tiphareth: дрочить на копро

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

kaledin
2016-09-17 01:26 (ссылка)

>концептуальный модный кекс

Когда он был активен, вообще-то, за понятие в моды в математике не то, чтобы выгоняли с работы -- скорее, его просто не было. Это уж потом развелось, когда наплодили зачем-то хренову тучу бессмысленных Ph.D. Ну т.е. Арнольд действительно ругался, что его гнобили за немодность, но во-первых, это ж Арнольд, во-вторых, гнобили его скорее за серость, возведенную в принцип. Даже сейчас вменяемый человек не будет употреблять "модный" в положительном ключе. Так что не надо уж наверно вот этого вот.

Что действительно приписывают Гротендику, это взгляд на вещи, при котором (1) работа над задачей не закончена, пока решение не стало простым и самоочевидным, и (2) сложное и непроясняемое решение не только неполезно, а вредно, потому что задачу закрывает, а что в ней на самом деле происходит, не говорит. Пункт (2) неочевиден -- по крайней мере, есть много людей, которые с ним не согласятся. Я бы сказал, что это люди неправы, и что вообще-то принцип правильный. Проблема с ним в том, что так удается не во всех науках -- скажем, в коммутативной алгебре так не получается (по крайней мере у Гротендика не получилось). А поскольку ехать надо, проходится забить на шашечки.

Но что теория, не решающая никакой задачи, есть мусор, в 60е было как-то самоочевидно, и даже не обсуждалось (откуда и возник пункт (2) -- количество сложных задач ограничено, жалко их тратить зазря). Я бы и сегодня не стал этого обсуждать.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-09-17 01:38 (ссылка)

>Но что теория, не решающая никакой задачи, есть мусор, в 60е было как-то самоочевидно, и даже не обсуждалось(откуда и возник пункт (2) -- количество сложных задач ограничено, жалко их тратить зазря). >Я бы и сегодня не стал этого обсуждать.

А сейчас это модно стало - создавать свои "теории". Мода эта связана, впрочем, с nlab. Urs Shraiber напридумывал кучу геометрий в стиле Лури. У него даже какая-то есть Higher Cartan geometry.
Задач практически нет, конечно.

А можно вас спросить, если у вас какое-нибудь мнение по поводу поздней деятельности Гротендика(которая обсуждается ниже). Я совершенно согласен с тем, что Гротендик не имеет отношения к "жуликам", создающим теорию без задач нынче. Так что есть вероятность, что у него была внешняя мотивация заниматься тем, о чём он написал в "Pursuing Stacks" и "Les Derivateurs".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-17 02:49 (ссылка)

Нормально продумать основания алгебраической топологии хочется, но по-видимому невозможно (по крайней мере по состоянию на сейчас). Гомологическую часть Гротендик продумал вполне успешно. Что он пытался продумал остальное, неудивительно (Демазюр, умный, вообще утверждает, что Гротендик был не алгебраическим геометром, а алгебраическим топологом).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-09-17 03:09 (ссылка)

Очень интересно (особенно заинтриговали слова Демазюра ). Если не вам не трудно, то будет два вопроса в вышенаписанному:

1)Какие есть gaps в основаниях АТ? Так, кратко. Я не жду технического ответа, так, пару примеров. То есть, чем бы помогли новые основания для АТ?
2)Почему невозможно? Какая machinery ещё не развита достаточно, чтобы начать работу в этом направлении?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-17 05:37 (ссылка)

Ок, но очень кратко, и технически, чтобы не разводить словоблудия.

Если смотреть на топологию как на топологию, все в порядке. Проблема в том, что если нам вообще пофигу топология и мы скажем алгебраические геометры, или специалисты по теории категорий, оно все равно лезет -- а почему, непонятно. Типичный и на самом деле базовый пример такой. Фундаментальное пожелание в половине реальных задач это рассматривать что-нибудь с точностью до чего-то, что в категорном контексте формализуется как локализация -- мы берем категорию чего-нибудь, например цепных комплексов, и насильственно делаем отображения из некоторого класса, например квазиизоморфизмы, обратимыми. Дальше "хорошо известно", что такая процедура в общем случае только часть правды, а вся правда -- это что после локализации в качестве морфизмов получаются гомотопические типы, от которых навная локализация дает только \pi_0 (а есть еще и высшие гомотопические группы). Никакого априорного объяснения этому "хорошо известно" нет, и вообще непонятно, какого хрена там должно получаться что-то, имеющее "высшие гомотопические группы". И что такое это что-то -- симплициальное множество ли или топологическое пространство или что -- тоже неясно. И почему именно симплициальные множества тут могут вылезти, нет объяснения (а если там на самом деле естественно возникает топ. пространство, в чисто комбинаторной задаче, то это еще более дико).

Для сравнения, в гомологическом контексте есть довольно ясное объяснение Гротендика -- есть точный с одной стороны функтор на абелевой категории, хотим его сделать точным, есть препятствия в виде производных функторов.

С локализацией -- а тем самым, вообще с происхождением высших гомотопических групп -- ничего похожего неизвестно. Единственное объяснение почему наивная локализация "плохая" это что "групповое пополнение в топологии дает высшие гомотопические группы". Это хорошее объяснение, но циклическое.

На практике же, имеем примерно вот что (цитирую из статьи, которую сейчас пишу, про то, почему разумные люди в 90-е не хотели строить теорию высших категорий):

(i) It was felt that it certainly can be done, and in several ways.
(ii) All of the constructions would be very complicated and ad hoc. There is no preferred construction.
(iii) This would not matter: all of the constructions will be equivalent, and moreover, ``the space of all possible constructions is contractible''.
(iv) Moreover, one could even turn the last statement into a theorem.
(v) However, to do so, one needs to make sense of ``the space of all constructions''. This is certainly possible, and there are several ways to do it, just as in (i). But then one also has (ii), (iii), (iv), and the infinite loop.

На самом деле, хотя это и апокриф, примерно такие слова произнес на какой-то лекции Концевич (ну по крайней мере (i)-(iii)). Но в принципе, все так думали.

Потом конечно приперся Лурье, и блестяще подтвердил своей деятельностью все вышеприведенные пункты. Толку ноль, да и теорем нет. И даже в качестве черного ящика не катит, потому что трудно жить, когда в черном ящике даже определения.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	phexel 2016-09-17 07:02 (ссылка)
	Спасибо, очень интересно! (Ответить) (Уровень выше)

	openair 2016-09-17 16:48 (ссылка)
	офигенно интересно, спасибо. (Ответить) (Уровень выше)

apkallatu
2016-09-20 15:32 (ссылка)

давно хотел спросить: а условная "некоммутативная геметрия" или
"производная геометрия", она же всегда делается для k-линейных
категорий над полем, да? а для каких-то других базовых колец бывает,
изучают, или есть какие-то технические препятствия?

ещё такой вопрос: а есть ли в этой науке какое-то общепринятое
определение объекта конечного типа, как вот в алгебраической геометрии
изучают схемы конечного типа над полем?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-20 20:36 (ссылка)

>а для каких-то других базовых колец бывает,

Разумеется -- над кольцом и делают; просто обозначают его по традиции через k.

>а есть ли в этой науке какое-то общепринятоеопределение объекта конечного типа

Ну я здесь вот писал что-то про это. Вкратце -- есть, но вопрос более тонкий, чем в коммутативной науке.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

apkallatu
2016-09-21 16:04 (ссылка)

спасибо!

а ещё вот вы в этих записках пишете, что одна из изначальных мотиваций
для некоммутативной геометрии была физика. это метафора или буквально
технически так? возникающие в квантовой физике некоммутативные
алгебры, типа алгебры вейля, и другие штуки, получающиеся в результате
квантования, могут быть как-то продуктивно рассмотрены с точки зрения
науки, которая рассказывается в записках? кто-то так делает? грубо
говоря, циклические когомологии алгебры вейля (или ещё какие-то
инварианты) имеют какую-то физическую интерпретацию?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-21 17:30 (ссылка)

>это метафора или буквально технически так

Ну Гельфанд так учил.

Плюс к тому, некоммутативную геометрию в современном виде сделал наукой лично Концевич, а он во-первых помимо математики еще и неплохой физик, и по темпераменту весьма физик, а во-вторых конкретно известен среди прочего деформационным квантованием.

>циклические когомологии алгебры вейля (или ещё какие-то инварианты) имеют какую-то физическую интерпретацию?

Ну фиг знает, я-то по физическим смыслам совсем не специалист. Концевича надо спрашивать наверно; он вроде считает, что да.

(Ответить) (Уровень выше)

	grigori 2016-09-28 23:42 (ссылка)
	О, а вот это вот изучение стека модулей совершенных объектов к чему-нибудь пришло? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-29 03:07 (ссылка)

Ну Антони Бланк передоказал гипотезу в случае пучков на многообразии (не используя Фридландера-Уокера). Надеюсь, что без ошибок, хотя я подробно не читал. А так, нет. И что-то как-то не выглядит многообещающе оно.

(Ответить) (Уровень выше)

negativ
2016-09-17 01:51 (ссылка)

Да фраза с "модным кексом ..."
это не моё восприятие Г., а
восприятие его бледными юношами с горячими лбами.

В математике все следуют своими тропами, и
придумать универсальную глубокую парадигму
для разных областей, наверное невозможно,
ну да вы и сами это сказали.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-17 05:47 (ссылка)

>придумать универсальную глубокую парадигму для разных областей, наверное невозможно

Да это понятно. Вопрос в том, как относиться к правильным, но сложным и не проясняемым доказательствам теорем с простой формулировкой -- или как к великим достижениям, или как к досадным недоразумениям, которых лучше бы вообще не было. И это непонятно (в смысле, opinions differ). Вопрос темперамента я думаю (и решается все равно on a case-by-case basis).

(Ответить) (Уровень выше)

apkallatu
2016-09-17 19:30 (ссылка)

а что такого непроясняемого в коммутативной алгебре?

если уж искать пример, я бы привёл какое-нибудь разрешение
особенностей и смежные вещи (семи-стабильная редукция, деятельность
абрамовича-володарчика-кару)

причём можно аргументировать, что некоторые вещи непроясняемы --- и
тут такие примеры кстати --- потому что природа сложна.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	apkallatu 2016-09-17 19:33 (ссылка)
	..ну или вывести из этой сложности эстетический императив: дескать, в хороших доказательствах разрешения особенностей быть не должно. (Ответить) (Уровень выше)

	kaledin 2016-09-17 20:20 (ссылка)
	А ты можешь воспроизвести по памяти определение превосходного кольца (excellent ring)? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	apkallatu 2016-09-17 20:44 (ссылка)
	не могу, но оно вообще где-то нужно, кроме разрешения особенностей (выше помянутых)? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-17 20:51 (ссылка)

Если ты занимаешься только конечно-порожденными алгебрами над полем, то нет. Если ты хочешь доказать хоть что-нибудь нетривиальное, то тебе нужны например пополнения. И все, пошло-поехало. EGA не зря такой длины.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

apkallatu
2016-09-20 15:24 (ссылка)

ага, ясно.

хотя мне всё равно это кажется странным сожелением.

общее кольцо это непонятно что, не удивительно, что про них хрен
что докажешь. даже если ты не дай хард алгебраический геометр про
кольца конечного типа над полями, а какой-нибудь теорией чисел
занимаешься, приходится сталкиваться с ограниченным набором
колец.

понятно, что многие аргументы повторяются с незначительными
вариациями, и хочется написать один раз и навсегда какое-то общее
определение и им всё покрыть. ну вот excellent ring и призвано
такое делать. то, что получается сложно, по-моему, может быть
следствием не того, что что-то не понято, а того, что много
разнообразия среди колец.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-09-20 20:41 (ссылка)

Excellent ring это просто кольцо, для которого не проходят три что ли стандартных контрпримера (что размерность + коразмерность не обязательно размерность, что целое замыкание не обязательно конечно, и что при пополнении могут появиться нильпотенты). Разумеется это сделано именно как затычка. Но то, что определение такое сложное, показывает, что в комм. алгебре совсем просто не может быть. Т.е. "понять до конца" по Гротендику просто нельзя. Вроде бы ему Серр указывал на это обстоятельство в письме.

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -