| Булево-Значные Модели и Форсинг |
[May. 12th, 2024|09:58 am] |
| [ | Current Mood |
| |  anxious | ] |
Я уже писал про эту книгу раньше примерно полгода назад. вот: https://lj.rossia.org/users/rex_weblen/195479.html
Как изменились мои планы в ее отношении за это время? Я решил почти все выкинуть из рассмотрения, кроме начал форсинга и булево-значного анализа. Причем, серьезно, "с ручкой в руках" я разбирал только эти начала форсинга, потому что про булево-значный анализ у самого Белла написано весьма неформально. Я все же хочу прочитать про форсинг тут, чтобы понять классическую идею форсинга перед тем как знакомиться с ней в контексте категорной логики. А форсинг — это вообще часть цепи того, что заставило обратить меня внимание на логику. Но особой любви к аксиоматическим основаниям математики и доказательствам независимости аксиом у меня нет. Поэтому много времени на это я решил не тратить.
Булево-значные модели это модели ZFC, которые конструируются таким стандартным образом: берется какая-то готовая модель теории множеств V и полная булева алгебра B из V, и рекрсвно cобираем части булево-значной модели. Начинаем с пустого множества. Потом берем все функции из того, что было на прошлых этапах в B и добавляем их в модель. В итоге получаем, что все множества новой модели устроены как B-значные функции от B-значных функций. И если некий элемент лежит в области определения такой функции, то принадлежность этой функции-множеству, это просто значения этой функции. Развивая эту идею, мы получаем операцию вычисления утверждений на языке теории множеств со значением B. Это похоже в некоторой степени на нечеткую логику c B-значной истинностью. Но это скорее создатели аксиоматической нечеткой логики украли тут эту идею у нормальных математиков.
При этом в новую булево-значную модель можно вложить старую. При этом там также будут смеси всех объектов с весами из B. То есть, можно взять математические объекты совершенно разной природы, например число 4 и топологическое пространство тор, и построить новый объект, который на половину будет числом 4, а на половину тором. После определенной работы получается доказать, что новая модель действительно модель теории множеств ZFC.
Форсинг начинается с того, что берется базиc P алгебры B, то есть плотное подмножество. Про P можно думать, что это кусочки информации, которые что-то сообщают нам о нашем мире. Так как такая информация не может быть противоречива в P нет 0. Можно представить себе, что каждый элемент p дает нам информацию о множестве возможных миров. И два элемента P называются несовместными, если не бывает третьего элемента информации который объединял две предыдущих элемента информации. Пример, который возникает у Белла P — это конечные бинарные последовательности, а B — это алгебра регулярных открытых множеств декартова произедения множеств {0,1}. То есть мы представляем, что мир является бесконечной бинарной последовательностью а мы получаем информацию о конечном значении нулей и единиц. А про B можно думать как про алгебру множеств возможных миров. То есть получается, что булево-значная модель — это такой мультиверсум множеств.
Я не знаю как правильно перевести форсинг на русский язык, потому буду говорить, что информация p форсит факт, если этот факт имеет место в любом мире, который допускает информация p. Коэн придумал форсинг, что доказать независимость континуум гипотезы. И я решил разобрать это доказательство, не потому что мне очень интересен сам этот результат, а то, как в доказательстве используется форсинг. Само доказательство строятся на том, что строятся две булево-значные модели типа тех, что описаны выше, но одна из них счетная, а другая нет. И в первой гипотеза континуума выполняется, а во второй нет. И форсинг обычно используется так, что когда требуется доказать, что какой-то факт никогда не выполняется, то предполагается обратное, то есть, что этот факт иногда выполняется. Тогда существует информация p, которая форсит этот факт. И эту информацию можно дополнить так, чтобы прийти к противоречию.
Меня теперь интересует вопрос насколько форсинг связан с семантикой возможных миров Саула Крипке. Но чтобы найти на него ответ следует проводить дальнейшее исследования.
Намного в большей степени чем доказательства независимости в теории множеств мое воображение взволновал булево-значный анализ. Идея в том, что действительные числа в булево-значных моделях, например, определенные как сечение Дедикинда, могут соответствовать каким-то "большим" коммутативным алгебрам над действительными числами. Например, если взять алгебру меру, то действительные числа будут эквиваленты измеримым функциям факторизованными по отношению "равно почти наверное". Можно узнать тут случайные величины. И идею булево-значного анализа в том, что все теоремы доказанные для действительных чисел можно перенести на алгебру случайных величин, конечно с некоторыми механическими модификациями. В это, собственно ничего удивительного нет, так как случайные величнины — это величины.
А вот другой пример более интересный. В (комплексном) гильбертовом пространстве можно рассмотреть алгебру замкнутых линейных подпространств. Это будет ортомодулярная решетка. Каждому подпространство соответствует единственный проектор, и алгебра порождаемая коммутирующими проекторами будет полной булевой. И соответствующая булева алгебра в качества действительных чисел будет иметь какую-то алгебру коммутирующий самосопряженных операторов. Интересно тут то, что такие операторы соотваетствуют измерениям в квантовой механике. А то, что они коммутируют означает, что измерения могут быть произведены совместно. Это достаточно логично, потому что измерения — это числа. Давис использует эту теорию для того, чтобы разрешить парадоксы Эйнштейна-Подольского-Розена и паражокс эксперемента с двумя шелями. Например ситуация с одно и двумя открытыми щелями соответствует разным булево-значным моделям, поэтому парадокса тут нет. Вот такое вот приложение логики к физике.
Не знаю исчерпан ли ныне потенциал булево-значного анализа. Более подробно про это есть две книжки авторов Кусраев и Кутуладзе. |
|
|