое-что, конечно, следовало бы...


Про меры я так и не понял, я видимо не видел одного из двух вышеперечисленных способов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>они ведь и нужны бывают.
Можете привести пример, где с дельта-эпсилонами становится
проще, чем без них?

>Про меры я так и не понял, я видимо не видел одного из двух вышеперечисленных способов.
http://en.wikipedia.org/wiki/Daniell_integral

>Я же имел в виду:
А замыкание множества А - это точки предельно близкие к множеству А, они отображаются в замыкание отображения А, т.е. никуда не удаляются.
А отсюда уже главное определение элементарно выводится.

Конечно, эти определения равносильны.
В принципе, можно излагать и так, но тогда, видимо,
всю топологию следует излагать на языке замыканий.
Просто открытые множества чаще используются.

>По сути, разделяет понимание на две части. (Я знаю, как определяется замыкание, но так понимать новичкам удобней).

Можно пояснить, что это за две части?

>чтобы понять приходится действовать от противного, воображать в прообразе точки без окрестности и посылать это все опять через функцию

Этого я совсем не понял. Что означает словосочетание
«воображать в прообразе точки без окрестности»?.

>Если выкинуть начало вашего рассуждения, которое является формулировкой дельта-эпсилона, то у вас остается:

Это совершенно неверно.
Математики 18 века мыслили именно в таких терминах,
и никаких дельта-эпсилонов вообще не упоминали.
Дельта-эпсилон — лишь один из возможных
вариантов формализации, далеко не самый лучший.
Я привёл другой вариант, более понятный.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) Это верно по той причине, что
для любой точки x и для любой точки y достаточно близкой к x мы имеем, что f(y) сколь угодно близко к f(x)*
самым прямым путем переводится в "для любой окрестности f(x) мы можем найти окрестность x такую, что она попадает в выбранную окрестность f(x)", что и есть обобщенный дельта-эпсилон. А самое удобное определение - прообраз открытого открыт - получается из * посредством еще одного шага, рассуждая от противного мы представляем, что в прообразе есть точка, ни одна окрестность которой не лежит в прообразе, и тогда * для этой точки не выполняется.
Разница в один шаг, но она есть, меня это немного смущает. Судя по всему, это происходит из-за наличия inverse image в удобном определении. Людям легче воспринимать прямые отображения чем обратные. Чтобы это устранить (всегда лучше, когда наиболее удобное является наиболее интуитивным), возможно стоит заменить функции более общими теоретико-множественными конструкциями еще со школы, но это, скорей всего, вредоносно.


Можете привести пример, где с дельта-эпсилонами становится
проще, чем без них?
2) Я не имел в виду конкретно непрерывность, а технику работы с подобными (для любого эпсилона выполняется какое-то неравенство) вещами вообще.
Судя по вашему замечанию, вы считаете, что нет ни одной полезной теоремы, использующей непрерывность в метрических пространствах на полную мощность?

3)Про интегралы понятно. Я видел, как интеграл Лебега определяется через расширение функционала с непрерывных функций, определенный через интеграл Римана. Но и видел через меру Лебега. Не могу сказать, что один из этих способов мне показался уродским, но я плохо знаю эту тему пока. Через годик, я думаю, у меня это в голове прояснится.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Разница в один шаг, но она есть, меня это немного смущает.

Теперь я понял, что имелось ввиду.
Хорошо, если не нравится так, то можно говорить,
что прообраз окрестности есть окрестность
(ну, или так как вы сформулировали выше).
С другой стороны, при изучении общей топологии предполагается,
что уже хорошо усвоена теория множеств, поэтому
никаких проблем с обратным образом не должно возникать.
Во всяком случае, без эпсилон-дельт всё равно становится проще.

>Я не имел в виду конкретно непрерывность, а технику работы с подобными (для любого эпсилона выполняется какое-то неравенство) вещами вообще.

Не обязательно приводить пример с непрерывностью.

>Судя по вашему замечанию, вы считаете, что нет ни одной полезной теоремы, использующей непрерывность в метрических пространствах на полную мощность?

Не понимаю, о чём речь. Все или почти все интересные
теоремы про метрические пространства верны
в общем случае (для топологических или равномерных)
и доказываются там проще (следствие принципа Гротендика:
чем более общий характер имеет результат, тем проще
он доказывается).

Но я готов рассматривать конкретные примеры.

В принципе, я не имею ничего против метрических пространств,
я только против того, чтобы непрерывность (и некоторые
другие простейшие понятия общей топологии) рассказывать
на языке эпсилон-дельта.

(Reply to this) (Parent)

>В статье используются неметризуемые ТВП

В принципе, пространство вещественно аналитических
функций с естественной топологией неметризуемо (и не имеет
базиса Банаха-Шаудера). Уж куда более естественное понятие.

(Reply to this) (Parent)

Теорема Хана-Банаха прекрасно доказывается без аксиомы
выбора для сепарабельных пространств.

Разве? Тут (Top. Appl. 1997, 77, 193-211) написано, что нужна аксиома зависимого выбора, каковая влечет счетную аксиому выбора. То есть не то чтобы нужна, но пишут что сепарабельную версию с ней удалось доказать, а со счетной вроде как не удалось.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я имел ввиду самую общую (несчётную) форму аксиомы выбора.
Действительно, для того доказательства нужна аксиома
зависимого выбора.

Опять же, я думаю, что если посмотреть на конкретные
случаи содеражтельного использования
Хана-Банаха для сеперабельных пространств,
то скорее всего из них можно исключить аксиому выбора
полностью.

Хотя в принципе, конечно, можно пользоваться аксиомой
зависимого выбора и радоваться жизни.

(Reply to this) (Parent)

>Я как-то не могу
>припомнить, чтобы Хана-Банаха использовали
>для получения чего-то интересного, что не является
>контрпримером.

Доказательство того, что любая комплексная поверхность
с четным b_1 кэлерова следует из Хана-Банаха. Есть результаты
(во вполне приличной алгебраической геометрии), которые без
Хана-Банаха не получаются (пока).

Библиография
http://arxiv.org/abs/math/0105176
http://lj.rossia.org/community/ljr_math/20024.html

Привет

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Есть результаты
(во вполне приличной алгебраической геометрии), которые без
Хана-Банаха не получаются (пока).

Очень интересно.
Именно без Хана-Банаха для несепарабельных пространств?
Тогда я был неправ.
Кстати, а какого типа там возникают пространства?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Самые простые - пространства дифф. форм
на многообразии. Гладких, обыкновенно
(пишу сейчас про вещественно аналитические,
но я первый, кажется).

Обойтись зависимым выбором получится, счетным
едва ли (хотя если делать зависимый выбор по всем
счетным ординалам, его хватит, конечно).

Думаю, что после того, как окажется, что
ZF+AC (и лично ZF) противоречива, какие-то версии
Хана-Банаха останутся справедливыми и в следующей
версии математики, уж очень интуитивно ясное утверждение.

Такие дела
Миша

(Reply to this) (Parent)