| Бессмысленная равномерность |
[Apr. 24th, 2024|07:40 pm] |
| [ | Current Mood |
| |  anxious | ] |
| [ | Current Music |
| | Joy Division - Unknown Pleasures | ] |
Я продолжал изучать бессмысленную топологию, но теперь я решил сосредоточиться на разделе, который особо меня интересует, бессмысленной равномерность. Единственный источник, по это теме, который я нашел, это учебник Пикадо-Пультра. И я сразу столкнулся с присущим ему недостатком, что параллельно развивается сразу несколько сюжетов и из-за этого начинается перегруз.
Дело в том, что за равномерные структуры являются примером феномена криптоморфизма в математики. Это выражается в том, что су шествует три очень непохожих, но эквивалентных способа ее определить на точечных пространствах. Это антуражи Вейля, то есть фильтр симметричных окрестностей диагонали Декартова квадрата, фильтры покрытий Тьюки, и семейства псевдо-метрик Избелла. И для безточечного случая авторы выбирают определение Тьюки, что в целом правильно. Но дело в том, что фильтры у Тьюки должны обладать свойством: для любого покрытие U из фильтра можно выбрать такое покрытие V из фильтра, что звездное раздутие V меньше U. Это все имеет смысл в контексте метрических пространств или топологических групп. В контексте метрический пространств это означает что-то вроде того, что любое эпсилон-покрытие можно измельчить до эпсилон/2-покрытия. А в контексте топологических групп, что любое покрытие можно измельчить так, что произведения элементы из отдельных множеств измельченного покрытия всегда попадают в одно и то же множество изначального покрытия. И это может быть удобно при доказательстве теорем. Но в более общем контексте это только мешает. Поэтому в этой книжке еще рассказывают про близостную структуру, которая похожа на равномерную, но без этого свойства. Но еще в добавок вводят слабую и сильную близостную структуру. В итог там где была одна теорема получается потенциально четыре. Но в итоге такой подход все таки оправдывал себя, как мы увидим.
Мой главный интерес к равномерным структурам сейчас вызван статьей Ивса Андре Равномерные Пучки и Дифференциальные уравнения. Поэтому из всех свойств равномерных локалей меня больше всего интересовало пополнение. Потому что следуя статье Ивса Андре от него можно перейти к равномерным пучкам и раздутием, но теперь в безточечном контексте. Как я предполагал, пополнения нужно рассматривать как подлокаль множества замкнутых снизу подмножеств (lower sets, down sets) исходной локали, замкнутых относительно отношения "равномерно покрывает". Замкнутые снизу подмножества тут это частный аналог решета (sieve). Причем, свойство Тьюки в этой конструкции нигде не используется. Поэтому пополнения можно определить и для близости. В итоге получаем полную локаль, обладающую универсальным свойством относительно плотных равномерных сюрьекций. Кажется, что свойство Тьюки все нужно для теоремы о продолжении равномерных морфизмов на пополнения, поэтому оно все же крайне желательно.
Стоит выделить два интересных класса равномерных локалей. Первый это паракомпактные локали. Паракомпактные локали определяется тем, что каждое их покрытие допускает локально-конечное измельчение. Мне кажется, что в этой книге Пикадо-Пультра допущена некоторая логическая ошибка в месте, где это понятие определяется, потому вместо того, что такое локально-конечное там определяется более сложное понятие, которое используется куда позже. Но вроде из контекста и так понятно, что имеется в виду. Паракомпаетные локали интересны тем, что для них существует простая характеризация, которой нет у паракомпактных точечных пространств. А именно то, что паракомпактность определяется наличием максимальной равномерной структуры, причем относительно ее локаль будет полна. Причем, любая локаль будет полна относительно максимальной близостной структуры, которая есть просто множество всех покрытий. Второй важный тип равномерных локалей, это предкомпактные локали. Их еще можно называть полностью ограниченными. Это те локали пополнение которых компактно. У компактных локалей, как и у пространств может быть только одна равномерная структура. Поэтому равномерную структуру предкомпактной локали можно полностью восстановить зная ее компактное пополнение.
В целом изучая книгу Пикадо-Пультра я узнал два интересных факта. Во первых у них есть альтернативная конструкция пополнения через, так называемую, компактификацию Самуэля. Эта конструкция показывает, что для настоящих равномерных локалей вместо множества замкнутых снизу подмножеств можно взять подмножество идеалов, что немного лучше. и в этом случае компактификация это как-раз множество идеалов, потому что оно компактно. И я догадывался об этом свойстве и хотел работать с идеалам, но не знал как его обосновать. Второе интересным связан с так называемыми отображениями Коши. Дело в том, что всем хорошо известно пополнение Коши. Но оказывается, что оно строго слабея равномерного отображения. Но они совпадают для случая метризуемых пространств. Но оказывается, что фильтры Коши, которые используется для пополнения Коши это частный случай отображений Коши, где в качеств ко-домена выступает булево множество {0,1}. И если вместо булева множества допустить произвольные локали, то получится как раз равномерное пополнение, о котором я писал. Не знаю в чем тут польза, но мне эта мысль почему-то показалась глубокой.
Теперь переходим к результатам моего творчества. Как раз поэтому от меня долго не было постов, что я пыхтел, сопел и пытался что-то доказать:
Короче моя идея в том, что если пополнения являются подлокалями локали замкнутых снизу подмножеств или локали идеалов, то вся информация о пополнениях должна содержаться в соответствующих нуклиях. Потому если нас интересует только пополнения, то вместо равномерных структур я предлагаю хранить всю информацию в нуклиях. Мне кажется, что это будет полезно, потому что нуклии легко обобщаются до топологий Ловера-Тирни и применяются к топосам.
Но в этом случае восстановить равномерность из нуклии нельзя, если пополнение получилось не компактным. Кажется, что максимум что мы можем сделать это построить прообраз единицы. Тогда мы получим какой-то большой фильтр, содержащий исходную равномерную структура. Кажется, что этот фильтр будет и близостной структурой и топологией Гротендика (может быть преобразован в) одновременно, но не равномерной структурой. И пополнение относительно него окажется таким же. Но опять же это не равномерная структура. Кажется из этого большого фильтра можно выбрать все нормальные покрытия, и получить новую большую равномерную структуру, включающую в себя первоначальную. Анри предпочитает решать этот вопрос беря просто прообраз всех открытых покрытий. Но кажется в его науке (p-адические дифференциальные уравнения) всегда можно обойтись предкомпактными множествами. Кажется с точки зрения локалей этот подход особенно оправдан, потому что пополнения всегда будут паракомпактными. А все покрытия паракомпактных локалей будут нормальными. То есть, мне кажется я доказал эквивалентность этих подходов для локалей исходя из логики максимальности фильтров.
Также исходя из безточечного подхода я понял еще одну вещь. Операция вложения открытых множеств в пополнение у Андре, это совершено очевидное естественное отображения, которое возникает из сопряжения функтора "пополнение" у локалей. Оно при первом чтении этой статьи немного напрягало. Но может это из-за странной нотации, открытое множество с рожками.
Самый сложный вопрос, это придумать какой-то критерий, чтобы выделять нуклии, которые соответствуют равномерным пополнениям, без прямой апелляции к равномерной структуре. Не уверен, что я здесь справился. Кажется должны выполняться следующие свойства: композиция с нуклией "объединения" это снова нуклия "объединения", то есть ничего нового не покрывается, прообразы полных покрытий обобщенных открытых множеств задают топологию Гротендика, и прообраз единицы содержит равномерную структуру какую-то. Но это все равно может быть недостаточно, и есть все-таки отсылка к равномерной структуре. Можно сделать еще жестче, сказать, что соответствующая локаль равна каком-то пополнению. Но это уже совсем нечестно.
Дальше кажется, что можно рассмотреть такую категорию локалей с нуклиями, задающими пополнения. Кажется тут должно быть интересное сопряжение. С паракомпактными локалями с одной стороны, и с равномерными локалями с другой. Композиция функоторов может вести себя как "построить пополнение и забыть равномерную структуру". То есть как композиция других функторов . И тут можно поиграть с функторами. Но я ничего конкретного тут не доказал еще. |
|
|
sleepy