Первый — это теория центральных расширений групп. Там в качестве основы сопряжения берется функтор абеленизации групп (факторизация на коммутатор), причем в конструкции используются только эпиморфизмы. Расширениям групп B -> A в этой ситуации можно сопоставить с короткими точными последовательностями 0 -> K -> B -> A ->0. И расширение будет центральным, если ядро K содержится центре B. Центральное расширение называется слабо универсальным, если для любого другого центрального расширения той же группы A существует морфизм цепей. Все слабо универсальные центральные расширения в этом сюжете будут спусками Галуа. Если A в таком расширение превосходная группа (коммутатор A равен A), то B тоже превосходная и группоид Галуа будет абелевой группой. Более того, в этом случае группа Галуа будет второй гомологией A в целых числах! Этот результат связан со знаменитой формулой Хопфа.

Для того, чтобы перейти ко второй темы авторы долго разрабатывают теорию рефлективных систем факторизаций морфизмов в теории категорий. Оказывается, что такие системы имеет соответствие один-к-одному с рефлективными подкатегориями. Оказывается, что подкатегория пространств Стоуна в категории компактных хаусдорффовых топологических пространств как раз рефлективная. Напомню, что рефлективные подкатегории как раз отличаются тем, что функтор вложения для них имеет сопряжение слева. В этом случае спусками Галуа будут те, у которых проекции при симметричном пулбэки будут в одном из классов факторизации. Авторы применяют этот к результат пространствам Стоуна и получаеют факторизацию непрерывных отображений компактных Хаусдорфовых пространств на монотонную и легкую часть. Монотонными называются непрерывные отображения, у которых прообраз любой точки связан. А легкими такие, у которых прообраз любой точки полностью не связан. В этом случае спуском Галуа всегда будет отображением из пространства X в. компактификацию Стоуна-Чеха его же самого с дискретной топологией. У такого Спуска Галуа расщепленными объектами будут все легкие отображения в Х. В итоге мы получаем довольно нетривиальный результат в общей топологии с очень категорным доказательством.

Я решил адаптировать под эту ситуацию свой предыдущий пример. Когда спуск Галуа порождает вложение сигма-алгебр событий. И мы рассматриваем вложения соответствующих эль большая бесконечность пространств. Только теперь я решил построить спуск Галуа в категории коммутативных алгебр фон Нойманна. А в качестве второй категории я взял эквивалентную обратной к первой категорию гиперстоуновских пространств. Там вроде все хорошо работало получились спуски Галуа, получился группоид Галуа — отношение эквивалентности «не различаю фильтры». Даже если изначально пространства были Польскими и была дана вероятность, то на группоиде можно завести вероятность и систему Хаара из условных вероятностей. Тогда объекты с действием группоида получают структуру однородной цепи Маркова. И так как на гиперстоунновском пространстве достаточно много мер, и пространство эргодических компонент этой цепи Маркова всегда гиперстоунновское. То мы можем даже изъясниться и найти на каждой такой цепи стационарную вероятностную меру. Потом очень долго искал какой-нибудь крутой критерий определения расщепляемых алгебр, типа энтропии. Я заебал одну нейросеть требованиями найти этот критерий. И она активно их предлагала, но все они были ущербные и ошибочные. Потом я понял, что все алгебры расщепляются, и это следует из того, что мы начали с эквивалентности категорий в качестве сопряжения, наварное. Вот такой смешной конфуз.

В итоге, хочу подчеркнуть, что это довольно мощная теория. Потому что для каждого сопряжения достаточно полных категорий мы получаем свою особую теорию Галуа. Эта теория Галуа может, конечно, иногда получаться дурацкой или бестолковой. Но такова жизнь.