tiphareth: The London Geometry and Topology Seminar

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

polytheme
2016-11-25 07:46 (ссылка)

Да книжка-то, для тех, кто по крайней мере в объеме Ленга знает про группы, как раз, думаю, будет вполне увлекательная - я вот её сейчас к ней приклеился, как Миша к трипофобии. Она именно для начального ознакомления, по-моему, может быть слишком катастрофической. Идея, что рассказывать надо _не только определения и доказательства_, она, по-моему, совершенно правильная, но тут человек производит впечатление дорвавшегося до микрофона.

Может быть, действительно имеет смысл сначала Ленга (которого Миша не любит) или Ван-дер-Вардена (которого Миша любит) ? Ну типа чтобы не фиксироваться сразу на группах, и при этом чтобы набрать тело примеров ?

Кроме этого я крайне рекомендовал бы книжку Бурбаков, как ни странно, про группы, порожденные отражениями. Она дико клёвая, в ней восхитительные задачи, но тоже лучше с неё не начинать, наверное, там нужна некоторая привычка.

Ещё интересно, не писал ли Конвей какие-то учебники, он, конечно, наркоман (в хорошем смысле), но зато гениальный.

А. Вот. Вспомнил. Есть замечательная книжка Алексеева по Арнольду, "Теорема Абеля в задачах и решениях". Это как бы нулевой step, потом что-то вроде .. забыл, недавно видел книжку, которая очень популярно рассказывала про классические над конечным полем и Матье, но не могу вспомнить, увы, какую.

Ну вот Ленг-Ван-дер-Варден (ту часть, которая про группы), а потом можно и _это_. Но только не сразу, по-моему. Вообще жалко, что нет книжки, которая бы про такие вещи, как теория групп, рассказывала бы на примере нормальных, геометрических наук - ну там параллельно с клеточным комплексом про \pi_1 можно было бы сразу после Алексеева, это же очень в тему будет, ввести накрытия, действия групп и т.п.

Но, с другой стороны, это требует пререквизитов в виде какой-то общей топологии, нехорошо, когда клеточный комплекс дают, а человек не чувствует компактности и вокруг неё. А конечные группы бывают и про перестановки и графы, но так оно, на мой взгляд, намного суше.

Возвращаясь к книжке: я понял, как просто сказать, почему начинающему будет трудно её читать - ему будет, в силу нехватки навыков, непросто расплести, где автор шутит, где автор проявляет эрудицию и общую житейскую мудрость, а где говорит про математику; а так как автор систематически употребляет - без всяких звездочек в сносках - термины, которые не были определены, это идеальные условия для создания у читателя жужжания в голове.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	arkhotan 2016-11-25 12:51 (ссылка)
	М. Артин? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

polytheme
2016-11-25 14:06 (ссылка)

в смысле, "Алгебра" его ?
я её не видел.
сейчас посмотрю.

оглавление выглядит привлекательным.

хотел посмотреть упражнения, наткнулся - он в первой главе вводит матрицу как таблицу чисел, и их абстрактно умножает зачем-то. по-моему это некоторое зверство.

я линейку (инженерам) начинаю рассказывать так - мотивирую через фибоначчи, перрона-фробениуса и марковские цепи линейные отображения, потом на примере фибоначчи нахожу собственные вектора (чтобы итерировать) и только потом про запись в виде матрицы и трактовку линейных уравнений как задачу на обращение оператора (немножко рассказывая про пространства функций и преобразование Радона).

а задачи мне у него скорее понравились - они, правда, скорее, для физиков, которые посчитать любят - но такие очень миленькие.

гм. и группы у него тоже - он их определяет абстрактно, и потом потихоньку подсовывает под них трактовку. мне не очень нравится такой подход, потому что от этого всё выглядит так, как будто математики с потолка придумывают какую-то очень-очень абстрактную структуру (потому что математики у-у-умные !), и опа - она внезапно находит тысячу применений.

то есть может это и неважно по таким пустякам, но вот как-то вот.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-11-25 14:26 (ссылка)

Да, это странно вообще, что Майкл Артин написал такую плохую книгу. Видимо, он свято верил в то, что "элементарное" изложение - это очень хорошо. Получилось, кстати, довольно заумно (то есть то, кому нужно "элементарное", могут не понять), но "зато" ad-hoc, то есть излагается совсем не концептуально, и книга наполнена экзотическими архаичными главами из линейной алгебры с геометрией.

Странно это потому, что Артин сам был очень концептуальным математиком. Жалко, что он свою "мудрость" не вложил в эту книгу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

arkhotan
2016-11-25 16:22 (ссылка)

Да не такая и плохая, если учитывать что задача бакалаврского учебника не
подводить к переднему краю науки и то что бакалавриат поставляет (успешнее чем НМУ) кадры для аспирантур а не готовых ученых.
Абстрактная до линейной только в России, хотя простая линейная и анализ за семестр - и во втором уже многообразия можно.
Но автора сих строк вообще минский мехмат интегралы несобственные и Лебега в функане, детерминанты и урчп и численные методы покалечили за четыре года, дальше многообразий в объеме Ту продраться и не выйдет.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-11-25 17:22 (ссылка)

Задам простой вопрос: зачем учить плохо, и потом переучивать, если можно сразу учить хорошо? То, что при использовании категорий и более абстрактного изложения увеличивается сложность, это миф. Скорее, она увеличивается при активном использовании ad-hoc конкструкций, когда читатель вообще не понимает, что происходит, и ему кажется, что математика - это набор обособленных теорем.

Более того, зачем учить вот этой архаике, типа "геометрии 1920-го века", в учебнике алгебры? Кому надо, возьмет курс по истории математики, или залезет в википедию.

>Абстрактная до линейной только в России, хотя простая линейная и анализ за семестр - и во втором уже многообразия можно.

Куда спешить? Можно подождать с многобразиями и рассказывать их сразу в стиле алгебраической геометрии, с пучками и элементами гомологической алгебры. А можно в курс включить ещё алгебраическую топологию многобразий, если студенты уже знают алг. топологию.

>подводить к переднему краю науки и то что бакалавриат поставляет (успешнее чем НМУ) кадры для аспирантур а не готовых ученых.

Сомневаюсь. Большинство всё равно пойдет "зарабатывать деньги", даже из тех, кто изначально собирался заниматься математикой в Гарварде.

>Но автора сих строк вообще минский мехмат интегралы несобственные и Лебега в функане, детерминанты и урчп и численные методы покалечили за четыре года, дальше многообразий в объеме Ту продраться и не выйдет.

Сочувствую, но отчаиваться не стоит. Если вам хочется, берите нормальные учебники, и учите. Могу посоветовать что-нибудь, если надо. По дифференциальной геометрии хороши лекции Миши и Ramanan "Global Calculus", параллельно можно посматривать в J.Lee "Manifolds and Differential Geometry", книжка не использует современный язык, но неплохая всё же.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

arkhotan
2016-11-25 17:49 (ссылка)

Например, курсы небольшие по длине, чтобы равномерно мотивацию поддерживать, чтобы давать возможность выбора специализации, чтобы вычитать все core курсы за четыре года и студенты не тратили на домашнее задание больше 50 часов в неделю. Или потому что не практикуется давать десять книг - нате читайте всё подряд а так чтобы в одной - нету.
Возможно, в Гарварде, Массачусетсе есть данные по успеваемости.
По этой причине скорее всего перестали использовать Real and Complex Analysis где мера на локально компактных хаусдорфовых пространствах, хотя это интригует и интересно и не так уже сложно (во второй главе самая длинная теорема - это теор. Рейса о представлениях - на три страницы, а остальные большую часть я сам мог доказать глядя на формулировку. Но абстрактную меру запихнули в аспирантский курс абстрактного анализа. Три пять человек чувствуют в себе силы и берут такой курс, осваивая весь преквизит. А Бакалаврам читают в Евклидовых пространствах.
Ну, т.е мне кажется большой университет это большое место где учитывают разные интересы. И тем не менее сорок лет читают анализ по Рудину и никто не умер что Рудин на R^1 им всё не разжевывает (хотя производную на R^1 даёт).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-11-25 19:36 (ссылка)

По поводу мотивации я скажу так: студентам должна быть интересна математика. Если это не так, но никакие "интересные мотивационные примеры" их не удержат в науке. Наоборот, они могут их обмануть и задержать в потенциально неинтересной им науке.

Никто не говорит, что надо читать отдельный курс по анализу на действительной прямой на 500 страниц (как в первом томе Зорича). Но основы дать надо.

(Ответить) (Уровень выше)

	deevrod 2016-11-25 21:20 (ссылка)
	> Можно подождать с многобразиями и рассказывать их сразу в стиле алгебраической геометрии, с пучками и элементами гомологической алгебры. нужно ли? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-11-25 22:29 (ссылка)

Смотря кому. Будущим специалистам по геометрическим PDE, например (это я выбрал из тех, кому многообразия вообще нужны), может, и не нужно.

Но математический факультет не должен готовить узких специалистов. Он должен дать широкое представление о математике. Если рассказывать через гомологическую алгебру, то человек поймет, что когомологии - это не какая-то ad hoc конструкция, а концептуальная вещь. Если рассказывать через пучки и локально окольцованные пространства, то человек увидит, что разные области геометрии имеют схожее понятие локально окольцованного пространства (это и схема, и гладкое многообразие).

А бессмысленно и беспощадно читать разные курсы, даже не подчеркивая связь между ними, вводя конструкции ad hoc методами, скажем так, много ума не надо.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

deevrod
2016-11-25 22:55 (ссылка)

Да не только. В дифференциальной геометрии какой-либо схемный язык полностью бесполезен (например, потому что гладкие многообразия аффинные), в комплексной геометрии он потребен весьма ограниченно.

Чтобы подчёркивать связь, нужно хотя бы, чтобы она была. Ничего общего схемы и многообразия не имеют: многообразия хаусдорфовы, а схемы нет; доказательства всех содержательных фактов совершенно разные. По-видимому, в древние времена, когда схемы лишь только вводили, их действительно рассматривали как 'аналоги многообразий': например, с тех пор повелось вместо слова 'компактность' для схем, которое в более общем контексте ввёл П. С. Урысон ещё в 1920-х годах, использовать корявое 'квазикомпактность' -- по-видимому, из боязни того, что можно было бы думать, что компактные схемы соответствуют компактным многообразиям. Сейчас это выглядит несусветной глупостью, конечно.

> Но математический факультет не должен готовить узких специалистов.
С той же аргументацией можно делать, например, обязательный курс по методу решета. Сомнительная аргументация.

> а концептуальная вещь
Разным людям концептуальными видятся разные вещи.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

phexel
2016-11-25 23:29 (ссылка)

Да, вы, в принципе, правы. Но, в целом, слово геометрия приобретает какой-то общий контекст. Можно дать определение: геометрический объект - это локально окольцованное пространство. Можно рассказать про гомологическую алгебру локально окольцованных пространств. Затем уже читать отдельные курсы дифференциальной и алгебраической геометрии. Пусть даже на этом связь и закончится.

Конечно, это необязательно. Скорее всего, это даже не прагматично, так как "теоремы доказать не поможет". Но, в целом, это очень красиво. И дает какое-то видение, пусть даже и в большинстве своем иллюзорное, контекста в геометрии.

>С той же аргументацией можно делать, например, обязательный курс по методу решета. Сомнительная аргументация.

Не очень хорошее сравнение. Гомологическая алгебра и пучки - это что-то уровня метода решета?
Процитированный вами кусок имелся в виду в контексте теории core mathematics Миши и Димы Павлова. То есть надо учить людей core mathematics, куда входит и алгебраическая геометрия, и дифференциальная, и гомологические методы.

>Разным людям концептуальными видятся разные вещи.

Не все вопросы являются спорными. Существует консенсус, что определение когомологий пучков Гротендика концептуально, в отличие от.

(Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2016-11-26 01:17 (ссылка)

>Да не только. В дифференциальной геометрии какой-либо схемный язык
>полностью бесполезен (например, потому что гладкие многообразия аффинные),

очень полезен
без него практически невозможно преподавать многообразия

(Ответить) (Уровень выше)

	kaledin 2016-11-26 01:23 (ссылка)
	>Ничего общего схемы и многообразия не имеют Имеют: на обоих есть пучок функций. Понятие пучка (формализация локальности) важное, и придумано было за 20 лет до схем. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-11-26 05:56 (ссылка)
	А разве на этом сходства не заканчиваются? Ну, я имею ввиду, что не представляю, как параллельно рассказывать теорию аналитических пространств и теорию схем. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2016-11-26 06:09 (ссылка)

Разумеется заканчиваются.

Пойнт в том, что давать определение многообразия чере пучок легче, чем через "класс эвивалентности атласов", потому что последнее уродливо и невнятно. При этом поскольку он в этом случае пучок функций, можно дополнительно облегчить себе жизнь, не определяя сначала абстрактные общие пучки.

При этом уже что такое распределения и дифф. операторы без пучков понять в принципе нельзя.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-11-26 09:59 (ссылка)
	А зачем нужны пучки для распределений? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2016-11-26 11:15 (ссылка)
	Потому что распределения определены локально, но не являются функциями. Т.е. они образуют пучок, и никак иначе этого не скажешь. Для этого Лерэ пучки и придумал. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-11-26 22:20 (ссылка)
	Ну для определения пучки там всё равно не нужны (в отличие от дифференциальных операторов). (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2016-11-27 00:10 (ссылка)
	Я не сказал "определить", я сказал "понять". Если кто определяет обобщенную функцию, но при этом не говорит, в каком смысле она функция, его лучше сразу на месте убить. (Ответить) (Уровень выше)

tiphareth
2016-12-27 09:42 (ссылка)

>как параллельно рассказывать теорию аналитических пространств и теорию схем.

не понимаю, как их не рассказывать параллельно
там все определения практически дословно одинаковые

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	deevrod 2016-12-27 10:06 (ссылка)
	Доказательства-то разные. (Ответить) (Уровень выше)

maxmornev
2016-11-26 16:53 (ссылка)

> по-видимому, из боязни того, что можно было бы думать, что компактные схемы
> соответствуют компактным многообразиям.

Это от французов пошло. Там где все другие люди говорят ``компактное'',
француз говорит ``квазикомпактное'', а ``компактным'' называет компактное
и хаусдорфово. Почему так, подозреваю, можно понять из трактата Бурбаков
по общей топологии. К схемам оно не имеет отношения. Salut !

(Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -